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初二数学权威指导:相似形知识总结

2014-05-10  许愿真

相似形知识总结

成比例线段:

在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做(成)比例线段.

比例性质

⑴基本性质(比例式与等积式相互变形)

  如果a:b=c:d,那么ad=bc;反之亦成立

  如果a:b=b:c,那么b2=ac;反之亦成立

 *等积式先变4个比例式→上下颠倒或左右互换

 

   如果ad=bc,那么;更换内项① ;

 

同时更换内外项③ ;更换外项② ;

⑵合并性质(在分子上进行加或减)

  如果 ,那么①

           ①÷②得

平行线分三角形两边成比例

平行于三角形一边的直线截其他两边,所得的对应线段成比例.【如图,∵DE∥BC,

∴           及其变形书写】

 

 

 

 

 

 

 


⑶等比性质

 如果 ( ),那么

.

黄金分割

点C把线段AB分成两条线段AC、BC,且满足AC2=AB·BC(或BC2=AC·AB),则点C即为线段AB的黄金分割点,AC:AB=BC:AC(或BC:AB)即为黄金比.

相似三角形的判定

预备定理:平行于三角形一边的直线,截其他两边(或两边的延长线),所得的三角形与原三角形相似.(∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC)

作EF∥AB,证BDEF,∴DE=BF;

 

判定定理1: 两角对应相等,两个三角形相似.

判定定理2:三边对应成比例,两三角形相似.

判定定理3:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.

判定结论4:斜边、直角边对应成比例,两直角三角形相似.

基本图形及变化图——给出一对角相等证相似

∠ADE=∠ABC 或∠AED=∠ACB,证平行得相似

或:根据所给条件(同上)加上隐含条件(公共角或对顶角相等)证相似

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


特殊图形——双垂直

∵∠ACB=90°,CD⊥AB

∴△ACD∽△CDB∽△ABC

射影定理

⑴△ACD∽△CDB→AC:BC=AD:CD=CD:BDCD2=AD·BD

⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC=CD:BC→AC2=AD·AB

⑶△CDB∽△ABC→CD:AB=BC:AC=BD:BCBC2=BD·AB

结论:⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD

结论:面积法得AB·CD=AC·BC→比例式

特殊图形——∠ACD=∠B(∠A=∠A)

△ABC∽△ACD→CD:BC=AC:AB=AD:ACAC2=AD·AB

相似三角形的性质

⑴相似三角形的对应角相等,对应边成比例;

⑵相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;

⑶相似三角形周长的比等于相似比;

⑷相似三角形面积的比等于相似比的平方.

注:相似多边形有类似的性质

证明等积式(比例式)策略

1、直接法:通过证明三角形相似

观察比例式分子中两条线段(三个顶点字母)与分母中两条线段是否在两个(相似)三角形中;

变化:等号同侧的分子与分母组成三角形

2、间接法:

⑴3种代换

 ①等线段代换; ②等比代换;  ③等积代换;

⑵创造条件

   ①添加平行线——创造“A”字型、“X”字型

   ②先证其它三角形相似——创造边、角条件

典型例题

1、如图,AD是△ABC的角平分线.

求证:AB:AC=BD:CD.

(1)过D作DE∥AC交AB于E,

则∠2=∠3,BE:EA=BD:DC

且△BDE∽△BCA,

∴BE:BA=DE:AC即BE:ED=BA:AC

∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EA=ED

∴AB:AC=BD:DC

(2)过B作BE∥AC交AD的延长线于E,

则∠2=∠E,且△BDE∽△CDA,

∴BE:AC=BD:DC

∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2

∴∠1=∠E,∴AB=BE

∴AB:AC=BD:DC

(3) 过C作CE∥AD交BA的延长线于E,

则AB:AE=BD:DC,∠1=∠E,∠2=∠3

∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2

∴∠3=∠E,∴AC=AE

∴AB:AC=BD:DC

方法总结:根据平行或相似写比例式的区别;

区别:平行线可写(上:下,全:下),相似不可以;

相似可写(横:横)即平行线段本身,平行不可以;

相同:均可写(上:全)

练习1:如图,在△ABC中,AB=AC,

过AB的延长线上一点D,作直线DE

交BC于F,交AC于E.

求证:DF:FE=BD:CE.

练习2:如图,在△ABC中,AB>AC,D为AB

上一点,E为AC上一点,AD=AE,

直线DE和BC的延长线交于点P,

求证:BP:CP=BD:CE.

练习3:如图,在△ABC中,BF交AD于E.

(1)若AE:ED=2:3,BD:DC=3:2,求AF:FC;

(2)若AF:FC=2:7,BD:DC=4:3,求AE:ED.

2、如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AD,

交BC的延长线于E,交AB于F.

求证: DE2=BE·CE.

分析:等积式先化成比例式

DE:BE=CE:DE

由于上述线段在同一直线上,无法形成三角形;

由垂直平分线性质联想:连结AE,则AE=DE,等线段代换后需证AE:BE=CE:AE,则可通过证明△ACE与△BAE相似得到.

 

3、已知:如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为AC的中点,ED的延长线与AB的延长线交于F.

求证:AB·AF=AC·DF

分析:欲证等积式,需证比例式AB:AC=DF:AF,再看这四条线段能否所属(分配)两个可能相似的三角形中,发现这四条线段分别在△ADF和△ABC中,但形状不相似,即直接证相似不可能. 但AB:AC是“双垂直”三角形的边,可以考虑等比代换;猜想BD:AD可以作为中间比——与DF:AF比值相等,而且可以证明两个三角形相似(△DBF∽△ADF).

 

4、如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.

求证:AE:AF=AC:AB.

分析:如果直接证△AEF∽△ACB存在困难,观察发现图中有两个“双垂直”三角形,且AD是公共边,由射影定理可知AD2=AE·AB,AD2=AF·AC,即通过等积代换,再化成比例式.

 


5、如图,D、E分别在△ABC的AC、AB边上,

且AE·AB=AD·AC,BD、CE交于点O.

求证:△BOE∽△COD.

分析:欲证△BOE∽△COD,发现图形中有隐含条件(对顶角相等),而题目所给等积式条件化成比例式后再结合隐含条件(公共角)可证明△ABD∽△ACE,从而得出∠ABD=∠ACE.再用两角对应相等证相似.

证两次相似,第一次相似为第二次相似提供条件

常见相似图形补充:

如图,△ABC是等边三角形,∠DAE=120°

由于∠1+∠2=60°,∠1+∠D=60°,∠E+∠2=60°,

∴∠1=∠D,∠2=∠E,

又∠DAE=∠ABD=∠ACE=120°,

∴△ADB∽△EAC∽△EDA

动点问题:

(1)如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从A点开始沿AB向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒△PBQ与△ABC相似?

 

 

 

(2)如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A出发沿AB以每秒4cm的速度向点B移动,同时点Q从点C出发沿CA以每秒3cm的速度向点A运动,设运动时间为x 秒.

(1)当x为何值时,PQ∥BC?

(2)△APQ能否与△CQB相似?

若能,求出AP的长;

若不能,说明理由.

 

如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E为DC边上的动点,EF⊥AE交BC于F,连结AF. 在△ADE与△CEF、△ADE与△ABF、△ADE与△AEF中,

(1)如果一定相似,请证明;

(2)如果一定不相似,请说明理由;

(3)如果不一定相似,请指出当点E在什么位置时相似.

 

“双垂直”中的计算:

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.

(1)已知AB=29,AD=4,求CD和AC;

(2)已知BC=5, CD=4,求AD和BD;

(3)已知BC=10,AD=6,求BD和AC;

(4)已知CD=10,AD=4,求BC和AC.

 

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