已知函数f(x)＝lg 1?x /1+x ．

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若a、b∈D，求证：f(a)+f(b)＝f(

a+b

1+ab

)．

考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断；对数的运算性质．

专题：计算题；证明题；综合题．

分析：（1）对数的真数大于0，用穿根法解分式不等式．
（2）由（1）知定义域关于原点对称，考查f（-x）与f（x）的关系，依据定义判断．
（3）若a、b∈D，先化简f（a）+f（b），再化简f（

a+b

1+ab

）的解析式，然后作比较发现是相等的式子．

解答：解：（1）由题意得：

1?x

1+x

＞0，∴-1＜x＜1，∴函数的定义域为：（-1，1）；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=lg

1+x

1?x

=-lg

1?x

1+x

=-f（x），∴函数是奇函数；
（3）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg

1?a

1+a

+lg

1?b

1+b

=lg

1?ab+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1? a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1+abab

1+ab+a+b

，∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．

点评：本题考查函数的定义域的求法，利用定义判断函数的奇偶性，以及利用对数的运算性质证明等式．

*******************

已知函数f(x)=log(x+b)/(x-b)(a＞1，且b＞0）（1）求f(x)得定义域；（2）判断函数奇偶性；（3）判断f(x)的单调性，证明

假设题目里的函数是：y=log[(x+b)/(x-b)].【省去底数a】 
y=log[(x+b)/(x-b)] 
--->a^y=(x+b)/(x-b) 
--->x*a^y-b*a^y=x+b 
--->x(a^y-1)=b(a^y+1) 
--->x=b(a^y+1)/(a^y-1) 
--->a^y-1<>0 
--->a^y<>0 
--->y<>0 
所以反函数的定义域（原函数的值域）是（－无穷大，0）并（0，＋无穷大）。 

下面确定原函数的单调性： 
解不等式(x+b)/(x-b)>0.得到x<-b:x>b.(已知b>0) 
函数Y=(x+b)/(x-b)=1+2b/(x-b),所以这函数是由函数y=2b/x把中心（原点）平行移动到点M(b,1)得来。因为2b>0，所以函数在开区间(-无穷大,-b)和开区间(b,+无穷大)上都是减函数。 
而函数y=logx（底数a>1）是增函数。所以，原函数（它们的复合函数）：y=log[(x+b)/(x-b)]分别在这两个区间(-无穷大,-b)和(b,+无穷大)里都是减函数。 

***************

（1）已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．①求函数f（x）的定义域．②判断函数的奇偶性，并给予证明．
（2）已知函数f（x）=a^x+3，（a＞0且a≠1），求函数f（x）在[0，2]上的值域．

考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）利用对数函数的形式分别判断．（2）讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求值域．

解答：解：（1）要使函数f（x）有意义，则

1+x＞0 1?x＞0

x＞?1 x＜1

，所以-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），关于原点对称．
又f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），所以函数f（x）为偶函数．
（2）若a＞1，则函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以1+3≤f（x）≤a²+3，即函数的值域为[4，a³+3]．
若0＜a＜1，则函数f（x）在[0，2]上单调递减，所以a²+3≤f（x）≤4，即函数的值域为[a³+3，4]．

点评：本题主要考查对数和指数函数的图象和性质，要注意对底数a进行分类讨论．

***********************

已知函数f(x)＝lg

1+x

1?x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性．

考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）由f（x）=lg

1+x

1?x

，得

1+x

1?x

＞0，进而求出x的取值范围，得到答案．
（2）证明f（-x）+f（x）=0，进而证明f（x）=-f（-x）得出答案

解答：解：（1）由题意，自变量x满足 

1+x

1?x

＞0，…（2分）
上式同解于  （1+x）（1-x）＞0，…（3分）
即（x+1）（x-1）＜0，…（4分）
所以-1＜x＜1…（6分）
（2）因为函数的定义域关于原点对称，…（7分）
又  f(?x)＝lg

1+(?x)

1?(?x)

＝lg

1?x

1+x

=lg(

1+x

1?x

)1＝?lg

1+x

1?x

=-f（x）．
所以，f（x）为奇函数…（12分）

点评：本题主要考查对数取值范围，求函数定义域．及利用f（x）=-f（-x）或f（x）=f（-x）证明函数奇偶性．

*****************

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

（1）求函数f（x）的定义域；
（2）证明函数f（x）为奇函数．

考点：函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．

分析：（1）由lg

1?x

1+x

，得

1?x

1+x

＞0，进而求出x的取值范围，得到答案．
（2）证明f（-x）+f（x）=0，进而证明f（x）=-f（-x）得出答案

解答：（1）解：∵由lg

1?x

1+x

，得出

1?x

1+x

＞0，且1+x≠0
∴有（1-x）＞0且（1+x）＞0或者（1-x）＜0且（1+x）＜0
∵解得第一个不等式有-1＜x＜1，第二个不等式不存在
∴函数f(x)＝lg

1?x

1+x

的定义域{x|-1＜x＜1}
（2）证明∵f（-x）+f（x）=lg

1+x

1?x

+lg

1?x

1+x

=lg1=0
∴f（x）=-f（-x）
∴函数f（x）为奇函数

点评：本题主要考查对数取值范围，求函数定义域．及利用f（x）=-f（-x）或f（x）=f（-x）证明函数奇偶性．

****************

（2006?丰台区一模）函数f(x)＝lg

2x1

x+1

的定义域是（　　）

A．{x|x＜?1或x＞ 1 2 }	B．{x|x＞ 1 2 }
C．{x|?1＜x＜ 1 2 }	D．{x|x＞-1}

考点：对数函数的定义域．

专题：计算题．

分析：函数f(x)＝lg

2x1

x+1

的定义域是：{x|

2x1 x+1 ＞0 x+1≠0

，由此能求出结果．

解答：解：函数f(x)＝lg

2x1

x+1

的定义域是：
{x|

2x1 x+1 ＞0 x+1≠0

，
解得{x|x＜-1或x＞

1

2

}．
故选A．

点评：本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要认真审题，注意对数的真数大于零，分母不等于零．

****************

函数f(x)＝lg

1?x

1+x

的图象关于（　　）

A．原点对称	B．x轴对称
C．y轴对称	D．直线y=x对称

考点：对数函数的图像与性质．

专题：计算题．

分析：由题设知函数f（x）的定义域是（-1，1），f（-x）=lg

1+x

1?x

=-lg

1?x

1+x

=-f（x），所以函数f(x)＝lg

1?x

1+x

是奇函数，其图象关于原点对称．

解答：解：∵函数f(x)＝lg

1?x

1+x

，
∴函数f（x）的定义域是（-1，1）．
f（-x）=lg

1+x

1?x

=-lg

1?x

1+x

=-f（x），
∴函数f(x)＝lg

1?x

1+x

是奇函数．
∴函数f(x)＝lg

1?x

1+x

的图象关于原点对称．
故选A．

点评：本题考查对数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意奇函数性质的应用．

**********************

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

试求函数f（x）的（1）定义域；（2）值域；（3）奇偶性（4）单调区间．

考点：对数函数的值域与最值；对数函数的单调区间．

专题：计算题．

分析：（1）根据题意可得

1?x

1+x

＞0，解不等式即可
（2）结合对数函数y=lgx的值域R为可求
（3）由（1）所求的定义域，代入验证可得f（-x）=-f（x），从而可得函数为奇函数
（4）根据复合函数的单调性，分别判断t＝

1?x

1+x

在(?1，1)上的单调性及y=lgt在（0，+∞）单调性，从而可得

解答：解：（1）由题意可得

1?x

1+x

＞0，解不等式可得-1＜x＜1
函数的定义域（-1，1）
（2）令t＝

1?x

1+x

，则t＞0
由对数函数的性质可得值域R
（3）∵函数的定义域（-1，1）关于原点对称
∵f(?x)＝lg

1+x

1?x

＝?lg

1?x

1+x

＝?f(x)
函数为奇函数
（4）∵函数的定义域（-1，1）
∵t＝

1?x

1+x

＝?1+

2

1+x

（-1，1）单碉递减，y=lgt在（0，+∞）单调递增
根据复合函数的单调性可得，函数的单调减区间（-1，1）

点评：本题主要考查了对数函数的定义域、值域、奇偶性、复合函数的单调区间的求解，要注意对奇偶性及单调区间的求解时不能忽略了函数的定义域，避免区间扩大，出现错误．

*******************

已知函数f(x)＝lg

x+1

x1

．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论f（x）的奇偶性．

考点：函数奇偶性的判断；函数的值域．

专题：函数的性质及应用．

分析：（Ⅰ）f(x)＝lg

x+1

x1

＝lg

x1+2

x1

＝lg(1+

2

x1

)，由

2

x1

≠0，对数函数的性质即可求得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）先求得函数定义域，看是否关于原点对称，再研究f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）f(x)＝lg

x+1

x1

＝lg

x1+2

x1

＝lg(1+

2

x1

)，
∵

2

x1

≠0，∴f（x）≠lg1，即f（x）≠0．
∴函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）由

x+1

x1

＞0得x＜-1，或x＞1．
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜-1，或x＞1}，它关于原点对称．
∵f(?x)＝lg

x+1

x1

＝lg

x1

x+1

，
又∵f(x)+f(?x)＝lg

x+1

x1

+lg

x1

x+1

＝lg(

x+1

x1

x1

x+1

)＝lg1＝0，
∴f（-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数．

点评：本题考查函数奇偶性的判断及函数值域的求解，属中档题，定义是解决该类问题的基本方法．

******************

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

．若f（a）=b．则f（-a）=

-b

．

考点：函数奇偶性的性质．

专题：计算题．

分析：从问题来看，要先判断函数的奇偶性，再求值．

解答：解：根据题意：

1?x

1+x

＞0
∴-1＜x＜1
其定义域为：（-1，1）关于原点对称．
又f（-x）=lg

1+x

1?x

=-lg

1?x

1+x

=-f（x）
∴f（x）是奇函数
∴f（-a）=-f（a）=-b
故答案为：-b

点评：本题考查的是求函数值，实际上是考查的函数的奇偶性．做题时，要仔细审题，抓住问题的实质．

******************

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

，求
（1）f（0）；
（2）求函数f（x）的定义域；
（3）判断函数f（x）的奇偶性；
（4）求使f（x）＞0的x的取值范围．

考点：其他不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．

专题：不等式的解法及应用．

分析：（1）由函数f(x)＝lg

1?x

1+x

，将x=0代入可得f（0）；
（2）根据使函数的解析式有意义的原则，求出满足条件的自变量x的范围，可得函数的定义域；
（3）根据函数f（x）的定义域关于原点对称，结合函数奇偶性的定义，分析f（-x）与f（x）的关系，可判断函数f（x）的奇偶性；
（4）根据指数函数的图象和性质，将不等式转化为分式不等式，解得答案．

解答：解：（1）∵函数f(x)＝lg

1?x

1+x

，
∴f（0）=0…2
（2）由

1?x

1+x

＞0得-1＜x＜1…4
所以f（x）的定义域为（-1，1）…6
（3）∵f(?x)＝lg

1+x

1?x

＝?lg

1?x

1+x

＝?f(x)…8
又由（1）得f（x）的定义域为（-1，1）…9
∴f（x）在定义域内是奇函数…10
（4）由lg

1?x

1+x

＞0得

1?x

1+x

＞1…12
解得-1＜x＜0…14

点评：本题本题考查的知识点是函数求值，函数的定义域，函数的奇偶性，指数不等式的解法，是函数与不等式的综合应用．

**************************

已知函数f（x）=lg（

1+x

1?x

）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）求满足函数f（x）＞0的解集．

考点：对数函数的单调性与特殊点；函数奇偶性的判断；对数函数的定义域．

专题：计算题；数形结合；转化思想；综合法．

分析：（1）令真数

1+x

1?x

＞0，解出定义域
（2）由（1）知定义域关于原点对称，再证f（-x）=-f（x），由定义可判断出；
（3）令lg（

1+x

1?x

）＞0=lg1，求出解集，即可得到满足函数f（x）＞0的解集

解答：解：（1）∵数

1+x

1?x

＞0
∴-1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域为 （-1，1）
（2）∵f（-x）=lg（

1?x

1+x

）=-lg（

1+x

1?x

）=-f（x）
∴f（x）是奇函数；
（3）∵lg（

1+x

1?x

）＞0=lg1
∴

1+x

1?x

＞1
∴0＜x＜1
满足函数f（x）＞0的解集是（0，1）

点评：本题考查对数函数的定义域，奇函数的证明，利用对数的单调性解不等式，求解本题关键是熟练掌握对数和运算法则及对数函数的单调性，本题考查运算能力，变形转化的能力．

*******************

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并指出函数f（x）的单调性（单调性不需证明）．

考点：对数函数的定义域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；对数函数的值域与最值．

专题：计算题．

分析：（1）令对数函数的真数大于0，解分式不等式求出x的范围写出区间形式即为定义域；将真数分离常数，利用反比例函数的值域求出函数f（x）的值域．
（2）利用函数的奇偶性的定义，先求出函数的定义域关于原点对称，再检验f（-x）与f（x）的关系，判断出函数的奇偶性，利用复合函数的单调性：同增异减判断出函数的单调性．

解答：解：（1）由题意得 

1?x

1+x

＞0解得-1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}
∵

1?x

1+x

＝

x1+2

1+x

＝

2

1+x

1
又-1＜x＜1
∴0＜x+1＜2，

2

1+x

＞1，

2

1+x

1＞0，
∴lg(

2

1+x

1)∈R
∴函数f（x）的值域为R
（2）对?x∈{x|-1＜x＜1}都有
f(?x)＝lg

1+x

1?x

＝?lg

1?x

1+x

＝?f(x)
∴f（x）为奇函数
∵令t=

1?x

1+x

＝

x1+2

1+x

＝

2

1+x

1在（-1，1）递减
∵y=lgt在定义域上为增函数
∴f(x)＝lg

1?x

1+x

在（-1，1）递减

点评：解决判断函数的奇偶性：应该先求出函数的定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；判断复合函数的单调性利用其法则：同增异减进行判断．

**********************

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求f（x）的反函数f^-1（x）

考点：对数函数图象与性质的综合应用．

专题：计算题．

分析：（1）由题意可得

1?x

1+x

＞0，解不等式可求函数的定义域．
（2）由f(?x)＝lg

1+x

1?x

=lg

1?x

1+x

＝?f(x)可知函数的奇偶性．
（3）令y=lg

1?x

1+x

，则

1?x

1+x

＝10y，解出x即可求解．

解答：解：（1）由题意可得

1?x

1+x

＞0
∴（1+x）（x-1）＜0
∴-1＜x＜1
函数的定义域{x|-1＜x＜1}．
（2）f(?x)＝lg

1+x

1?x

=lg

1?x

1+x

＝?f(x)
函数f（x）为奇函数．
（3）令y=lg

1?x

1+x

∴

1?x

1+x

＝10y
∴x＝

10y1

10y+1

∴f1(x)＝

10x1

10x+1

．

点评：本题主要考查了对数函数的定义域的求解，函数奇偶性的判断及函数的反函数的求解，属于函数知识的简单的应用，属于基础性试题

****************

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若a、b∈D，求证：f(a)+f(b)＝f(

a+b

1+ab

)．

考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断；对数的运算性质．

专题：计算题；证明题；综合题．

分析：（1）对数的真数大于0，用穿根法解分式不等式．
（2）由（1）知定义域关于原点对称，考查f（-x）与f（x）的关系，依据定义判断．
（3）若a、b∈D，先化简f（a）+f（b），再化简f（

a+b

1+ab

）的解析式，然后作比较发现是相等的式子．

解答：解：（1）由题意得：

1?x

1+x

＞0，∴-1＜x＜1，∴函数的定义域为：（-1，1）；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=lg

1+x

1?x

=-lg

1?x

1+x

=-f（x），∴函数是奇函数；
（3）若a、b∈D，f（a）+f（b）=lg

1?a

1+a

+lg

1?b

1+b

=lg

1?ab+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1? a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1+abab

1+ab+a+b

，∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．

点评：本题考查函数的定义域的求法，利用定义判断函数的奇偶性，以及利用对数的运算性质证明等式．

************************

已知函数f(x) ＝ lg

1?x

1+x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求该函数的反函数f^-1（x）；
（3）判断f^-1（x）的奇偶性．

考点：函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断；反函数．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）由 

1?x

1+x

＞0 解得-1＜x＜1，即得函数的定义域．
（2）由函数的解析式求出自变量，再把自变量和函数交换位置，即得反函数的解析式，注明反函数的定义域．
（3）由f^-1（-x）=

1?10x

1+10x

=

10x1

1+10x

=-f^-1（x），可得 f^-1（x）是奇函数．

解答：解：（1）由  

1?x

1+x

＞0，  得?1＜x＜1．
故函数的定义域是（-1，1）
（2）由y＝ lg

1?x

1+x

，得10y＝ 

1?x

1+x

（y∈R），
所以x＝

1?10y

1+10y

，
所求反函数为f^-1（x）=

1?10x

1+10x

（x∈R）．
（3）f^-1（-x）=

1?10x

1+10x

=

10x1

1+10x

=-f^-1（x），
所以f^-1（x）是奇函数．

点评：本题主要考查求函数定义域、反函数，及利用f（x）=-f（-x）或f（x）=f（-x）证明函数奇偶性．

******************

已知函数f(x)＝lg

1?x

1+x

（1）求f（x）的定义域；
（2）证明f（x）是奇函数；
（3）判断函数y=f（x）与y=2的图象是否有公共点，并说明理由．

考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断；对数函数的值域与最值．

专题：计算题．

分析：（1）由题意可得

1?x

1+x

＞0，解不等式可得．
（2）结合（1）所求的定义域，检验f（-x）与f（x）的关系，从而进行判断．
（3）转化为判断方程lg

1?x

1+x

＝2的解的情况，通过解方程进行判断．

解答：解：（1）由题意可得

1?x

1+x

＞0
解得-1＜x＜1
∴函数的定义域（-1，1）
（2）函数的定义域（-1，1）关于原点对称
f（-x）=lg

1+x

1?x

＝?lg

1?x

1+x

=-f（x）
函数f（x）为奇函数
（3）令lg

1?x

1+x

＝2可得

1?x

1+x

=100，解得x=-

99

101

∈(?1，1)
函数y=f（x）与y=2的图象是有公共点(?

99

101

，2)

点评：本题主要考查了对数函数的定义域，函数的奇偶性的判断：①）函数的定义域关于原点对称②验证f（-x）与f（x）的关系；方程与函数的转化．

已知函数奇函数f(x)＝lg

1?ax

1+x

．求：
（1）求实数a的值； 
（2）求函数f（x）的定义域； 
（3）解不等式f（x）＞0．

考点：函数奇偶性的性质；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．

专题：函数的性质及应用．

分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程f（-x）=-f（x），即可求实数a的值； 
（2）根据对数函数的性质，求函数f（x）的定义域； 
（3）利用对数函数的单调性解对数不等式即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，∴lg

1+ax

1?x

1?ax

1+x

＝0，即

1?a2x2

1?x2

＝1，
∴1-a²x²=1-x²，解得a=±1，
当a=-1时，f（x）=lg1=0，结合题意，不合适．
故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=lg

1?x

1+x

，要使函数有意义，
则

1?x

1+x

＞0，即（1+x）（1-x）＜0，解得-1＜x＜1，
即函数的定义域为（-1，1）．
（3）∵f（x）＞0，∴lg

1?x

1+x

＞0，即

1?x

1+x

＞1，
∵-1＜x＜1，∴0＜x+1＜2，
即不等式等价为1-x＞1+x，即x＜0，
∴此时-1＜x＜0．
∴不等式的解集为（-1，0）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，以及对数函数的图象和性质，要求熟练掌握对数函数的相关性质．