 故事得从西元1202年说起，话说有一位意大利青年，名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一个有趣的问题：假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子? 好了，问题看似蛮简单的，但是貌似不是很容易解答 的，我们先来看看斐波那契是何许人也。   比萨的列奥纳多，又称斐波那契，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。其写于1202年的著作《计算之书》中包涵了许多希腊、埃及、阿拉伯、印度、甚至是中国数学相关内容。  那么，为什么仅仅是一个数列，就可以让这么多数学家趋之若鹜，甚至建立一个专门来研究它的协会呢？下面，我们就来看一看这组数列有什么神效，能够使众人沦陷。 问题的由来 我们来看看兔子问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？  我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;  我们把成熟的兔子和没成熟的兔子分开，用不同的颜色来标记，试着找一找规律。  那我们用白色的圈表示成没有成熟的兔子，这些兔子，一个月之后，会长大，我们就用黑色的圆圈来表示成熟的兔子。 如果我们够仔细的话，我们能发现，兔子数是有规律的。第一个数和第二个数为1，之后的每一个数为之前两个数之和。比如，七月份月份的兔子数量为五月份和六月份兔子数量之和，即13=5+8。  我们看一下，七月份的兔子中有8对黑兔子和五对白兔子，想一想，其实就是上月成熟的五对兔子生下了五对白兔子，再加上个月没有成熟的白兔子，经过一个月的成长，变成了3对黑兔子，所以13对兔子，其实就是8对黑兔子以及5对白兔子了。 所以，这样我们对兔子问题应该有所了解了吧，这样一个题目，我们就解完了。 斐波那契数列的自身特性 前面，我们已经求除了斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…… 我们试着将数列中的每一项，平方之后，再求累加和，看一看会有什么样的效果？ 1^2+1^2=2 1^2+1^2+2^2=6 1^2+1^2+2^2+3^2=15 1^2+1^2+2^2+3^2+5^2=40 1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2=104 1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2=273 不知道有没有细心的读者发现了呢？其实，我们可以将这些数，拆开，如下图所示：  我们发现，拆开之后的数字也是斐波那契数，神奇吧。而且这不是一个巧合，我们可以写出前n项的平方和，依旧有这样的性质。 为什么斐波那契数的前N项平方和可以写成两个斐波那契数之积呢？既然这个性质不是巧合，那么其中必定有着更深层的数学本质。这就留着我们下期再解答吧！ |
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