[原创]2012年上海高考数学（理科）第13题评析

2012年上海高考数学（理科）第13题评析

大罕

 

    题目：已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(1/2,5)、C(1,0)，函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为            .

    评析：∵点A(0,0)、B(1/2,5)、C(1,0)是函数y=f(x)的图像上的点，

     ∴f(0)=0, f(1/2)=5, f(1)=0,

    我们先考察线段AB，它的解析式为y=10x(0≤x≤1/2),

     ∴函数y=xf(x)= 10x²(0≤x≤1/2).

    我们再考察线段BC，它的解析式为y=－10x+10(1/2<x≤1),

    ∴函数y=xf(x)= y=－10x²+10x=-10(x-1/2)²+5/2 (1/2<x≤1) ,

    因此函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图像是曲线段AnDmC(如图).

    要计算曲线段AnDmC与x轴围成的图形的面积，注意到二次曲线y＝10x²(0≤x≤1/2)与二次曲线y=-10(x-1/2)²+5/2 (1/2<x≤1)的开口大小一样，所以，将曲边二边形CDmC移到曲边二边形ADnA处，两者正好重合.于是曲线段AnDmC与x轴围成的图形的面积等于三角形ADC的面积：(1/2)×|AC|×y_D=(1/2)×1×(5/2)=5/4.

    此题第一关就是理解题意，折线段ABC是函数y=f(x)的图像，所以A,B,C三点的坐标满足函数式.但它不是函数y=xf(x)的图像.虽如此，两者之间有某种联系.

    折线段经过如题变换后还是折线段吗？非也.有人误以为还是折线段，并仅考察其顶点视其为三角形由此得到了答数正确的答案也能取得满分，从得分角度讲占了大便宜.

    此题第二关，倘若从严谨数学的角度看，还需像上面所述两样，由两段组成的分段函数得出相应的分段函数，其图像可运用割补法，转化为三角形面积的计算.