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狄利克雷 中国科学院数学研究所 袁向东 狄利克雷，P．G．L．(Dirichlet，Peter Gustav Lejeune)1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根．数学． 狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以C．P．高斯(Gauss)为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期．狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与C．G．J．雅可比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物． 狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长．狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自攒零用钱购买数学图书．1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好；人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生．两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家G．欧姆(Ohm)，学到了必要的物理学基础知识． 16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业．当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家，诸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒让德(Legendre)、J．傅里叶(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克鲁瓦(Lacroix)、J．B．比奥(Biot)等等． 1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读；其间因患轻度天花影响了听课，幸好时间不长．1823年夏，他被选中担任M．法伊(Fay)将军的孩子们的家庭教师．法伊是拿破仑时代的英雄，时任国民议会反对派的领袖．狄利克雷担任此职，不仅收入颇丰，而且受到视如家人的善待，还结识了许多法国知识界的名流．其中，他对数学家傅里叶尤为尊敬，受其在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深．另一方面，狄利克雷从未放弃对高斯1801年出版的数论名著《算术研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的钻研．据传他即使在旅途中也总是随身携带此书，形影不离．当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人．可以说，高斯和傅里叶是对狄利克雷学术研究影响最大的两位数学前辈． 1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文，题为“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)．他利用代数数论方法讨论形如x5+y5=A·z5的方程．几周后，勒让德利用该文中的方法证明了xn+yn=zn当n=5时无整数解；狄利克雷本人不久也独立证明出同一结论．(后来狄利克雷再次研究费马大定理时，证明n=14时该方程无整数解．) 1825年11月，法伊将军去世．1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A．洪堡(von Humboldt)的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格(他在法国未攻读博士学位，而由科隆大学授予他荣誉博士头衔，这是获讲师资格的必要条件)，后升任编外教授(extraordinary professor，为介于正式教授和讲师之间的职称)． 1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授(后升为正式教授)，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士．同年，他和哲学家M．门德尔松(Mende1ssohn)的外孙女丽贝卡·门德尔松-巴托尔特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)结婚． 1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究(这一时期主要从事一般力学的研究)．可惜美景不长，1858年夏他去瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病．狄利克雷虽平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞． 狄利克雷的主要科学工作如下． 数论 狄利克雷在柏林的早期数论工作，集中在改进高斯在《算术研究》及其他数论文章中的证明或表述方式．如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐，需对8种情形作分别的处理；狄利克雷简化了这一证明，把全部情形归结为2种．其后，他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果．如为解二元型理论中的某些困难问题，他开始讨论三元型的课题，提出了一个富有成果的新领域．1837年7月27日，狄利克雷在柏林科学院会议上，提交了对勒让德的一个猜想的解答，他证明任一形如 an+b，n=0，1，2，… 的算术级数，若a，b互素，则它含有无穷多个素数(即算术级数的素 是复数)和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法，成为解析数论的开创性工作． 1842年，狄利克雷开始研究具有高斯系数的型，首次运用了“盒子原理”——若将多于n个的物体放入n个盒子，则至少有一个盒子含有多于一个的物体，它在现代数论的许多论证中起重要作用．1846年，他在属于代数数论的单元理论的文章“复单元理论(Zur Theorie der complexen Einheiten)中，获得了一个漂亮而完整的结果，现称狄利克雷单元定理：对由一个不可约方程及其r个实根和s对复根定义的代数数域 K=Q(α)，一切单元构成的阿贝尔群的秩为r+s-1，其有限阶元部分由域中单位根组成． 1863年，狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的学生和朋友R．戴德金(Dedekind)编辑出版，这份讲义不仅是对高斯《算术研究》的最好注释，而且融进了他在数论方面的许多精心创造，之后多次再版，成为数论经典之一． 分析狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一．1829年，他在克雷尔(Crell)杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)．该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的，讨论任意函数展成形如 1/2a0+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+… 的三角级数(现称傅里叶级数)及其收敛性．早在18世纪，D．伯努利(Bernoulli)和L．欧拉(Euler)就曾在研究弦振动问题时考察过这类级数．傅里叶在19世纪初用它讨论热传导现象，但未虑及其收敛性．A．L．柯西(Cauchy)在1823年开始考虑它的收敛问题．狄利克雷在文中指出柯西的推理不严格，其结论也不能涵盖某些已知其收敛性的级数．他进而考虑形式上对应于给定函数f(x)的三角级数的前n项的和，检验它跟f(x)的差是否趋于零，后成为判断级数收敛的经典方法．狄利克雷证明：若f(x)是周期为2π的周期函数，在-π＜x dx有限，则在f(x)所有的连续点处，其傅里叶级数收敛到f(x)，在函数的跳跃点处，它收敛于函数左右极限值的算术平均．这是第一个严格证明了的有关傅里叶级数收敛的充分条件，开始了三角级数理论的精密研究． 1837年，狄利克雷再次回到上述课题，发表题为“用正弦和余弦级 tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章，其中扩展了当时普遍采用的函数概念(即由数学符号及运算组成的表达式为函数的概念)，引入了现代的函数概念：若变量y以如下方式与变量x相关联，即只要给x指定一个值，按一个规则可确定唯一的y值，则称y是独立变量x的函数．为说明该规则具有完全任意的性质，狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例：当x为有理数时，y=c；当x为无理数时，y=d≠c 现称狄利克雷函数)．但狄利克雷的连续函数概念仍是直观的，并根据等距取函数值求和的方法定义其积分．在此基础上，狄利克雷建立了傅里叶级数的理论． 数学物理 1839年，狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文，讨论多重积分估值的方法，用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力，开始了他对数学物理问题的研究．这方面最重要的文章发表于1850年，提出了研究拉普拉斯方程的边值问题(现称狄利克雷问题或第一边值问题)：求满足偏微分方程 的位势函数V(x，y，z)，使它在球面边界上取给定的值．这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要，也是数理方程研究中的基本课题．狄利克雷本人曾用所谓的狄利克雷原理给出了问题的解．1852年，他讨论球在不可压缩流体中的运动，得到流体动力学方程的第一个精确解． |
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