在平面直角坐标系XOY中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-1/3.
(1)求动点P的轨迹方程 (2)设直线AP和BP分别与直线X=3交于点M,N,问是否存在点P使得三角形PAB与三角形PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标。若不存在,说明理由。
正确答案:
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已知:在平面直角坐标系xoy中,点A(0,4),点B和点C在x轴上(点B在点C的左边),点C在原点的右边,作BE⊥AC,垂足为E(点E在线段AC上,且点E与点A不重合),直线BE与y轴交于点D.若BD=AC (1)求点B的坐标; (2)设OC长为m,△BOD的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (3)当m=5时,求点D的坐标及sin∠BDO的值.
(1)分两种情况, ①当B在原点左边时,利用同角的余角相等,得到∠1=∠2,再证△AOC≌△BOD,得到OA=OB,因为A(0,4),所以B(-4,0); ②当B在原点右边时,同①可证OA=OB=4,所以B(4,0); (2)分两种情况:当B在原点左侧时,因为△AOC≌△BOD,所以OC=DO=m,即可得到S= OB?OD=2m(0<m<4);当B在原点右侧时,同理可得S=2m(m>4); (3)因为m=5时,OD=OC=5,D只能在原点下方,所以D(0,-5),在Rt△BOD中,由勾股定理得BD,即可求出答案. 解答:解:(1)根据题意,分两种情况: ①当B在原点左边时,如图1, ∵∠AOC=∠BOD=90°,∠1+∠3=∠3+∠2, ∴∠1=∠2, ∵AC=BD, ∴△AOC≌△BOD, ∴OA=OB, ∵A(0,4), ∴B(-4,0); ②当B在原点右边时,同①可证OA=OB=4, ∴B(4,0) ∴B(-4,0),或(4,0); (2)当B在原点左侧时, ∵△AOC≌△BOD, ∴OC=DO=m, ∴S= OB?OD=2m(0<m<4), 当B在原点右侧时,同理可得S=2m,(m>4), ∴S=2m,(m>0,m≠4); (3)当m=5时,OD=OC=5, 根据题意,D只能在原点下方, ∴D(0,-5), 在Rt△BOD中,由勾股定理得BD= , ∴sin∠BDO= ==.
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