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压轴题讲评：2012年上海高考理科第23题
大罕
题目：对于数集X＝{-1,x1,x2,…,xn},其中0<x1<x2<…<xn，n≥2，定义向量集Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}.
若对于任意向量a1∈Y，存在向量a2∈Y，使得a1a2＝0，则称X具有性质P.
例如X={-1,1,2}具有性质P.
（1）若x＞2，且{-1,1,2,x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；
（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,…,xn的通项公式.
讲评：首先理解题意.数集X具有性质P是指什么呢？如果在数集X中任取二个数作为向量的坐标，那么必存在一个坐标取自于该数集X的另一向量与这个向量垂直.例如X={-1,1,2}具有性质P，取向量a1=(－1,1)，必存在向量a2=(1,1)使a2⊥a1，且a2，a1的坐标均来自数集X.
第⑴小题的意图在于增加感性认识，熟悉解题情景，也是给考生得分的一个机会.
注意到
x＞2，选取向量a1=(x,2)，因为a2⊥a1，所以向量a2的横坐标必为－1，故设a2＝(-1,b). 于是有x=2b，此处取b只能取2（否则与x＞2矛盾），所以x=4.
第⑵小题的意图在于证明数集P的一个性质：从小到大排序第二的数必是1，即证明x1=1.这是数集X的一个简单性质(这一性质在第⑶问中起着关键的作用)，但是证明起来并不轻松.
分两步.第一步证明数集X中有数1，第二步证明数集X中只能是x1等于1.
构造向量a1是成败的关键.毫无目标地构造显然不靠谱.
因为欲证明x1=1，所以为方便计，设同值坐标的向量a1=(x1,
x1)∈Y.至于向量a2就必须具有一般性了，于是设a2＝(s,t
)∈Y，且a1a2＝0.
由(s+t)x1=0得s+t=0，所以s,t异号.
因为-1是X中唯一的负数，所以s,t中一个为-1，另一为1，
所以1∈X.
由此可见，设同值坐标a1的目的，就是要凸现s+t=0.
以下用反证法：证明只能是x1=1.假设当1<k<n时有xk=1，则由条件0<x1<x2
<…<xn
和xn＞1知：0<x1<1<xn
.
重复上述方法，但有所变通：
设向量a1=(x1,
xn)∈Y.a2＝(s,t
)∈Y，且a1a2＝0.
此时有sx1+txn=0，由x1>0,xn>0知，s,t异号，从而s,t之中恰有一个为－1.
若s＝－1，则x1=txn>t(∵xn>1)>
x1(否则x1=txn不能成立)，矛盾；
若t＝－1，则xn=sx1<s<xn(理由同上)，矛盾！
所以x1=1.（未完待续）
第⑶小题的意图是考查学生敏锐的观察能力和高超的驾驭抽象字母完成难度大的数学问题的素养和能力，是真正意义上的把关题.
这一题的解决可以试用数学归纳法，这里着重讲解另一种常规的方法——演绎法.
设a1＝(s1,t1)
，a2＝(s2,t2)，则a1a2＝0等价于s1/s2=
-t1/t2.这一结果是两向量垂直的直接推论.
由于s1,t1，s2,t2均来自于数集X，它们的商s1/s2、t1/t2是互为相反数，于是我们考察数集B＝{s/t|
s∈X, t∈X
,|s|>|t|}(不失一般性，为方便计，限制了s|>|t|)，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称(即数集B的元素所对应的点在数轴上关于原点对称，这样且只能这样才符合s1/s2与t1/t2是互为相反数且成对出现的要求).
注意到-1是X中的唯一负数，X中的除－1和x1外的数除以-1所得的商有n-1个数，即B∩(-∞,0)={-x2,-x3,…,-xn}.所以B∩(0,
+∞)={x2,x3,…,xn},
也只有n-1个数.也就是说数集B中有n-1对互为相反数的数，(而无其它没有相反数的数,够纯洁的哟).
另外，在X中，我们考察除－1和x1外的两个数的商s/t：
xn/xn-1<xn/xn-2<…<xn/x2<xn/x1，已有n-1个数.这一点很重要！它说明这些商就是x2,x3,…,xn中的数.
观察以下三角形数阵：
xn/xn-1<
xn/xn-2<
…
<xn/x1
，有n-1个数，这些商就是x2,x3,…,xn中的数.
xn-1/xn-2<xn-1/xn-3<…<xn-1/x1有n-2个数，这些商就是x2,x3,…,xn－1中的数.
……
x2/x1，有1个数，这个商就是x2.
再注意到xn/x1>xn-1/x1>…>x2/x1，
所以xn/xn-1=
xn-1/xn-2=…=x2/x1，
从而数列的通项公式为xk=x1(x2/x1)k-1=qk-1,
k=1,2,…,n.
从以上看出，数集X的真子集{x1,x2,…,xn}的元素自小到大依次组成一个等比数列.证明其等比性是在所谓的性质P的情景下完成的.为此需要构造一个数集B，它由n-1对互为相反的2n-2个数组成.
为直观起见，我们考察如下具有性质P的数集X={-1,x1,x2,…,xn}＝{-1,1,2,4,8,16,32}(n=6),设向量a1＝(s1,t1)
，a2＝(s2,t2)，则a1a2＝0等价于s1/s2=
-t1/t2.
我们构造数集B＝{s/t|s∈X, t∈X
,|s|>|t|}＝{-32,-16,-8,-4,-2,2,4,8,16,32}(共2n-2=10个数，其中5对互为相反的数)，此时数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.
注意到-1是X中的唯一负数，B∩(-∞,0)={-x2,-x3,…,-xn}={-2,-4,-8,-16,-32},共有n-1=6-1=5个数，所以B∩(0,
+∞)={x2,x3,…,xn}={2,4,8,16,32},,也只有n-1=5个数.
而不等式序列xn/xn-1<xn/xn-2<…<xn/x2<xn/x1即32/16<32/8<32/4<32/2<32/1中，已有n-1=5个数，
观察以下三角形数阵：
32/16<32/8<32/4<32/2<32/1
16/8<16/4<16/2<16/1
8/4<8/2<8/1
4/2<4/1
2/1
同时注意到32/1>16/1>8/1>4/1>2/1，
所以32/16=16/8=8/4=4/2=2/1，
即1,2,4,8,16,32成等比数列.
总之，2012年上海高考理科第23题无疑是一个难度很大的题目.虽然其背景十分平凡，即数列x1,x2,…,xn是等比数列，但是一经包装，添上元素－1，放到一个数集里面，说什么此数集具有性质P，于是被弄得云山雾罩甚至昏天黑地了.
作为具有选拔功能的压轴题，这种设计既是巧妙的，也是必要的.
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