初中数学竞赛讲义36

一元二次方程的有理根与整数根初级(一)

求解一元二次方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的整数根，在全国初中生数学联赛或竞赛中几乎年年都有。首先——我以为——学生应关注：二次项系数是否可以为零；其次是：题目隐含了⊿≥0。这两点是细节，也是比较容易疏忽的地方。

一般而言，求解一元二次方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的整数根的方法，不外乎以下几种：

方法一：可以用根的判别式⊿=b²－ 4ac必须是完全平方数，

用不定方程的方法；

方法二：用整数的性质；

方法三：利用韦达定理，得到两个整数。

[例题1]当 m是什么整数时，方程(m²－1)x²-6(3m－1)＋72＝0

　　有两个不相等的正整数根．

分析　　1° m²－1≠0，m≠±1．⊿=36(m－3)²＞0，所以m≠3．

        2°当然是因式分解，有：

[（m－1）x－6 ] [（m＋1）x－12 ]＝0

       即： x₁＝6/（m－1），x₂＝12/（m＋1）

       3°（m－1）是6的正约数；（m＋1）是12的正约数。

后面就没有什么了，注意第一点的条件限制。

解得m=2．这时x₁=6，x₂=4．

　

[例题2]关于x的方程m²x²－(3m²－8m)x＋2m²－13m＋15=0

(其中m是非负整数)至少有一个整数根，求m的值．　

分析  本题仅仅是看上去复杂一点，其实一样。

     1°养成好的习惯：m≠0，（否则不成立）

因式分解得：

[m x－（2 m－3）][ m x－（m－5）]＝0

2°有  x₁＝2－3/m，  x₂＝1－5/m

所以只要m是3或5的约数即可，即a=1，3，5．

3°最后检验一下是否满足：“至少有一个整数根”

　　

[例题3]关于x的二次方程mx²－(m－1)x＋1＝0有有理根。

求非零整数m的值。

分析　整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数。

（注意：以下是最常用的方法，也是套路做法，必须掌握，并熟练使用）

1°令：Δ=(m－1)²－4m＝n²，（n是非负整数）

2°则有  m²－6m＋1＝n²，即　(m－3)²－n²=8，

(m－3＋n)(m－3－n)＝8。

 

　3° m－3＋n与m－3－n同奇同偶。以下略，答案是：m＝6。

技巧一点的话，可以：

∵ m－3＋n≥m－3－n， 

又(m－3＋n)+(m－3－n)=2(m－3)，

∴m－3＋n与m－3－n同奇偶，

本题比较简单，这样做就有点浪费脑细胞了。

 

　[例题4] 关于x的方程mx²+2(m－3)x+(m－2)=0

至少有一个整数解，且m是整数，求m的值．

分析：1° 当m=0时，原方程变成x＝－1/3，无整数解．

　　2°当m≠0时，⊿＝4(m－3)²－4m(m－2)＝4(9－4m)

令9－4m=n²，且n是正奇数，

显然n≠3，（n＝3时，m＝0不成立）

由求根公式：x₁＝－1＋4/（n＋3），x₂＝－1＋4/（3－n ）

　∵ n为正奇数，n可取1，5，7，

∴ m=2，或－4，或－10．