分數

提示：本条目的主题不是成绩。

各种各样的数

基本

${\mathbb {N}}\subseteq {\mathbb {Z}}\subseteq {\mathbb {Q}}\subseteq {\mathbb {R}}\subseteq {\mathbb {C}}$

自然数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {N}}\end{smallmatrix}}$
整数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {Z}}\end{smallmatrix}}$
二进分数
 有限小数
 循环小数
 有理数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {Q}}\end{smallmatrix}}$
高斯整数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {Z}}[i]\end{smallmatrix}}$
代数数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {A}}\end{smallmatrix}}$
实数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {R}}\end{smallmatrix}}$
复数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {C}}\end{smallmatrix}}$

负数
 分数
 单位分数
 无限小数
 规矩数
 无理数
 超越数
 二次无理数
 虚数
 艾森斯坦整数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {Z}}[\omega ]\end{smallmatrix}}$

延伸

双复数
 四元数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {H}}\end{smallmatrix}}$
共四元数
 八元数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {O}}\end{smallmatrix}}$
超数
 上超实数
 超现实数

超复数
 十六元数 ${\begin{smallmatrix}{\mathbb {S}}\end{smallmatrix}}$
复四元数
 大实数
 超实数 ${\begin{smallmatrix}{}^{\star }{\mathbb {R}}\end{smallmatrix}}$

其他

对偶数
 双曲复数
 序数
 质数
 同余
 可计算数
 阿列夫数

公称值
 超限数
 基数
 P进数
 规矩数
 整数序列
 数学常数

圆周率? ${\begin{smallmatrix}\pi \end{smallmatrix}}$ ?=?3.141592653…
自然对数的底 ${\begin{smallmatrix}e\end{smallmatrix}}$ ?=?2.718281828…
虚数单位 ${\begin{smallmatrix}i\end{smallmatrix}}$ ?=? ${\begin{smallmatrix}+{\sqrt {-1}}\end{smallmatrix}}$
无穷大 ${\begin{smallmatrix}\infty \end{smallmatrix}}$

取出四份之一蛋糕。图中显示剩余的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虚线表示可以把蛋糕进行切割分成相等的部份。每一个蛋糕被表示为分数?。

分数是用分式（分数式）表达成 ${\frac {a}{b}}$ （其中a、b均为整数，且b不等于0，例如： ${\frac {1}{2}}$ ）之有理数。在上式之中，b称为分母而a称为分子，可视为某件事物平均分成b份中占a分，读作“b分之a”。中间的线称为分线或分数线。有时人们会用a/b来表示分数。

分数这个概念和除法、比例很相似，分数是一种值，除法较重视计算，比例重视两件事物之间的比较。若a及b为整数，则除了有余数的计算之外，除法和分数得出来的结果都相同。

分类[编辑]

最简分数（Simple Fraction）: 分子是整数，分母是正整数，且分子和分母互质的分数。例如： ${\frac {17}{19}}$
真分数（Proper Fraction）: 除商小于1、大于0的分数，即分子小于分母的分数。当分子一样大的时候，分母越大则值就越小，当分母一样的时候，分子越大，数值就越大。例如： ${\frac {3}{7}}$
假分数（Top-heavy/Improper Fraction）: 假分数是指除商不小于1的分数，即分子等于或大于分母的分数，可写成带分数。例如： ${\frac {5}{2}}$
带分数（Mixed Numeral）: 一个整数加一个真分数，例如 $d{\frac {a}{b}}$ ，读作“d又b分之a”；又例如 $1{\frac {1}{2}}$ ，就是一又二分之一。可写成假分数，与 ${\frac {(d\times b)+a}{b}}$ 等价。
单位分数：分子为1，分母是整数的分数。也可视为该整数的倒数。例如： ${\frac {1}{99}}$
古埃及分数（Egyptian fraction）: 将分数表达成单位分数之和。例如： ${\frac {19}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{180}}$
繁分数：分子和/或分母包含了分数，例如 ${\frac {{\frac {a}{b}}}{{\frac {c}{d}}}}$ 。可以用“外乘外、内乘内”的方法简化，即前面的式子等如 ${\frac {ad}{bc}}$ 。
连分数：外观如 $x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}$ 的分数，其中a_i是整数。若只有有限个a_i非零，则连分数是一个分数。

小数、百分率可视为分数的另一种写法。

分数运算[编辑]

分数如自然数般，跟从互联律、结合律、分配律和反除以零的规则。

约分、扩分及通分[编辑]

一个分数约分后或扩分后，其分数与原来之分数的值相等，称为等值分数。

约分[编辑]

“约分”是将一个分数的分子和分母同除以一个比1大的整数（它们的公因子）。约分后的分数和原来分数的值相等。12/14 = 6/7

扩分

“扩分”是将一个分数的分子和分母同乘以比1大的数。扩分后的分数和原来分数的值相等。

通分

“通分”是利用约分或扩分，将两个分母不同的分数，分别化为同分母的分数。

加法及减法[编辑]

笔算分数的加减法时，必须将分母用予倍的方法化成同一数字才能进行同级分数之和或差，这个过程称为“扩分”、“通分”、“通分母扩分子”等等，为了方便地求得所须分母，计算时一般以加数和被加数的最小公倍数作为新的分母。然后将事先倍大了的分子加上，合成和后再作约简。例如：

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {3+4}{12}}={\frac {7}{12}}$

乘法及除法[编辑]

分数的乘除无视分子母的特性，将分子和分母各自处理便可，但是由于整数除法亦容易引起小数，加上不适合出现于分数形式，而且除法也是乘法的逆函数，故此计算时一般将被除数化成其倒数，把除法改为乘法较为方便。例如：

${\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}$

分數

目录

分类[编辑]

分数运算[编辑]

约分、扩分及通分[编辑]

约分[编辑]

加法及减法[编辑]

乘法及除法[编辑]