斐波那契

斐波那契
山西大学 欧阳绛
　　斐波那契，L．(Fibonacci，Leonardo) 约1175年生于意大利比萨； 1250年卒于比萨．数学．
　　斐波那契是波那契(Bonacci)家族的成员．这个家族在当时的比萨很有影响．斐波那契的父亲圭列尔莫(Guiliellmo)作为比萨共和国的官员，于1192年左右被派往布日伊(Bougie，今属阿尔及利亚)，管理比萨的商业侨民．
　　斐波那契受过良好的教育．22岁时随父亲到布日伊，在那里学会了用印度数码计算．后来，又随父亲到埃及、叙利亚、希腊(拜占庭)、西西里和普罗旺斯旅行；他通过广泛的学习和认真的研究，熟练掌握了多种计算技巧．
　　12世纪末，斐波那契回到比萨，在这里度过了四分之一个世纪．他在比萨著书立说，书中不仅用印度数码和方法进行计算，把它们应用于商业活动的所有领域，并且阐述了许多代数和几何问题．他的最重要成果表现在不定分析和数论方面，并远远超过了前人．
　　大约1225年，斐波那契受到国王腓德烈二世(1194—1250)的召见，成为宫庭数学家．在保存下来的一份1240年的文件上写着：由于斐波那契曾向市民和官吏讲授计算方法，每年给予他薪金若干金磅．
　　保存至今的斐波那契著作有5部：(1)《算盘书》(Liber abbaci，1202，1228)；(2)《实用几何》(Practica geometriae，1220，1221)；(3)《花》(Flos，1225)；(4)给帝国哲学家狄奥多鲁斯(Theodorus)的一封未注明日期的信；(5)《平方数书》(Liber quadra-torum，1225)．我们知道他还有其他著作，例如关于商业算术的《小方法》(Di minor guisa)．遗憾的是他对欧几里得《几何原本》第10卷的评述失传了，在该书中，斐波那契以其对无理量的数值处理取代了欧几里得的几何表示．邦孔帕尼(Boncompagni)和利布里(Libri)曾编辑整理斐波那契的著作；G．康托尔(Cantor)、G．洛里亚(Loria)和A．П尤什克维奇(ЮшkeBИч)对斐波那契著作的基本原理作过仔细的探讨．
　　1．《算盘书》
　　这里的“算盘”(abacus)不是指古老的算盘或沙盘，而是指一般计算．从13世纪到15世纪，该书有过12种版本，但是，只有13世纪和14世纪初的3种版本是完整的．该书有15章，分四部分．
　　第一部分，第1—7章．斐波那契首先讲述罗马数码和指算法，然后介绍印度数码，按照阿拉伯方式，个位“在前面”(在右边)，分数在整数的左边．此外，他引进了分数中间的那条横杠．计算方法是通过数值的例子讲授的，并且多用去九法核对结果(也常用去七法和去11法)．书中还给出把分数分解为单位分数的规则，引进了多种表示分数
 
第二部分，第8—11章．这部分是与商人有关的问题，例如货物的价格、利润、物物交换、利息、工资、合股分红、货币兑换等．其中的“百鸡问题”，可能受到中国的影响．它实际是一个不定方程问题．
　　第三部分，第12—13章．这部分内容最为广泛，包活许多怪题、难题．例如：(1)“水池问题”：一只蜘蛛每天沿水池的墙向上爬若干英尺，每天晚上往回爬若干英尺，问它多长时间能爬出来？(2)“兔和狗问题”：狗不仅往前追而且也往回跑；速度不是常数而是依算术级数增加的．问狗多长时间能追上兔？(3)“给与取问题”：有两个或多个人，他们中的一个向其他人中的一个或几个要一定数量的钱，并且知道此时这个人的钱和其他人的钱的比例，求原来的钱数．一个简单的例子是：x＋7=5(y-7)，y+5=7(x-5)．(4)“求钱数问题”：两个或多个人得到一笔钱，并且知道每个人的钱占总钱数的比例，求每个人的钱数．对于3个人，有如下的表达式：①x＋b=2(y＋z)，②y＋b=3(x+z)；③z+b=4(x+y)．这也是不定方程问题．还有一组更为广泛流传的问题，被称做“单独一个人不能买”，说的是：几个人中的任何一个，只有当他从别人手中得到一部分钱时，才能买到某件东西．这组题有各种变异，甚至可以涉及7个人．5匹马．以一个仅涉及3个人的问题为例，其方程可写为
 
　
　　书中包含很多余数问题，例如求满足条件n≡1(mod 2，3，4，5和6)≡0(mod 7)的n．另外，斐波那契还提出了一个极为有趣的“兔子问题”，即：“由一对兔子开始，一年后可以繁殖成多少对兔子？”其中假定：“每对大兔每月能生产一对小兔，而每对小兔生长两个月就成大兔．”
　　斐波那契在运用特殊的方法解决特殊问题方面，具有惊人的技巧；他还常常巧妙地引进辅助未知数．在其他场合，则使用一般的方法，如简单试位法，反演法，双试位法等．
　　书中表明，斐波那契已注意到负数．他给出了诸如22＋(－9)＝22－9和－1＋11＝＋10的运算．
　　第四部分，第14，15章．第14章依印度－阿拉伯算法讲授求平方根和立方根的数值方法，与现代的方法基本一致．他已懂得在被开方数
 
 
/2a1．对于立方根
 
　
　　第一个近似是
 
　　 
 
　　虽然纳萨维(al－Nasawi)已经知道第一个近似，但进一步的近似则是斐波那契首先发现的．他在该章中实现了欧几里得无理量的完整的运算，并且对计算的正确性给出几何式的证明．
　　第15章分3节．第1节讲比例及它们的各种变换．例如，在一个问题中给定：(1)6∶x＝y∶9；(2)x＋y=21．从(1)得xy=54；然后利用《几何原本》第2卷第5个命题，得
 
　　和 x-y=15．
　　从而解得3和18．第2节先讲毕达哥拉斯定理的应用；然后是许多不同类型的问题，例如：给定32+42=25，解不定方程x2＋y2=25．此外
 
容器内的水会溢出多少．第3节给出花拉子米的六种类型的二次方程：ax2=bx，ax2=c，bx=c，ax2＋bx=c，ax2＋c=bx和ax2＝bx+c；然后对它们作精确的数值计算．斐波那契在这里还讲到能归结为二次方程的高次方程，例如(1)y=10/x，(2)z=y2/x和(3)z2=x2＋y2被给定，就导至x8＋100x4=10000．当涉及几个未知数时，斐波那契以radix和res代表x和y，以pars代表第三个未知数；有时，又把两个未知数的和定作res；对于x2，用quadratus，census或avere表示；对于x3，用cubus表示 ；对于x4，用census decensu或censum census表示，等等．常数项被称作numerus，denarius或dragma．
　　2．《实用几何》
　　这是斐波那契的第二部著作，在罗马、巴黎等地存有九个抄本．斐波那契在这部著作中不仅通俗地讲授量度问题，还讲了一些几何的证明方法．《实用几何》分8章，并冠以绪论．在绪论中解释基本概念以及在比萨流行的线段和面积的测量方法．第1章讲矩形的面积；第2章和第5章讲平方根和立方根．第3章为线段和平面图形(三角形、正方形、矩形、菱形、梯形、多边形和圆)的面积计算提供准确的证明；对于圆，采用阿基米得的96边多边形，π取3.141818…．此外，斐波那契还熟悉有凹角的四边形．
　　该书中的许多问题导致二次方程，而这些二次方程可以利用典型的公式来解决．这些问题是以言辞表述的，例如，对于4x-x2=3，他表述为：如果从四边的和中减去该正方形的面积，则得3竿．在这里，斐波那契已经注意到了双解．顺着这样的思路，他给测量员以实际指导，而且讲了使用仪器的方法，例如求三角形田地的高的垂足和在山边上田地的投影的方法，还讲到测量山边上直线的水平投影的仪器．第4章讲曲面的剖分(来源于欧几里得的《论剖分》)．第6章讨论体积(包括正多面体的体积)．第7章讲物体(比如树)的高的计算方法，并且给出以三角形的相似性为基础的测量规则；在这里，角由象限仪测定．第8章讲从外接圆和内切圆的直径计算五边形和十边形的边，及其逆运算；还讲到从面积计算边．随后有两个不定方程：a2+5=b2和c2-10=d2．最后讲如何计算内接于等边三角形的长方形和正方形的边长(斐波那契用的是60进位制)．
　　3．《花》
　　这部著作是献给弗里德里克二世的，多是在宫庭举行数学竞赛时提出的问题．他给出方程x2+5=y2和x2-5=z2的解，
　　并证明了三次方程x3＋2x2+10x=20的解不可能是整数，不可能是分数，也不可能是欧几里得的无理量(换句话说，没有能用直尺和圆规作出的根)；并且，他找到了一个准确到小数点后第10位的近似解x=1.36880810785(当时是以60进位制写出的)．我们不知道他是怎样得到这一结果的．
　　4．给帝国哲学家狄奥多鲁斯的一封未注明日期的信
　　该信的主题是“百鸡问题”．斐波那契在《算盘书》中曾讨论过这一问题．信中推演了解不定问题的一般方法．然后讲了一个几何问题：求作一个内接于等边三角形的正五边形．斐波那契通过二次方程得到解，这是早期将代数应用于几何的典型范例．该信以一个有五个未知数的线性问题结束；斐波那契没有逻辑地构造解，而只是给出一个机械的公式．
　　5．《平方数书》
　　这部关于不定分析的、有独创性的著作，使他成为丢番图(Diophantus)和P．de费马(Fermat)之间在数论方面的杰出数学家．该书撰于1225年．其主题是：求x2+5=y2和x2-5=z2这两个齐次方程的解．斐彼那契知道：从1开始，连续加奇数，所得和为平方数．对于奇数a，
 
　　斐波那契还给出下述定理：如果(a2＋b2)为和(x2＋y2)是平方数，且a∶ b≠x∶y， a∶b≠ y∶x，则有等式(a2+b2)·(x2＋y2)=(ax+by)2+(bx-ay)2=(ay-bx)+(by-ax)2．然后，斐波那契引进一组特殊的数：(a＋b)为偶数时，n=ab·(a+b)(a-b)；(a＋b)为奇数时，n=4ab(a+b)(a-b)．他命名这样一个数为相含数(congruum)，并且证明：它必定能被24整除．他发现x2+h和x2-h能同时是平方数，仅当h是相含数．例如52＋24=72，52-24=12和102＋96=142，102-96=22对于a=5和b=4， h=720=5·122，于是得到平方数的两个差y2-x2=x2-z2=720．他确定2401-1681=1681-961，或492-412=412-312．以 122分之，得到
　　 
　　斐波那契接着证明了数论中的一系列命题，例如：平方数不可能是相含数，x2+y2和x2-y2不可能同时是平方数，x4-y4不可能是平方数，等等．在这类问题中．斐波那契长期处于领先地位．
　　纵观斐波那契的活动，应该说他在西方的数学复兴中起到了先锋作用，或者说他在东西方的数学发展中起到了桥梁作用．G．卡尔达诺(Cardano)在讲述斐波那契的成就时说：我们可以假定，所有我们掌握的希腊之外的数学知识都是由于斐波那契的存在而得到的，他在L．帕奇欧里(Pacioli)以前很久，就从印度和阿拉伯取得了这些知识．斐波那契对古代数学作了崭新的思考，并且独立地把它推向前进．在算术方面，他显示出计算上的高超才能，并把负量和零认作数．在几何上，他既具备欧几里得的严谨又懂得如何应用新的代数方法解几何问题．
　　斐波那契的数学工作对后世有深远影响．特别值得一提的是：以《算盘书》中那个有趣的“兔子问题”为基础，后人得出著名的斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
　　这个数列的特征是
u1=u2=1，un=un-1+un-2(n≥3)．
　　其通项为
 
　　
　　意外的结果．斐波那契数列有许多重要的性质和应用．例如，由于
 
　　它便与黄金分割联系起来．1963年创刊的《斐波那契季刊》(TheFibonacci Quarterly)专门登载有关这个数列的最新发现．其中包括：
　　(1)任何斐波那契数的平方与其两边的两个斐波那契数的乘积之差为1．
　　(2)任何两个相继的斐波那契数的平方和
 
　　(3)对于任何四个相继的斐波那契数A，B，C，D，下列公式成立：
C2-B2=A×D．
　　(4)最后一位数字，每60个数一循环；最后两位数字，每300个数一循环；最后三位数字，每1500个数一循环；最后四位数字，每15000个数一循环；最后五位数字，每150000个数一循环，等等．
　　(5)每第三个数可被2整除，每第四个数可被3整除，每第五个数可被5整除，每第六个数可被8整除，等等．这些除数本身也构成斐波那契数列．
　　尽管斐波那契数列的通项公式和关于斐波那契数列的一系列成果是后人得到的，但我们不能忘记：这些数学成果都起因于斐波那契在《算盘书》中提出的兔子问题．