几种常见窗函数及其MATLAB程序实现

数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析，而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段，然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，简称为窗。

泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，对于窗函数的选用总的原则是，要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄，以获得较陡的过渡带；旁瓣衰减应尽量大，以提高阻带的衰减，但通常都不能同时满足这两个要求。频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。表1 是几种常用的窗函数的比较。

如果被测信号是随机或者未知的，或者是一般使用者对窗函数不大了解，要求也不是特别高时，可以选择汉宁窗，因为它的泄漏、波动都较小，并且选择性也较高。但在用于校准时选用平顶窗较好，因为它的通带波动非常小，幅度误差也较小。

表1 几种常用的窗函数的比较

名称	特点	应用
矩形窗 Rectangle	矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频率识别精度最高，幅值识别精度最低，所以矩形窗不是一个理想的窗。	如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等，也可以用在阶次分析中。
汉宁窗 Hanning	又称升余弦窗。主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。它与矩形窗相比，泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。	是很有用的窗函数。如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，需要选择汉宁窗。如果被测信号是随机或者未知的，选择汉宁窗。
海明窗 （汉明窗） Hamming	与汉宁窗都是余弦窗，又称改进的升余弦窗，只是加权系数不同，使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。	与汉明窗类似，也是很有用的窗函数。
平顶窗 Flap Top	平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。	由于在幅度上有较小的误差，所以这个窗可以用在校准上。
凯塞窗 Kaiser	定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel 函数构成的窗函数，通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。对于某一长度的Kaiser 窗，给定β，则旁瓣高度也就固定了。
布莱克曼窗 Blackman	二阶升余弦窗，主瓣宽，旁瓣比较低，但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点，波动却小一点。频率识别精度最低，但幅值识别精度最高，有更好的选择性。	常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。
高斯窗 Gaussian	是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。	对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
三角窗 （费杰窗） Fejer	是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。	如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；
切比雪夫窗（Chebyshev）	在给定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣宽度最小，具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

下面是几种窗函数归一化DTFT幅度的MATLAB程序:

附上DTFT函数（dtft.m）：

function [ X ] = dtft( x,n,w )

%   Computes Discrete-time Fourier Transform

%   [X] = dtft(x,n,w)

%    X = DTFT values computed at w.frequencies

%    x = finite duration sequence over n

%    n = sample position vector

%    w = frequency location vector

X = x*exp(-j*n'*w);

%

end

矩形窗:

%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,101

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M=10

M=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M=10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=25

M=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=50

M=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); 

title('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=101

M=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');

title(['M=101']);

 

三角窗:

% Triangular Window: 

% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

x=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']); 

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 100

M=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']); 

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

 

海宁窗:

% Hann Window

% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101

clc;close all;

Hf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

 title(['M = 25']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101

M=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

 

哈明窗:

% Hamming Window:

clc; close all;

Hf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');

w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10

M=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

 ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

M=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50

M=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M=50']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 101

M=101; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi');title(['M=101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);