[转载]信息技术与中学数学课程整合的本质探究：从内容到课程

张桂芳，李艺

信息化社会提出了新的人才标准，也向数学课程提出新的要求，改革的需求是多方面的。本文拟使用从下往上的方法，即以数学课程的内容作为切入点来考察信息技术与数学课程整合的问题。
2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（下称《高中课标》）把信息技术与数学课程的整合作为“基本理念”之一，指出：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。”但这种影响体现在哪里？有多大？正是在数学课程改革与实践中需要不断追问，并不断尝试回答的问题。
一、信息技术对数学课程内容的触动
数学乘着信息技术这一时代快车飞速发展着。如今，数学的研究对象已经突破恩格斯给出的定义，扩充为数、机会、形状、算法和变化。为使未来公民具有更广阔的数学基础知识，数学新课程改变了以往的“数与式”外加“几何”的模式。高中阶段增加算法、统计和概率等内容，初中增加了与“数与代数”、“空间与图形”并列的“概率与统计”和“课题学习”两大部分，增加估算、近似计算等内容。华东师范大学出版社《义务教育课程标准实验教科书·数学》（七年级下册）（下称《华师版数学七（下）》） “第十章 统计的初步认识” 的“§2 平均数、中位数和众数 ”，直接把利用计算器/计算机求平均数、中位数和众数的操作方法作为学习内容。就是说，受信息技术的影响，数学课程的内容不只发生内容的增减这类显性变化，归纳起来，它还发生了如下的变化：
(1)以往不受重视的课程内容成为新课程中倍受关注的重点
计算机的出现改变了数学家主要利用纸、笔和以逻辑推理、演绎证明等方法为主的研究形式，使观察、实验、猜想、模拟、矫正和调控、图形数值分析、度量与分类等方法策略日益发挥重要的作用。数学学习在一定程度上是数学研究的复演，也必须重视数学实验、应用实践等学习方式。同时，这些学习方式更利于培养学生的创新精神和能力，促进学生成长为信息时代需要的新型人才。而信息技术的优势，可以使这类内容的实施更具有效性。
“梯形中位线”的教学设计片断
……用电脑演示梯形，画中位线，类比三角形中位线知识得出梯形中位线定义。
（1）师问：梯形中位线的有怎样的性质？
（2）开始用几何画板进行探索：①做一个梯形ABCD，上底为AD，画中位线俄EF，②量出腰AB与EF，AB与BC的夹角，以及中位线与两底的长的关系；③通过拖动梯形的一个顶点，得到不同形状的梯形，并用几何画板的“度量”和制表功能，自动记录每一次实验的数据（如下表），④通过观察、比较、归纳，找出中位线与两底长的关系规律。

第一次 第二次 … 结论
∠FEB
∠EBC
AD的长度
BC的长度
EF的长度

（3）师问：梯形中位线与三角形中位线类似？
（要求给出证明。先让学生自己尝试添加辅助线探索。）
（4）互动：每个小组用实物展台，讲解本组的证明设想和思路。
（充分讨论。）
（5）电脑给出证明全过程。让学生总结出梯形中位线定理。
（6）例题与练习（应用与拓展）
以上教学设计按照“操作——观察——发现（归纳）——猜想(类比)——验证——拓展”的模式展开，把梯形中位线性质定理的学习，变成了一个实验探索过程。如此，对梯形中位线定理的理解是学生自主形成的，而不是别人硬塞给他们的。其中并不追求证明的技巧，而突出了证明的思想方法（尤其是合情推理与演绎推理的关系）的体会。
遗憾地是，目前，这样的教学还只属于一些优秀教师的个人教学创造成果，数学课程在这方面的体现并不够。事实上，中学数学课程和教材的设计应综合考虑到这些因素，体现这些活动，设置相应的教学内容以提供学和教的线索。如对图形变换等内容进一步扩展，以及挖掘更多的“实验”型内容等等。
(2)以往倍受重视的方面成了可以忽略的部分
以往的数学课程重视算术与代数运算技巧，强调几何定理的逻辑证明。但是，随着信息技术的发展，繁杂的计算可以交由计算器/计算机来完成，在某些情况下，甚至几何定理的证明也可以借助计算机来完成。数学课程应该注重的是把更多时间和精力用于发展学生对数学过程、数学本质的理解上，用在实质性的数学思考上，而适当削弱笔算、符号操作的技巧，如参数方程、数学用表、证明技巧等内容。
(3)数学思想方法的教学更易于实现
数学思想方法始终是数学教学追求的最高境界。在社会实践中应用的数学往往是内隐的，而数学思想方法在知识背后埋藏得更深。揭露深藏着的数学思想方法就是把隐性数学显性化（数学具体化）的过程，这无疑是数学思想方法教学的关键。而传统的数学课程往往未能将数学思想像定义、定理、公式、法则那样具体地体现在课程中，教师则常常使用说教的形式“告诉”学生数学思想方法。这使得数学思想方法的教学目标极难达成。利用信息技术可以模拟精深的数学概念、过程，解决高难度的计算、复杂的方程，展现复杂多变的几何关系等的优势，数学课程可以更多地设计借助先进工具用操作实验的方式揭示数学知识的发生、发展过程和实际应用过程的内容，把隐藏在数学知识背后的数学思想方法及内在联系展现在学生面前。
北京师范大学出版社《义务教育课程标准实验教科书·数学》（八年级上册）（下称《北师版数学（八下）》“第二章 实数”中的“§1 数怎么不够用了”就采用了过程体验的模式来揭示和凸显 “逼近”的数学思想方法：出示了下图，并要求学生利用计算器按照从整数到十分位到百分位……进行“用有理数逼近无理数”的实际操作。这与以往教材中直接告诉学生“无限不循环小数叫做无理数”的结论式教学模式截然不同。“做数学”形成的数学思想，更多的成了学生难以忘怀的经验，而不是教条。
（图缺）
再如，统计的思想和方法需要通过具体的案例来教学。为了提供学生解决问题的真实情境，必须尽量提供真实有效的数据。但这样的数据往往相当复杂，涉及的计算量很大。若不使用专门的统计软件或计算器，统计的思想和方法必被淹没在繁琐的计算之中。事实上，可以设计成利用信息技术的优势充分揭露数学思想方法的内容不胜枚举。
（4）数学课程中交织着信息技术思想方法
这是数学课程相比于其它课程最具特色的地方之一。《全日制义务教育数学课标（实验稿）》（下称《义务课标》）中提出的“鸡兔同笼”的问题，采用的列表解法实质是计算机算法中的枚举法，它使这个问题的难度大大降低，可以“下放”到义务教育的第二学段。以往课程中此类问题主要用方程组求解，要到初中才能出现。此外，数学课程中涉及的关于信息的收集和处理的各种技能和方法，也与信息技术的思想方法相一致。《高中课标》在数学5的内容描述中，给出的例2含有两个对解题并不必要的条件（无效信息）：“甲种肥料产生的利润为10 000元”和“乙种肥料产生的利润为5 000元”；《华师版数学七（下）》在“第十章 统计的初步认识”“§1 统计的意义”的“思考”第2题，注明“网上调查不具有普遍代表性，仅供参考”。在这里，学生可以发现信息的可靠性问题并认识评价信息的重要性。事实上，数学中蕴含丰富的信息技术思想方法，有时甚至达到了“数学也教计算机”的程度。
近几十年来，信息技术与数学的结合和共同发展，使信息技术与数学课程的关系很特殊：信息技术的思想方法可以自然地溶入数学课程，甚至于信息技术的某些基础知识会直接成为数学课程的内容。这是数学课程自身发展的必然，我们不应对此有疑虑。
（5）知识体系发生重组
在社会信息化的大背景下，《义务课标》将未来公民必备的数学基础分为数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用（课题学习）四个领域，然后按照不同学段以螺旋上升的方式再组织。更深入的，如《华师版数学七（下）》的“第八章多边形”中，整章的学习内容从生活中的铺设磁砖问题出发，围绕以正多边形展铺平面图案的条件这一主线，逐步展开三角形和多边形的有关性质，最后解决瓷砖铺设问题，这可以称为主题聚类式的组织形式。每一册《北师版数学》也是尽力采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开知识：以问题情境开始，通过对一个个问题的研讨，逐步展开相应内容的学习，使学生经历真正的“做数学”和“用数学”的过程〖1〗。除此之外，整套《北师版数学》把证明分成四个部分（其中，九年级下册的“第三章圆”也可以认为是证明的强化内容），集中安排在八年级下和九年级学习；四个部分分别按“线——三角形——四边形——圆”的知识块顺序编排，每一部分基本上可以认为是采用了知识聚类的组织形式。而在八年级下学期之前，教材安排的只是探索图形性质、与他人合作交流等活动过程以发展合情推理；在学生积累了一定的活动经验，了解了一些图形性质的基础上，才学习证明的基本过程与格式、体会证明的思想……。使用这种体系组织课程，使在学生的探索与佐证的过程中，可以利用信息技术提供直观支持，还可以为联系其它学科、社会现实生活提供便捷的通道。
（6）课程内容的呈现方式趋向多样与综合
《高中课标》和《义务课标》都提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容。高中立体几何部分，提倡利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，让学生从整体到局部、具体到抽象等多方面多角度地观察，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，使学生得以在“多元联系表示”的环境中，学习同一数学对象（数学的概念、法则、表达式、定义等等）的几种不同表示，对其细节进行观察，借助多种感官的协同作用探寻和发现数学对象的规律或者不同方面的内在联系。超文本、多媒体、动画等多样化的呈现方式利于学生形成数学知识的多样化表示或经历数学知识的形成过程，极大地拓展数学学习空间和降低知识的“抽象”程度。
二、整体意义的课程
课程是一个整体，课程内容的变化，势必牵动数学课程的目标价值也发生变化。如数学课程多样化的呈现方式有助于培养学生“多元表征（multiplelingked expression）”的能力；重视数学活动和实验，体现了对学生的几何直观能力、几何体的整体观的重视；而这些活动利于学生体会数学的思想方法，培养学生运用各种数学方法解决广泛的、多样的非常规问题的能力，促进数学创新能力的发展等；借助信息技术进行实验、设计、模拟、或者完成数学任务等学习过程，可以改善学生对数学的态度。而利用信息技术和网络技术查询资料、向专家咨询、与他人交流合作等，也可以促进学生在独立思考和勇于质疑的基础上形成用各种方式寻求帮助的意识、养成查找和引证资料的习惯；体会统计结果的随机性、统计推断的误差；经历使用表、图、电子数据表和统计技术去组织、解释和表示信息的锻炼；判断数据的可靠性等等，也有助于促进学生形成辨证的信息价值观。所有这些有利于学生形成良好的信息技术使用习惯和社会责任感，从而使数学教育的价值更为丰富，兼具培养科学精神和数学价值观，以及信息素养、技术素养的功能。
任何课程都是动态发展的，具有继承性又有发展性。我们应该以更加包容的目光审视数学课程的建设。一些国家的数学课程在新一轮课程改革中出现了一些相近的趋势，如荷兰的数学课程的具体目标，把现代信息技术操作技能列入数学的基本技能之一，英国国家数学课程标准也要求给学生提供适当的机会来发展应用信息技术学习数学的能力等等。〖2〗可以预见，随着社会信息化的进一步发展，学生自身的信息技术能力将会更强，我国的中学数学课程既要把信息技术的精华作为先进的文化元素渗透在数学内容中，又势必要把基本的信息知识和处理技能纳入课程目标，把信息技术的使用技能当作数学学习的常规技能，就像读、写技能一样自然。
课程内容是教育理念的载体，又是教师们开展教学的线索和材料，透过它我们才得以了解信息技术对数学课程的全部意义。正如《义务课标》在“基本理念”中指出的，“现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响”。反过来可以说，信息技术与数学课程的整合实际上源自数学课程自身发展的需要。
三、已有的信息技术与数学课程整合的研究
以《课程·教材·教法》杂志为例，2001年第三期有题为“构建信息技术支持下的中学数学课程”的文章，以及2002年和2004年（第5期为止）“高中数学课程教材与信息技术整合的研究”课题组（以下简称“课题组”）陆续发表的文章，论述了信息技术对数学科学的影响，以及信息技术对数学学习方式和教学方式的意义。可以预见，作为应用层面研究的成果，“课题组”着手编写的体现数学课程与信息技术整合思想的《普通高级中学实验教科书数学》（信技术整合本），将会对信息技术与数学课程整合的实践产生积极的作用。
然而，数学课程本身作为联系数学科学与数学学习方式和教学方式的中间环节，应该成为信息技术与数学课程整合研究的关键。但多数研究忽略了这一点，以至于出现了一些局限性。对此，我们认为：
（1）把信息技术对数学科学的影响当成信息技术对数学课程的影响，就会模糊数学科学与数学课程本质上的严格区别。
（2）把信息技术与数学课程整合的研究限定为数学学习方式和教学方式（或者说信息技术如何应用于数学教学）的研究，这是一种片面的研究视野。比如有的数学知识可以由已有知识生发出来、学生也不会学得费力，但若忽略这样的事实、机械采用技术支持下的活动教学方式，给学生热热闹闹地探索一番，这就是刻意追求教学方式的转变而脱离课程内容的“整合”，相信必为众人所口诛笔伐。事实上，信息技术对于数学的学与教所产生的影响虽然重要，但学习和教学方式的转变只是信息技术与数学课程整合的外在表现形式，信息技术能否对数学教学起到积极作用以及这种作用有多大，最根本的决定因素不在于技术使用的“华丽程度”而在于教学内容本身。因此，我们说，信息技术与数学课程整合的生长空间在于数学课程整体，而不在于教学和学习方式；先进工具在教学中的应用绝非信息技术与数学课程整合的全部。
（3）把信息技术与数学课程整合的根源归结为数学科学以及社会学习方式的变化等这些外来的压力，只能说明人们还处在对信息技术与数学课程整合的表面现象的认识阶段。事实上，决定课程发展的根本力量在于课程自身发展的需求。〖3〗
四、结论
信息技术关涉着数学课程的方方面面，在课程建设的过程中，信息技术已成为影响数学课程的发展的重要因素。因此，我们必须跳出教学视野的局限，从数学课程发展的角度审视信息技术与数学课程的整合。信息技术与数学课程整合的本质是数学课程的建设与发展问题：即信息技术及其影响下的社会文化建设与数学课程的价值、目标、内容以及教和学的全方位交融，其目标是促进信息文化环境下的数学课程建设和发展，以达成“全面发展”的基础教育目标。其中，信息技术不只是一种促进数学学科教学质量、提高学习效率的外在辅助工具，同时也是数学课程发展的重要条件和内在成分。
总之，我们应该以更加包容的目光审视数学课程，把信息技术与数学课程的整合作为考察数学课程发展、推动数学教育的关键因素，纳入到常规的教育教学行动中。