盖尔范德

盖尔范德
沈永欢
(北京工业大学)
　　盖尔范德，И．M．1913年9月2日生于乌克兰奥德萨省红窗市．数学、数学物理、生物学．
　　盖尔范德出生于一个贫穷的犹太人家庭．由于家境贫寒，甚至未能完成中等教育．他在中学时就对数学极感兴趣，试图自学高等数学，但买不起书．他不得不趁得阑尾炎需动手术之机向双亲要求，声言如不给他买书，就不去敖德萨医院．他终于得到了高等数学教材第一册(父亲的钱只够买一本)，在医院用9天时间自修了平面解析几何和微分学．据他回忆，中学时实际上就独立推出了欧拉-马克劳林公式、伯努利数、前n个自然数p次幂的求和公式等，并培养了解题后继续思考的习惯．
　　1930年2月，盖尔范德随父去莫斯科投靠远亲．起初生活困难，经常失业，只得打工做杂活，包括在列宁图书馆做检查员．闲暇时他都在图书馆读书，补充在中学及未结业的职业技术学校没有学到的知识．在图书馆，他结识了不少大学生，并到莫斯科大学旁听数学课，还参加讨论班．他曾说他平生第一所数学学校便是M．A．拉甫伦捷夫主持的复变函数讨论班*年18岁时他即在夜校讲授初等数学，后来也教高等数学．
　　1932年，从未上过正规大学的盖尔范德被莫斯科大学录取为研究生，师从A．H．柯尔莫哥洛夫．他后来说，从莫斯科大学优秀数学家那里他学到了许多知识，而从柯尔莫哥洛夫身上学到最多，使他懂得当代数学家应该成为自然哲学家．
　　柯尔莫哥洛夫让盖尔范德在新兴的泛函分析领域从事研究．1935年，盖尔范德以关于抽象函数和线性算子的论文获副博士学位．在该文和稍早的另一篇论文中，他得到了泛函分析中不少基本结果，例如完全赋范空间的“桶型”性质，通过二次对偶空间中的元素定义现称的盖尔范德-佩蒂斯积分等．他还在证明过程中建立了现在泛函分析中通用的通过连续线性泛函转化为经典分析中对象的方法．
　　1940年，盖尔范德获苏联物理数学科学博士学位．在学位论文中，他创建了赋范环(现称巴拿赫代数)论．在短短2页的论文中，他建立了赋范环论的基本框架．在紧接着发表的论文(文献Vol．l，PP．172—174)中，他应用赋范环论只用5行篇幅证明了N．维纳(Wiener)早先在一篇长文中证明的著名定理：如果一个不取零值的函数可展开为绝对收敛的傅里叶级数，则其倒数也可展开为绝对收敛的傅里叶级数．他还指明用类似方法可以证明一系列定理．这项成就显示了赋范环论的威力，引起国际数学界极大兴趣．1943年起盖尔范德任莫斯科大学教授，后来还领导苏联科学院应用数学研究所的一个部门．1967年他主持创办《泛函分析及其应用》杂志并任主编．
　　从20世纪30年代后期以来，盖尔范德在纯粹数学和应用数学的众多分支进行了大量卓有成效的研究．50年代末，他开始研究生物学和生理学．截止到1992年，他本人或与别人合作发表论文近500篇．其中概观性论文约占7％；关于泛函分析和调和分析的约占6％；关于群表示论的约占16％；关于积分几何与广义函数的约占8％；关于无穷维李代数上同调的约占6％；关于微分方程和数学物理的约占9％；关于生物学和生理学的约占23％；其他25％．他还写作教材或专著18本．1987年至1989年，施普林格出版社出版了《盖尔范德文选》．此文选经作者审定，凡3卷，共收入论文167篇．
　　盖尔范德于1953年当选为苏联科学院通讯院士，1984年当选为院士．他于1966年至1970年任莫斯科数学会主席，现为该会名誉会员．他是许多著名科学院或学会的成员，其中有英国皇家学会、美国国家科学院、美国科学与艺术学院、巴黎科学院、瑞典皇家科学院．他还是牛津大学、哈佛大学、巴黎大学的名誉博士．在国内，他曾获一次列宁奖、两次国家奖．1978年首次颁发沃尔夫奖时，他与C．L．西格尔(Siegel)一起荣获数学奖．
　　盖尔范德曾在国际数学家大会上作过三次全会报告(1954，1962，1970)．这颇能说明他在当代数学发展中的突出地位．迄今为止，只有V．沃尔泰拉(Volterra)做过4次全会报告；而做过三次的，另外也只有三位，就是E．嘉当(Cartan)、L．阿尔福斯(Ahlfors)和A．韦伊(Weil)．
　　巴拿赫代数、调和分析
　　20世纪30年代中期，J．冯·诺伊曼(von Neumann)建立了冯·诺伊曼代数的艰深理论．多少有点奇怪的是，虽然当时也有人进行过关于交换赋范代数的零碎研究，却一直没有建立起一般理论．直到30年代末40年代初，才由盖尔范德完整地创建了巴拿赫代数的系统理论。
　　在定义一般赋范环R后，盖尔范德极富创造性地引进并抓住极大理想这一基本概念．他建立了R的特征标空间到R的极大理想的空间之间的一一对应，定义了现称为盖尔范德变换的映射，并证明每个赋范环R都能同态地映到定义于R的极大理想构成的豪斯多夫空间上的连续函数环中，而这一同态为同构的必要充分条件是R中不存在广义幂零元．他还证明赋范域必同构于复数域(盖尔范德-马祖尔定理)．
　　盖尔范德另一极富创造性的思想，是把在此以前希尔伯特空间中线性算子的谱论推广到赋范代数的元素上，从而建立了一般谱论．对于R的元素x，他定义使得x-ζe(e是R的单位元)在R中不可逆的复数ζ的集合为x的谱．他洞察到为使这个概念富有成果，应假定R是完全的，这就是巴拿赫代数．他证明巴拿赫代数中任一元素x的谱是非空紧集．他称以原点为中心、包合x的谱的最小圆的半径为x的谱半径，并 
　　盖尔范德创建的巴拿赫代数理论，几十年来一直是泛函分析最活跃的研究领域之一．他关于极大理想的观念，不仅革新了调和分析，而且对代数几何的发展产生了很大影响．他建立的一般谱论，使得20世纪前30年中由D．希尔伯特(Hilbert)和冯·诺伊曼等建立的希尔伯特空间中算子的谱论极大地简单化和一般化．
　　在辉煌地建立赋范环论后，盖尔范德［由M．A．奈玛克(HaMAPK)合作］又创建了c*代数的一般理论．本来c*代数指的是希尔伯特空间中的一致闭算子代数，但盖尔范德和奈玛克在其奠基性论文中指出无须使用希尔伯特空间，只要在赋范环中引进称为对合的映射x→x*(满足(x+y)*=x*+y*，(xy)*=y*x*，(λx)*=λx*，(x*)*=x，||x*x||=||x||2)，即可定义“一般的具有对合的赋范环”．文中证明了下述基本结果：每个非交换的具有对合的赋范环可实现为某个希尔伯特空间中线性连续算子连同其自然对合(对应到伴随算子)所构成的环．具有对合的巴拿赫代数，就是现称的c*代数．通过c*代数上的态，可以得到著名的GNS(盖尔范德-奈玛克-西格尔)构造．运用盖尔范德的理论，就能得到先前F．里斯(Riesz)、冯·诺伊曼的“单位分解理论”和E．赫林格(Hellinser)、H．哈恩(Hahn)的“重数理论”的现代描述．到了50年代，c*代数已成为泛函分析的一个基本工具．由于可以把量子系统的观测量代数解释为c*代数，而这时量子系统的状态相当于c*代数上的态，因此c*代数在60至70年代关于量子场论的公理化处理中起了主导作用．
　　盖尔范德［由дA．拉伊科夫(PaKOB)合作］还运用赋范环论，把实数直线上的调和分析推广到局部紧阿贝尔群上，同韦伊的工作一起，完整地建立了局部紧阿贝尔群上的调和分析．他指出局部紧阿贝尔群G上关于哈尔测度为可积的函数的全休L1(G)构成一个巴拿赫代数，定义L1(G)中元素f的傅里叶变换f，建立其反演公式以及相当于帕塞瓦尔等式和普朗切雷尔定理的命题，证明L1(G)的闭理想I等于L1(G)的必要充分条件是存在f∈L1(G)，使对G的每个特征标x有f(x)≠0，当G为实数直线时，这个命题包含维纳的广义陶伯型定理．他(由奈玛克合作)用赋范环论研究带调和函数，证明对于群G在希尔伯特空间H中的不可约酉表示T和G的子群U，H中至多含有一个关于算子Tu(u∈U)为不变的向量，从而为带调和函数论建立了基础．
　　群表示论
　　盖尔范德一直十分关注分析中的代数问题．从40年代初期起，他就研究连续群的表示理论，把它看作体现代数与分析紧密结合的最为激动人心的分支．事实上，表示论也确实是40年代以来数学中最活跃的研究领域之一．
　　20世纪初，F．G．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)和I．舒尔(Schur)研究了有限群的有限维表示．后来E．嘉当和H．外尔(Weyl)对紧李群的有限维酉表示进行了基础性研究．由于物理学发展的需要，E．P．威格纳(Wigner)在其关于非齐次洛伦茨群的论文中首次研究了无限维酉表示．
　　在1943年的论文中，盖尔范德(由拉伊科夫合作)首先正确地提出表示论的基本问题：“表示为酉矩阵的自然推广是表示为希尔伯特空间中的酉算子”．文中基于酉表示与正定函数之间的联系，证明每个局部紧群具有不可约酉表示的完全系．这是抽象调和分析和群表示论中最重要的定理之一，为以后大量研究提供了基础．
　　接着，从1944至1948年，盖尔范德(由奈玛克合作)在一系列论文(文献， Vol．2，PP．41—137；；)中，构造了经典复李群的无穷维表示．他们从简单明显的公式，给出2阶幺模复矩阵群SL(2，C)的所有不可约酉表示，把它们分为主系列和补系列，证明SL(2，C)的任一酉表示可分解为主系列和补系列中表示的直和．由于SL(2，C)局部同构于洛伦茨群，所以这一工作也首次给出了洛伦茨群的全部酉表示，从而也是对理论物理的一个贡献．这项工作同1947年V．巴格曼(Bargmann)关于SL(2，R)不可约酉表示的研究一起，成为酉表示论的真正起点．
　　盖尔范德进一步研究了复半单李群的不可约酉表示．以n阶幺模复 个参数的函数构成的空间中．他引进“广义线性元素”z，在z的空间中引进适当的测度，考虑关于此测度为平方可积的函数的空间H．对于g∈G，由Tgf(z)=f(zg)α(zg)确定G到H中的算子Tg(α由Tg1g2=Tg1Tg2和Tg为酉算子来确定)．这样定义的酉表示都是不可约的．按照在H上引进内积的不同方式，把这些表示分为主系列和补系列；考虑“具有删节的广义线性元素”，得到退化主系列和退化补系列．他对每种不可约表示求出相应的特征标的具体形式．他定义了经典群不可约酉表示的迹，得到其显式表示，并证明在不计等价意义下表示为其迹唯一决定．
　　对于k为任意局部紧非离散域时SL(2，k)的酉表示，他[由M．И．戈拉叶夫(ΓpaeB)合作]建立了统一的理论，完整列举了SL(2，k)的不可约酉表示，指出除主系列和补系列外，还有3个离散表示系列和1个奇异表示系列，并用特征标给出普朗切雷尔公式(文献 Vo1．2，pp．450—456；文献，VI，第2章)．
　　由于数学与流体力学、量子场论中常出现无穷维李群，盖尔范德[由戈拉叶夫、A．M．韦尔希克(BepШИk)等合作]对无穷维酉表示也进行了很多研究．例如，对于具有规范理论背景的群Gx(黎曼流形X上取值于紧半单李群G中的光滑函数组成的群)，借助毛瑞尔-嘉当闭上链，构造出Gx在福克空间expX上的表示系列，证明当dimX≥4时这些表示是不可约的．(后来别人证明dimX=3时是不可约的而dimX=1时则是可约的．)
　　盖尔范德对自守形式作了重要研究，他认为自守函数论中几乎所有问题都可陈述为把给定半单李群G在函数空间中的表示分解为不可约表示．在1952年关于常负曲率流形上测地流的论文(文献，Vo1．2，PP．321—327，由C．B．福明(ФOMИH)合作)中，他证明自守形式的空间的维数等于离散序列的表示在给定表示中出现的重数．后来他又由И．И．皮亚捷茨基-沙皮罗合作，对半单李群G在空间G／T(T是G子群)中表示的谱进行了系统研究((959)，pp．171—194；；，VI))，得到了盖尔范德-皮亚捷茨基-沙皮罗互反律(G／T上正则表示中不可约表示U的重数等于U的所有自守形式构成的线性空间的维数)和迹公式．
　　盖尔范德对表示论的研究历时40余年，几乎对这个领域的所有方面都有建树．例如，他在研究李代数的包络代数时提出的现称为盖尔范德-基里洛夫维数的概念(文献，Vo1．2，pp．613—630)，导致V．卡茨(Kac)对这种维数为有限的代数进行分类，进而提出在理论物理中很有用的卡茨-穆迪代数．
　　盖尔范德关于经典群的无穷维表示可以与有限维表示一样具有清晰优美的描述的基本观点，已被证明是十分深邃的．尽管像E．嘉当、外尔、A．赛尔伯格(Selberg)、韦伊这样的大师都对表示论进行过研究，但按A．A．基里洛夫的范围广阔、方法深刻、结果完善而言，盖尔范德是无与伦比的(文献，Vo1．2，PP．V)．
　　积分几何f
　　积分几何的系统研究始自W．J．E．布拉施克(Blaschke)．但盖尔范德认为，20世纪50年代以前它的研究领域相当狭窄，主要是对某些齐性空间计算不变测度．他提出积分几何的基本课题应当是：在空间X内给定依赖于参数λ1，…，λk的解析流形M=M(λ)=M(λ1，…，λk)，对于X上满足一定条件的函数f(x)，作沿所给流形 的；如是，求出通过I(λ)表达f(x)的公式，并研究λ的何种函数可表示为上述形式的积分．对于Cn中的平面复形，他解决了积分几何的基本问题．
　　盖尔范德(由戈拉叶夫合作)在积分几何研究中创造了强有力的“极限球面’方法．设X是作用在变换群G上的齐性空间，则对每个g∈G，群G在X上的函数f(x)的空间E中有由Tgf(x)=f(xg)定义的表示，这种表示须分解为不可约表示，于是积分几何就与表示论自然地联系在一起．在对半单李群解决分解问题时，他提出在X中挑出称为“极限球面”的子流形(它是Rn中超平面概念的推广，当X是罗巴切夫斯基空间、G是X中的运动群时，就是经典的极限球面)，把G看成作用于极限球面构成的空间X＇上．一般地说，G在X＇上的函数的空间E＇
 
　　他发现对于复半单李群解调和分析中许多问题都可归结为用极限球面方法解积分几何问题．他还给出通过积分几何方法构造缠结算子的一般原理．
　　广义函数
　　盖尔范德是充分看出C．索伯列夫和随后L．施瓦尔茨(Schwartz)关于广义函数的理论的重要性和远大前景的第一位苏联数学家．在50年代后广义函数论的发展中，盖尔范德及其合作者起了带头作用．早在1953年，他就提出能够而且必须在各种基本函数空间上构造广义函数并对不同问题选取最适合的函数空间的思想(8(1953)，pp．3—54)
　　这个思想使广义函数成为具有广泛适应性的工具，得以应用于微分方程、表示论、积分几何、随机过程论等领域．
　　1958年至1966年，盖尔范德与F．E．希洛夫、H．维列金、戈拉叶夫、皮亚捷茨基-沙皮罗合 版了以《广义函数》为总标题的6卷巨著．第一卷讨论广义函数的定义及基本性质，广义函数的傅里叶变换和各种特殊类型的广义函数．第二卷考察各种类型基本函数空间和其上的广义函数以及相应的傅里叶变换．第三卷应用广义函数研究偏微分方程组柯西问题解的唯一性类和适定性类以及自伴微分算子按特征函数的展开．第四卷主要研究核空间及其应用并引进装备希尔伯特空间，后者使许多结果更加完备优美．此卷还讨论正定广义函数、广义随机过程与线性拓扑空间上的测度论．第五卷以积分几何为基础，研究洛伦茨群以及与之有关的齐性空间上的调和分析．第六卷中研究表示论与自守函数．这套书享有国际盛誉，有中、英、法、德文译本，已成为训练分析学家的基本教材和经典著作．
　　无穷维李代数的上同调
　　C．谢瓦莱(Chevally)和S．艾伦伯格(Eilenberg)于1948年给出了李代数上同调的形式定义．在其后20年中，有限维李代数的上同调论得到了广泛发展．1968年起，盖尔范德[主要由Д．B．富克斯(ФyKC)合作]写了一系列论文，研究无穷维李代数的上同调．这一理论现称为盖尔范德-富克斯上同调．他们证明，如果M是n维闭可走向微分流形，u(M)是M上光滑切向量构成的李代数，以泊松括号为换位运算，则对任何q，同调空间Hq(u(M)；R)是有限维的；当0≤q≤n
R)由一个2维生成子和一个3维生成子生成，这两个生成子都有简单的显式表示．
　　对于Rn中形式向量场的李代数Wn，盖尔范德等通过格拉斯曼流形的骨架引进空间Xn，证明对所有q，n，Hq(Wn；R)同构于Hq(Xn；R)；环H*(Wn；R)中的乘法是平凡的，即两个正维数元素之积为零．空间Xn的上同调可以用标准的拓扑方法计算，例如，当0＜q≤2n和q＞n(n+2)时它是平凡的．他在研究Wn的上同调中所建立的许多引理，后来表明与叶状结构示性类的构造有密切联系，具有重要的意义．
　　由于盖尔范德-富克斯上同调与代数几何、代数数论、分析、量子场论以及几何中许多问题有关，因而这项研究在国际上引起了很大反响，激发了大量的后继研究，例如C．戈德比隆(Godbillon)和J．维伊(Vey)的工作．
　　微分方程
　　微分算子的谱与该算子中系数之间的关系，对于应用是一个重要问题．考虑在(0，+∞)上给定的二阶微分方程y＂+(λ-q(x))y=0及边界条件y(0)=1，y＇(0)＝h，其中q(x)在任一有限区间上连续．熟知这时存在谱函数ρ(λ)．盖尔范德[由M．列维坦合作]于1951年研究其反问题：给定函数ρ(λ)，定是否存在上述形式的微分方程，以所给ρ(λ)为其谱函数；如果存在，确定计算q(x)的方法．虽然此前已有人在这方面从事过研究，但盖尔范德用了独创的方法即转化为积分方程的方法．他通过积分方程表述了ρ(λ)是所给问题的谱函数的必要充分条件．对于有限区间上的同类方程及边界条件，他证明对于满足渐近等式的任一数列，都能构造q(x)，使所给数列是相应的特征值序列对于[0，π]上的微分方程y＂+(λ-q(x))y=0
　  -hy(0)＝0，y＇(π)＋Hy(π)＝0的特征值序列｛λｎ｝，他们得到十分简单的等式
 
　
　　其中｛μn｝是方程y＂+μy=0连同上述边界条件的特征值序列．对于最简单的边界条件y(0)=y(π)=0，就有
 
　
　　(Vo1．1，PP． 457—461．)盖尔范德建立的通过转化为线性积分方程解逆谱问题的方法，后来为L．S．伽德纳(Gardner)等在研究kdV方程孤立子解时所采用，以后由P．D．拉克斯(Lax)等发展为求解非线性微分方程初值问题的一种系统方法——散射反演方法．
　　1960年，盖尔范德提出了椭圆型偏微分方程的同伦分类问题(文献， Vo1．1，pp．65—75；其实他于1945至1946年已在讨论班上提出过这一问题)．他给出两个方程或问题为同伦的定义，指出寻找同伦不变量并用方程的系数加以描述具有重要意义，并特别指明“可以预期的一个同伦不变量是问题的指标，即给定齐次问题线性无关解的个数与相应的伴随齐次问题线性无关解个数之差”．这篇短文影响深远，启发了关于指标理论的持久研究．M．F．阿蒂亚(Atiyah)和I．M．辛格(Singer)在牛津考虑他们著名的指标定理时，该文是他们最早接触到的论文．
　　70年代后半期，盖尔范德[由ДA．狄基合作]再次研究逆谱问题，发现第k个拉克斯算子正是
 
　
　　其中D2+q是希尔方程，(D2+q)是其s复幂，(D2＋q)是其按D作伪微分展开时的正部．这个结果在以后R．B．艾德勒(Adler)等的研究中起了重要作用．盖尔范德还发展了一种形式变分法理论，揭示了孤立子方程的哈密顿特征，并为代数地计算其积分提供了形式工具．
　　生物学和生理学
　　盖尔范德于1958年开始研究生物学和生理学．他先开设一个有关的讨论班，然后与其他领域专家组织了一个使生理学家、物理学家和数学家在研究的各个阶段都能互相交流合作的实验室．该室实施了关于运动控制和小脑生理学的许多研究项目．他同M．瓦西列夫合作，在莫斯科大学建立了生物学数学方法系际实验室．
　　盖尔范德与M．采特林等合作，用独创的“深谷法”研究运动的操作控制(文献，Vo1．3，pp．686—702)．他与И．阿尔沙夫斯基等合作，提出了非个体控* 制多层系统的观念，通过对可控制运动的标本的实验，证实脊髓中存在信号传递途径，还研究了通过不同路径进入小脑信号之间的差别(1969)，pp．167—176；2(1970)，PP．581—586；pp．375—383)．
　　在盖尔范德等研究肝肌腹水肿瘤细胞复合体的过程中，发现肝腹水有两类新的细胞间接触作用——有丝分裂圈的同步化和增殖的接触加速．他们通过成纤维细胞培养，揭示了两组形态发生过程——壳层细胞质的产生和细胞的极化(2(1971)*pp．138—144；Ц，13(1971)，pp．1362—1377)．*
　　盖尔范德与另外几位学者合写了关于培养中的肿瘤细胞与正常细胞，关于正常细胞、肿瘤细胞与培养基的相互作用以及关于小脑与有节奏运动的控制等三部专著．
　　应当强调，除最早几篇论文外，盖尔范德完全是以生物学专家的面貌，同有关专家合作做大量实验并进行理论探讨，而不是把数学方法应用于生物学，也不是开发生物学的数学模型．
　　其他领域
　　盖尔范德对计算数学的发展做出了贡献．他与别的学者合作，提出研究一类差分问题稳定性的有效方法和解隐式差分格式的复搜索法(文献，Vo1．3，pp．617—647)；提出梯度法不能奏效时可用的“深谷法”(文献，Vo1．3，PP．648—670)，并把此法用于质子散射的相位分析与晶体结构辨认．他与物理学家合作进行了世界上关于稳定磁流体动力学的最早几个数值计算之一．
　　盖尔范德与伊藤清同为广义随机过程论的奠基者．他定义了广义随机过程，研究其特征泛函，建立了独立值广义随机过程理论(文献，Vo1．3，PP．529—533；文献，IV，第三章)．这项工作为白噪声分析提供了精确的数学基础．
　　盖尔范德还研究医学诊断．他同有关专家合作于1971年研制成功出血后果预后机，可在病人进院后6小时的信息基础上判断该用保守疗法抑或动手术．他发展了称为诊断博弈的方法，并把它成功地应用于医学的许多问题．
　　70年代中期以来，盖尔范德的注意力部分转向几何学．他得到第一庞特里亚金有理类的组合公式，对格拉斯曼流形的几何进行了研究并在任意正规庞特里亚金类的公式上取得显著进展(文献， Vo1．3； Bull． Amer．Math．Soc，26(1992)，pp．304—309)．
　　盖尔范德与地球物理学家、应用数学家合作，提出了识别强烈地震潜在震源的一种方法．他同苏、美一些学者联名发表的关于模式识别应用于加利福尼亚地震震中的论文(Phys．Earth PlanetInter.，(1976)，pp．277—283)，是强震模式识别的奠基性论著．他与另外四位学者合写了关于中亚和东亚地区可能的强震震源识别的专著．
　　1986年，73高龄的盖尔范德发表关于超几何函数一般理论的论文(文献，Vo1．3，pp．877—881)；以后他又同人合作展开了广泛的研究．他观察到高斯超几何函数可以自然地用约翰变换来解释，由此推广到多维情形，并对超几何函数各种表面上互不关联的特例提供统一的阐述，开创了一种富有前景的新理论．
　　研究工作的特点
　　从上面关于盖尔范德科学成就的简略介绍中，可以看到他研究领域之广泛，令人惊叹．B．科斯坦特(Kostant)认为，在20世纪后半期，盖尔范德比任何别的数学家在更多的领域发表了大量开拓性论著．在这方面，20世纪前半期中也只有希尔伯特和外尔可与之相比(文献，Vo1．3，P．1025)．
　　与研究领域广阔相联系，同他合作的科学家数量多得惊人．迄今以盖尔范德个人名义发表的论文有33篇，只占他发表论文总数的7％；而同他联名发表论文的作者，共有206位(包括中国数学家夏道行)．合作发表50篇以上者2位；20至49篇者5位；10至19篇者22位；5至9篇者21位．这些论文署上盖尔范德的姓名，决不只是出于对导师的尊重，而主要是因为他确实深入到了这些课题的研究．正如皮亚捷茨基-沙皮罗所说，1958年后盖尔范德几乎不再独自进行研究，在合作中他以提出课题时是“催化剂”，遇到困难时是“救火队”，研究完成时是细致的、毫不留情的批评者而闻名．
　　盖尔范德的科学研究与教学工作紧密相联．他经常讲授入门课程，上课时善于启发和提出问题．他于1944年开办泛函分析讨论班，后又开设理论物理讨论班．他不断提出独特的问题，作出深刻的观察，找出克服困难的线索，从而使他的讨论班成为苏联发展泛函分析和培养数学新秀的主要中心之一．同他合作的年轻人很多，大都来自他的讨论班．他建立了盖尔范德学派，其中有不少有成就的数学家，如皮亚捷茨基-沙皮罗、Д．A．卡日坦(K奈玛克、希洛夫、福明、基里洛夫、戈拉叶夫、富克斯、И．H．伯恩斯坦等．皮亚捷茨基-沙皮罗于1990年夫数学奖．享有很高国际声望的И．P．沙法列维奇*和．И．马宁(MaHИH)，都曾师事盖尔范德．
　　盖尔范德具有几乎不可思议的能力，洞察看来互不相关事物之间的联系．他具有提炼可以导致统一理解大量不同数学现象的单个观念的天才．在早期研究中，他即以关于维纳的陶伯型定理的代数特征的深刻观察而闻名．他后来的数学研究一直以分析方法与代数方法的结合为基本特征．在1962年的国际数学家大会上，他提醒人们注意齐性空间的S函数与海森堡S矩阵之间的类似性，后来A．Д．法捷耶和拉克斯的研究果* 然证实了这一看法的重要性．
　　他的研究往往总是提出或发展基本概念，而不仅仅是提供技术性的资料．他常为后来者展示生动的图景和考察所研究的课题的新途径，指出进一步发展的线索．这样，他的大部分研究就被吸收和融化到了当代数学发展的主流之中．
　　皮亚捷茨基-沙皮罗认为，苏联数学界有三位泰斗，就是柯尔莫哥洛夫、沙法列维奇和盖尔范德，其中“盖尔范德是最伟大的．他既具有沙法列维奇那样深的数学造诣，又具有柯尔莫哥洛夫那样广博的知识．此外，盖尔范德还有一个特别的才能：他能够同时从事几个基本领域的研究而并不感到增加工作的困难．……在这方面，盖尔范德是无与伦比的．”