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相似形知识总结 成比例线段： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做(成)比例线段. 比例性质 ⑴基本性质(比例式与等积式相互变形)
同时更换内外项③ ；更换外项② ； ⑵合并性质(在分子上进行加或减) ②
平行线分三角形两边成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.【如图，∵DE∥BC，
∴ ⑶等比性质 . 黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且满足AC2=AB·BC(或BC2=AC·AB)，则点C即为线段AB的黄金分割点，AC:AB=BC:AC(或BC:AB)即为黄金比. 相似三角形的判定 预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的三角形与原三角形相似.(∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC) 作EF∥AB，证口BDEF，∴DE=BF； 判定定理1: 两角对应相等，两个三角形相似. 判定定理2：三边对应成比例，两三角形相似. 判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定结论4：斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似. 基本图形及变化图——给出一对角相等证相似 ∠ADE=∠ABC 或∠AED=∠ACB，证平行得相似 或：根据所给条件(同上)加上隐含条件(公共角或对顶角相等)证相似 特殊图形——双垂直 ∵∠ACB=90°，CD⊥AB ∴△ACD∽△CDB∽△ABC 射影定理 ⑴△ACD∽△CDB→AC:BC=AD:CD=CD:BD→CD2=AD·BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC=CD:BC→AC2=AD·AB ⑶△CDB∽△ABC→CD:AB=BC:AC=BD:BC→BC2=BD·AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB·CD=AC·BC→比例式 特殊图形——∠ACD=∠B(∠A=∠A) △ABC∽△ACD→CD:BC=AC:AB=AD:AC→AC2=AD·AB 相似三角形的性质 ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ⑵相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； ⑶相似三角形周长的比等于相似比； ⑷相似三角形面积的比等于相似比的平方. 注：相似多边形有类似的性质 证明等积式(比例式)策略 1、直接法：通过证明三角形相似 观察比例式分子中两条线段(三个顶点字母)与分母中两条线段是否在两个(相似)三角形中； 变化：等号同侧的分子与分母组成三角形 2、间接法： ⑴3种代换 ⑵创造条件
典型例题 1、如图，AD是△ABC的角平分线. 求证：AB:AC=BD:CD. (1)过D作DE∥AC交AB于E， 则∠2=∠3，BE:EA=BD:DC 且△BDE∽△BCA， ∴BE:BA=DE:AC即BE:ED=BA:AC ∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴EA=ED ∴AB:AC=BD:DC (2)过B作BE∥AC交AD的延长线于E， 则∠2=∠E，且△BDE∽△CDA， ∴BE:AC=BD:DC ∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E，∴AB=BE ∴AB:AC=BD:DC (3) 过C作CE∥AD交BA的延长线于E， 则AB:AE=BD:DC，∠1=∠E，∠2=∠3 ∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2 ∴∠3=∠E，∴AC=AE ∴AB:AC=BD:DC 方法总结：根据平行或相似写比例式的区别； 区别：平行线可写(上:下，全:下)，相似不可以； 相似可写(横:横)即平行线段本身，平行不可以； 相同：均可写(上：全) 练习1：如图，在△ABC中，AB=AC， 过AB的延长线上一点D，作直线DE 交BC于F，交AC于E. 求证：DF:FE=BD:CE. 练习2：如图，在△ABC中，AB>AC，D为AB 上一点，E为AC上一点，AD=AE， 直线DE和BC的延长线交于点P， 求证：BP:CP=BD:CE. 练习3：如图，在△ABC中，BF交AD于E. (1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED. 2、如图，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD， 交BC的延长线于E，交AB于F. 求证： DE2=BE·CE. 分析：等积式先化成比例式 DE:BE=CE:DE 由于上述线段在同一直线上，无法形成三角形； 由垂直平分线性质联想：连结AE，则AE=DE，等线段代换后需证AE:BE=CE:AE，则可通过证明△ACE与△BAE相似得到. 3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，ED的延长线与AB的延长线交于F. 求证：AB·AF=AC·DF 分析：欲证等积式，需证比例式AB:AC=DF:AF，再看这四条线段能否所属(分配)两个可能相似的三角形中，发现这四条线段分别在△ADF和△ABC中，但形状不相似，即直接证相似不可能. 但AB:AC是“双垂直”三角形的边，可以考虑等比代换；猜想BD:AD可以作为中间比——与DF:AF比值相等，而且可以证明两个三角形相似(△DBF∽△ADF). 4、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE:AF=AC:AB. 分析：如果直接证△AEF∽△ACB存在困难，观察发现图中有两个“双垂直”三角形，且AD是公共边，由射影定理可知AD2=AE·AB，AD2=AF·AC，即通过等积代换，再化成比例式. 5、如图，D、E分别在△ABC的AC、AB边上， 且AE·AB=AD·AC，BD、CE交于点O. 求证：△BOE∽△COD. 分析：欲证△BOE∽△COD，发现图形中有隐含条件(对顶角相等)，而题目所给等积式条件化成比例式后再结合隐含条件(公共角)可证明△ABD∽△ACE，从而得出∠ABD=∠ACE.再用两角对应相等证相似. 即证两次相似，第一次相似为第二次相似提供条件 常见相似图形补充： 如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°， 由于∠1+∠2=60°，∠1+∠D=60°，∠E+∠2=60°， ∴∠1=∠D，∠2=∠E， 又∠DAE=∠ABD=∠ACE=120°， ∴△ADB∽△EAC∽△EDA 动点问题： (1)如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从A点开始沿AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？ (2)如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发沿AB以每秒4cm的速度向点B移动，同时点Q从点C出发沿CA以每秒3cm的速度向点A运动，设运动时间为x 秒. (1)当x为何值时，PQ∥BC? (2)△APQ能否与△CQB相似？ 若能，求出AP的长； 若不能，说明理由. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为DC边上的动点，EF⊥AE交BC于F，连结AF. 在△ADE与△CEF、△ADE与△ABF、△ADE与△AEF中， (1)如果一定相似，请证明； (2)如果一定不相似，请说明理由； (3)如果不一定相似，请指出当点E在什么位置时相似. “双垂直”中的计算： 如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D. (1)已知AB=29，AD=4，求CD和AC； (2)已知BC=5， CD=4，求AD和BD； (3)已知BC=10，AD=6，求BD和AC； (4)已知CD=10，AD=4，求BC和AC.
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