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在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。 课程标准提出了‘数感’‘符号意识’等核心概念，为什么提出这些核心概念？ 首先，核心概念是课程目标的支点，起着沟通课程目标与具体数学内容之间联系的作用。我们知道，课程标准设计了‘知识技能’‘数学思考’‘问题解决’‘情感态度’四个方面的培养目标，同时选择编排了大量的数学知识。如数的知识、运算的知识、图形的知识、测量的知识、统计和概率的知识、解决问题的知识等。这些知识又各有许多具体的内容，如数的知识就有整数、小数、分数，其中的整数知识有数字符号、计数方法、数的顺序、数之间的大小关系、用数表示和交流等。再如测量的知识包括长度、面积、体积（容积）的意义，常用的长度单位、面积单位、体积（容积）单位，常用的测量工具和测量方法，基本图形的周长、面积、体积的计算公式等。如何把比较宏观的培养目标与众多十分具体的数学知识有组织地联系起来？核心概念就起这方面的作用。在中小学数学课程这个结构里，‘核心概念’介于课程目标与众多具体数学内容之间，是课程目标的落脚点。课程目标通过有关的核心概念得到比较清楚的描述，也通过相关核心概念的教学和形成得以实现。如，课程标准关于‘数学思考’方面的培养目标是如下表述的，这样的叙述指出了‘数学思考’的培养应该往什么方向去落实，也使‘数学思考’的培养目标具有可行性和可操作性。 ---建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。 ----体会统计方法的意义，发展数据分析意识，感受随机现象。 ----在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力，清晰地表达自己的想法。 ----学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。 其次，核心概念起着统领众多具体数学内容，导向其教育价值的作用。课程标准提出的核心概念，有些和‘数与代数’领域的内容联系密切，有些和‘图形与几何’领域的内容联系密切，有些和‘统计与概率’领域的联系密切，有些和‘综合与实践’领域的内容联系密切。围绕每一个核心概念都有许多具体的数学内容，通过这些数学内容的教学才能在学生头脑里形成核心概念。使学生形成必要的核心概念是数学教学的重要任务，也是有效的数学教学的归宿。核心概念起着统领具体数学内容及其教学的作用，使众多数学知识之间不是隔裂的，每个数学知识不是孤立的，而是相互联系、相互作用、相互影响的。课程标准提出核心概念，一方面指出了某个核心概念需要哪些数学知识，另方面指出了这些数学知识的教学应该形成核心概念，成为学生的意识与能力。 如‘数感’主要和‘数与代数’领域里的‘数的认识’‘数的运算’以及‘数量关系’有着联系，课程标准指出：‘数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。’学生的数感是他们认数学习和计算学习中的智慧结晶，是他们经常接触并领悟常见数量关系的经验升化。数感的形成使数的知识、运算的知识、数量关系的知识转化成个体的数学素养。小学生的数感主要表现在：能够用数刻画客观对象的量的多少或大小，能够估计客观对象有多大、有多少；能够估计运算的结果大约是多少，能够评价笔算或计算器计算结果的合理性；能够用常见数量关系描述实际问题里的数学内容，能够体会到常见数量关系里的简单函数关系。数感就这样把与‘认数’和‘计算’有关的教学内容有机组织起来了，教学数及其运算的知识应该归结到培养和形成数感的上面。 再如，课程标准指出‘符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。’小学数学里有数字符号0～9，运算符号＋、－、×、÷，关系符号＞、＜、＝，字母符号h表示形体的高、s表示图形的面积（有时表示路程）、v表示立体的体积（有时表示速度）……，这些都是人们约定俗成、共同使用的符号。人们学习数学、应用数学时，还可以使用个体的符号。如用一横、一竖或者一个‘√’表示一个物体，用字母A、B、C分别表示某些对象等。符号具有简单明了、使用方便等优点，学习数学离不开它。小学数学初步培养学生的符号意识，让他们知道并使用人类已经共同使用的一些符号，用符号表示运算律、求积公式、常见数量关系；鼓励学生用自己设定的符号进行记录，开展统计活动，不仅方便交流与表达，还体会到符号的价值。‘符号意识’就这样把用字母表示数（数量关系或运算规律）、对含有字母式子的运算、方程以及解决实际问题等数学内容组织起来，有效解决众多知识相互割裂、过于分散的现象，并且给于它们明确的教学方向。 又如，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间形式是数学的研究对象，客观世界存在着各种各样、大大小小的物体，物体在运动变化，物体之间有着相互联系。这些内容反映在人的头脑里，形成的有关概念、模型，产生的想象、引发的形象思维，就是个体的空间观念。小学数学教学许多基本的形体知识，学生应该形成初步的空间观念。 小学生的空间观念一般表现为：头脑里有常见平面图形和立体图形的数学模型，知道这些形体的名称、形状、结构特点，看到某个物体能够想到其数学模型和数学名称，想到某个模型或者听到某个名称，能够在身边找到相应的物体；从正面、侧面和上面观察某个简单的物体，能够用分别看到的图形表示这个物体的形状与结构；能够想象出简单几何体的表面展开图，能够根据表面展开图想象出几何体；能够把稍复杂的组合形体分解成若干简单形体；能够数学地描述物体的运动方式以及所在位置。 可见，核心概念不是指某一个或某几个具体的数学知识，而是许多相关数学知识的概括提升；核心概念不是另外教学的数学内容，而是蕴涵在相关数学知识的教学之中的上位概念。 正如课程标准修订组核心成员、东北师范大学教授马云鹏所说的：‘核心概念体现数学内容的本质。核心概念本质上体现了数学的基本思想，反映了数学内容的本质特征以及数学思维方式。数学内容的四个方面都以10个核心概念中的一个或几个为统领，学生对这些核心概念的体验与把握，是对这些内容的真正理解和掌握的标志。 课程标准（实验稿）提出六个核心概念，分别是‘数感’‘符号感’‘空间观念’‘统计观念’‘应用意识’‘推理能力’。课程标准（2011）提出十个核心概念，分别是‘数感’‘符号意识’‘运算能力’‘空间观念’‘几何直观’‘数据分析观念’‘模型思想’‘推理能力’‘应用意识’‘创新意识’。把课程标准修改前后的核心概念比一比，可以看到：新增加了四个——‘运算能力’‘几何直观’‘模型思想’‘创新意识’；较大改动了三个——‘数据分析意识’‘推理能力’‘应用意识’；另外三个——‘数感’‘符号意识’‘空间观念’的修改不大。下面我们看一看新增加的和较大改动的七个核心概念。 1.运算能力。 运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 重视运算能力是我国小学数学教学的优秀传统，我国学生的运算能力受到世界瞩目。有关运算的知识主要是四则计算的意义、法则，四则混合运算顺序，运算律和运算性质等。有关运算教学的要求是学生获得重要的计算知识，能够正确、熟练、合理、灵活地应用运算知识，解决相应的问题，包括计算题和实际问题。 进入新课程，数学教学的内容发生了很大变化。增加了许多十分有意义的数学知识，如图形的运动、图形的位置、数据统计活动、事件发生的可能性、探索规律和实践活动等。有关计算的教学内容也有很大变动，一是精简了大数目的计算，整数加、减法一般不超过三位数的加或减，整数乘、除法只到三位数乘或除以两位数；二是重视口算、加强估算；三是使用计算器进行较繁琐的计算。而且，用于计算教学的时间比过去少了。所以，培养学生的运算能力是数学教学面临的一个课题。 学生的运算能力一般表现为：能够选择恰当的计算形式解决问题，做到可以口算就口算，需要笔算就笔数，不要精确得数就估算，遇到大数目的计算就使用计算器；追求计算结果正确，有及时检验得数的习惯，能够采用合适的方法进行验算并随时纠正计算错误；有简便运算的意识，能够根据具体情况，合理而灵活地利用运算律或运算性质，提高计算效率。 课程标准重新提出运算能力，是对数学教学的要求。计算毕竟是数学内容的一部分，是常用的数学活动之一，是学习和应用其它数学知识不可缺少的工具。既不能因为增加了许多其它数学内容而忽视计算教学，也不能以传统的计算教学来要求和衡量新课程的计算教学。 学生的计算应该达到适当的速度要求。课程标准提出：20以内加减法和表内乘除法口算，8～10题／分；百以内加减法和一位数乘除两位数口算，3～4题／分；两位数和三位数加减法笔算，2～3题／分；一位数乘除两位数和三位数笔算，两位数乘两位数笔算，1～2题／分。这些速度要求，是大多数学生经过适量练习就能够达到的，不会耗费过量的教学资源，而影响其它数学内容的教学。这些速度要求，能够基本满足继续学习数学和解决实际问题的需要。这些速度水平，一但形成，能够维持，不会有过大的衰退。 2. 几何直观。 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。 几何直观可以看成‘数形结合’的手段与方法。‘数形结合’是一种数学思想方法，指利用代数里的模型来抽象地表示几何图形的本质内容，利用几何图形来形象直观地表示代数里的关系。 数学是抽象的，儿童喜欢具体形象的思维，几何直观经常能够解决抽象与形象之间的矛盾。数学教学往往会利用简单的图形来表示比较抽象的数学问题或数量关系，如用线段图表示相差关系和倍数关系，用线段图表示相遇问题的已知、未知和数量关系，用简单图形表示田地面积的变化等，这些都十分有助于学生理解题意、找到问题的解法。 |
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