单位与量纲（三）惯性质量与引力质量

老庄. 2014-02-17

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【单位与量纲】系列文章之（三）

质量的单位是千克（kg）。1793年，科学家用凝固点时的1立方厘米的水来定义质量。如果大家还记得中学时学过的水的密度，应该不会因为水的密度正好是个整数而感到惊讶，这并不是因为水有啥特殊性，而是因为定义的方式选择了水。1889年后，质量的单位不再依赖于任何物理规律，而是直接以国际千克原器的质量作为标准。质量单位的定义有两个最特殊的地方：一、这是唯一还在使用实物进行定义的单位；二、这个定义维持的时间太长了，这是唯一来自十九世纪的定义。

GPB_circling_earth （图片来自网络）

使用实物作为定义显然很不方便。物理规律有其不变性，以前介绍过的定义中，所有科学家确定物理量大小的难度是一致的。而对于质量，只有该实物的拥有者才能进行准确的测量。目前这件国际千克原器存放于法国的国际计量局。可以想象，这样的原件怕偷、怕灰尘、怕潮气，怕一切事情，而拥有千克原器的法国对它的使用也不见得有什么方便。根据原件，制造出一些国际千克原器复制品以供使用，然后再根据复制品生产复制品的复制品，以供其他国家使用。

使用实物作为定义的负面影响也是显然的。除了温度、长度和时间，基本上一切常用的物理单位都取决于这个千克原器。如果这个千克原器出了什么意外，比如国际计量院被莫名烧了，搞计量的人就得忙活很长一段时间，讨论如何在复制品中确定一个新的千克标准。并且，千克原器是金属，每次使用都会有少量的磨损，哪怕每次只损失几个原子，积少成多也决定了这样的实物定义方式无法长久维持下去。另一方面，可能的表面吸附、油污和粉尘又会增加千克原器的质量，而且这种质量增加比磨损引起的质量减少更加显著。千克原器的复制品们被使用得越加频繁，受外界影响就越大。100年时间对比千克原器的质量增加是10微克量级，千克原器本身的质量变化是多少就没人能确认了。换句话说，决定一切跟千克测量准确度有关的，是百年前一个工匠的手艺，而不是自然规律本身。

2013年之后，千克也许将被重新定义。新的国际标准中，也许会强行规定普兰克常数为6.62606×10^?34（kg?m²/s），然后通过长度和时间来定义质量。这种定义方式，首先，质量定义的“优先级”或者“重要性”将低于长度和时间；其次，由于规定的普兰克常数的有效数位，质量的数值位数也将只能有六位，再加上一位的估读数位。对于质量这样重要的概念，其定义方式维持了一百多年，多多少少意味着我们在一些最根本的物理概念的理解上没有突破；或者说，在最根本的物理量测量上没有突破。想理解这句话，需要更进一步了解质量的物理意义：与长度和时间不同，质量分为惯性质量和引力质量。这是一个存在于牛顿时期的问题，并且在没有合适的测量证据的基础上，那时的物理学家们认为惯性质量和引力质量在数值上等同。

质量指的好像是物质的量，然而，这样的世俗理解并不严谨，其测量也没有可操作性。在物理上，物质的量是可以通过两种方式来判断的，并且这两种方式都存在于人们对物理知识早期的认识中。一是通过牛顿第二定律判断，二是通过万有引力判断。人们知道物质的量在上面这两个规律中起作用，但是却无法严格判断其物理意义是否一致。牛顿第二定律中，F＝ma，力和加速度都是人们可以知道的量，与这个规律联系的质量称为惯性质量（具体理解见文章最后说明一）；万有引力中，F=Gm₁m₂/r²，与这个规律对应的质量称为引力质量。因为万有引力的方程中涉及到两个物体，施加引力和被施加引力的质量有时也称作主动引力质量和被动引力质量。考虑到作用力与反作用力大小相等，引入第三个物体，我们可以证明主动引力质量和被动引力质量等价（具体理解见文章最后说明二），可以统一简称为引力质量。

关于引力质量的感知，对于人类是自然的，因为我们生活在地球上，地球与表面物体的相互作用体现在人人可以感知的重力上。从说不清楚的过去到现在，生活中最直观的测量质量的方法就是重力。当一个人说自己多重时，除了专业运动员，大部分人并不在意地球对自己的作用力，他们在意的是自己的质量增加，俗称胖了。惯性质量的感知可能很早，但是伽利略的比萨斜塔自由落体实验可能是第一个认真去考虑惯性质量的实验。这个实验中，地球的引力与引力质量成正比，运动的加速度与惯性质量成正比，从而可以推出惯性质量和引力质量之比为一个常数。从方便的角度，这个常数被定义为1（具体理解见文章最后说明三），因此惯性质量和引力质量被统一称为质量。

爱因斯坦电梯想象实验中，一个人在封闭电梯里无法感知外面是否存在重力，因为重力的影响与电梯加速运动的影响是一样的。假如电梯以9.8米/秒平方的加速度向上加速，那么在无重力的环境中，电梯里面的人一样感觉跟重力一样的效果。换句话说，这种情况下，引力的作用与惯性力的作用等效，引力质量和惯性质量等效。在广义相对论中，这被称为等效原理：以恒定加速度运动的参照系与在均匀的引力场中静止的惯性系完全等效。等效原理的实验基础，就是说明三中提到的厄缶实验。爱因斯坦那个年代没有蹦极，听说电梯想象实验是受一个跳楼幸存者经历的启发，该幸存者称自由下坠的时候他感知不到重力的存在。

有人喜欢提及中国的早期物理研究，认为与牛顿第二定律类似的规律在中国早已被发现，比如《墨子》里面说“力，形之所以奋也”。中国古代这些类似的记载往往没有定量化并缺乏系统研究，只能理解为对自然现象的一些粗浅观察和记录。至于由八卦而二进制、由二进制而计算机，只能是个笑话。另一方面，文言文的表达习惯不适合现代科学的产生。科学需要一些方便但是准确的语言，比如被采用的阿拉伯数字和微积分符号。这种附骥攀鳞的说法让人想起一个笑话：三个人去赶考，问算卦者几人能中，算卦者高举一只手指，笑而不答（画蛇添足的解释见文章最后说明四）。

补充说明

说明一：惯性质量的定义方式

两个孤立的物体，由于之间的作用力加速运动。由于牛顿第二定律F₁＝m₁a₁，F₂=m₂a₂。由于牛顿第三定律F₁=F₂，所以m₁/m₂=a₁/a₂。因为两个物体的加速度都是可以测量的，我们可以通过一个被定标的惯性质量定义一个未知的惯性质量。这样定义出来的质量称为惯性质量。国际千克原器便可以作为已知质量的物体。