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“余米推数”的一种简易解法 “余米推数”问题是秦九韶在他的《数书九章》第一章大衍中提出的，由于题目构思奇趣，引人入胜，为历代数学爱好者所喜爱。 原题是： 问有米铺诉被盗去米一般三箩，皆适满，不记细数。今左壁箩剩一合，中间箩剩一升四合，右壁箩剩一合。后获贼，系甲、乙、丙三名。甲称当夜摸得马勺，在左壁箩满舀入布袋；乙称踢着木履，在中箩舀入袋；丙称摸得漆碗，在右边箩舀入袋；将归食用，日久不知数。索得三器：马勺满容一升九合；木履容一升七合；漆碗一升二合。欲知米数，计赃结断三盗各几何？ 题目大意是：有米铺老板报案说，他的米铺被盗了。但到底被盗去多少米，他也说不清，只知道米是用三个箩装的，正好都装满了，每个箩中米都一样多。现在靠左墙那个箩中只剩下一合米了，中间那个箩剩一升四合，靠右墙那个箩剩一合。后来小偷都抓到了。审讯时，小偷甲说，那天晚上我摸到一个马勺，就用它在左边那箩中往布袋里舀米，每次都舀满了；小偷乙说，我踢着一只木履，就用它在中间那个箩中舀米装袋，每次也都舀满了；小偷丙说，我摸到一只漆碗，就用碗在右边箩中舀米入袋，每次也都舀满了。当问到他们各偷去多少米时，又都说不清了，只说拿回家就吃，现在时间已久了，也不知吃了多少。找来三件作案工具测量的结果是：马勺装满为一升九合，木履装满是一升七合，漆碗装满是一升二合。现在要根据这些线索推断出米铺失盗的米数、并分别推断出三小偷各偷去多少米？(注:1升=10合) 实际上，这道题的关键是要先求出每个箩中装了多少米。知道了每个箩中的装米量，分别减去1、14、1就能得出三小偷各盗去了多少米，顺此又能求出米铺的失米数。 分析线索理清头绪知，左壁箩每次取出19合（1升9），最后剩1合，可理解为箩中的米数被19除后余1；同理，中间箩的米数被17除后余14；右壁箩米数被12除后余1。 简单地说，就是要回答一个这样的问题；某数被19、17、12除，得到的余数分别是1、14、1，求这个数。 当年，秦九韶是用大衍求一术解决这个问题的。但大衍求一术解题过程繁琐，且难以掌握。 用现代数学语言来说，设这个数是M（每箩的米数），就是求以下一次同余式方程组的解： Ｍ≡１(ｍｏｄ１９) Ｍ≡１４(ｍｏｄ１７) Ｍ≡１(ｍｏｄ１２) 解得M的最小值是M=3193。当然，同余式是个能系统地解决同余问题的一般方法，但是，解题过程仍很复杂。 特殊问题特殊对待。上题中由于19与12是互质数，箩中的米数除以19、12，余数都是1，所以，题目可简化为：某数被19与12的公倍数及17除，余数分别是1、14，求这个数。 于是，用一个较简单的二元一次不定方程，可轻松解决这个问题。设这个数是M，ｋ、ｙ为某正整数。依题意得方程组 Ｍ＝１９×１２ｋ＋１ Ｍ＝１７ｙ＋１４ 实际就是要解以下二元一次不定方程 228ｋ+1=17ｙ+14 化简得 ｙ＝１３ｋ＋(７ｋ－１３)／１７ ∵ ｙ、ｋ是正整数， ∴ (７ｋ－１３)／１７是正整数。 令 （７ｋ－１３）／１７＝ｑ（ｑ是正整数） 得 ｋ＝２ｑ＋(３ｑ＋１３)／７ 当ｑ＝５时，ｋ值最小是 ｋ＝２×５＋(３×５＋１３)／７＝１４ 此时，M有最小值是 M=228×14+1=3193 (这个值合符题意) 据此，算出米铺共失米数及三小偷各盗得的米数是 3193×3-（1+14+1）=9563（合） 3193-1=3192（合） 3193-14=3179（合） 3193-1=3192（合） 不定方程本有无数个解，本题单取最小值，是根据题意来定的。试想：一只箩能装多少？一个人一次又能搬动多少？ |
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