刘徽

刘徽
中国科学院自然科学史研究所 郭书春
　　刘徽 中国山东人．公元3世纪．数学．
　　刘徽生平不详．自述“徽幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意．是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”．《晋书》、《隋书》之《律历志》称“魏陈留王景元四年(公元263年)刘徽注《九章》”．《九章算术注》原十卷．他自撰自注的第十卷“重差”自南北朝后期以《海岛算经》为名单行．前九卷仍与《九章算术》合为一体行世．唐初李淳风奉敕编纂《算经十书》，《九章算术》和《海岛算经》列为其中两部．《九章算术注》之图及《海岛算经》之自注和图今已不传．
《九章算术》——刘徽继承的数学遗产
　
　　刘徽从事数学研究时，继承了一分以《九章算术》为主体的堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产，其基本情况是：
　　世界上最方便最先进的十进位置值制记数法和计算工具算筹在中国首创并已使用至少千年．算筹的截面已由圆变方，长度已由西汉的13厘米左右缩短为8—9厘米．
 
　
　　《九章算术》于公元前一世纪成书，至此时已300余年．光和大司农斛、权(179年)“依黄钟律历、《九章算术》”制造，说明它至晚在东汉已成为官方认定的经典著作．《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中国古算的基本框架；提出了上百个公式、解法，有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式，开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公式和简单的测望问题算法，其中许多成就在世界上处于领先地位，形成了中国古算以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了中国古算密切联系实际的风格；在编排上，《九章算术》或者先提出术文，后列出几个例题，或者先列出一个或几个例题，后提出术文，确立了中国古算以术文(公式、解法)挈领应用问题的基本形式．公元元年前后，盛极一时的古希腊数学走向衰微，《九章算术》成书标志着世界数学研究重心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以算法为中心的数学占据世界数学舞台主导地位千余年的局面．
　　然而，《九章算术》也有不容忽视的缺点：对所有概念没有定义；对所有术文没作任何推导、证明；各章的编排或者按应用，或者按方法，或者两者混杂，不尽合理．东汉以后许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章算术》，这些研究无疑成为刘徽“采其所见”的资料，然好象仍停留在以某种方式验证的阶段，对《九章算术》的许多关键性公式、解法并未严格证明，对其中某些不精确或失误处，并未指出，理论建树不大．其具体情况在论述刘徽的贡献时要提到．
　　面对这样的数学遗产，刘徽的业绩不言而喻主要体现在数学证明和数学理论上．
　
率——计算的纲纪
　
　　《九章算术》上百个公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代计算理论对算法的要求．刘徽《九章算术注》的主要篇幅是通过“析理以辞、解体用图”对其算法的正确性进行证明，对诸算法间的内部联系及其应用进行论述．
　　为了用计算解决一个问题，关键是要根据问题的条件找到一种量作标准，进而找到诸量之间的关系．中国古代数学概念“率”承担了这个职责．“率”的本意是规格、标准、法度．《孟子·尽心上》：“羿不为拙射变其彀率．”《墨子·备城门》：“城下楼卒，率一步一人，二十步二十人，城大小以此率之．”反映了“率”逐步转化成一个数学概念的过程．《九章算术》的许多术文和问题题设应用了率，提出了“今有术”和勾股数通解公式等重要成就，然有的应用却偏离了约定俗成的内涵．刘徽则大大发展了率的思想，从而把《九章算术》的算法提高到系统理论的高度．
　　刘徽关于“率”的定义是：“凡数相与者谓之率．”“相与”即相关，这里是一种线性相关．“数”实际上是一组量．现今的比率是最直观且应用最广泛的一种率关系，但是，率的涵义却比比率要深刻、广泛得多．由率的定义，刘徽得出率的重要性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已．”即一组成率的数，在投入运算时，其中一个缩小或扩大某倍数，则其余的数必须同时缩小或扩大同一倍数．根据率的这一性质，刘徽提出了乘、约、齐同三种等量变换．它们最初都是从分数运算中抽象出来的．事实上，分数的分子和分母可以看成率关系．刘徽关于“率”的定义就是在“经分术”(即分数除法)注中提出来的．那么，关于分数运算的三种等量变换自然推广到率的运算中．成率关系的一组量如有等数即公因子)，则可用此等数约所有的量(称为“ 约”)，而不改变率关系，这就是“约以聚之”．相反，成率关系的所有数可以同乘某一数，亦不改变率关系，这就是“乘以散之”．利用这两种等量变换可以把成率关系的任意一组数(在现今实数范围内)化成没有公因子的一组数，而不改变率关系，从而提出了“相与率”的概念：“等除法、实，相与率也．”两个量的相与率实际上是今天互素的两个数．在运算时，刘徽一般使用相与率．几个分数只有化成同一分数单位才能进行加减，从而产生了齐同术：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．同者，相与通同共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也”．而对比较复杂的问题，常常有相关的分别成率关系的两组或几组量，要通过齐同化成同一率关系，这就是“齐同以通之”．齐同原理成为率的一种重要运算．刘徽说：
　　乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？
　　显然，刘徽把率看成运算的纲纪．
　　“今有术”在《九章算术》算法中起着基础性作用．
今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一．
 
法．它传到印度和西方后被称为三率法．刘徽认为：
　　诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也．
　　这里前三句是说设法找出各种率关系，而“平其偏颇，齐其参差”就是齐同术．对复杂的计算问题，一般说来必须通过齐同才能使用今有术或其他运算．刘徽说：“齐同之术要矣．错综度数，动之斯谐．其犹佩 解结，无往而不理焉”．下面简要介绍刘徽关于率及齐同的应用．
　　算术问题中的应用．“诸率悉通”．若甲、乙之率为a、b，乙、丙之率为c、d，b≠c，欲从甲求丙．《九章算术》两次应用今有术，先从甲求乙，再从乙求丙，刘徽称之为“重今有术”．刘徽认为，还可以应用齐同原理，先同两率关系中乙的率，化为bc，然后使甲、丙的率与之相齐，分别化为ac、bd，三率悉通，直接用今有术由甲求丙．刘徽指出：“凡率错互不通者，皆积齐同用之．放此，虽四、五转不异也．”显然，刘徽的方法比《九章算术》简便．
　　“齐同有二术，可随率宜也．”同一问题，常有不同的途径实现齐同，可以灵活运用．刘徽认为《九章算术》卷六第20—26问尽管对象不同，其数学方法都与凫雁问同类．凫雁问是：
　　今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？
　　术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日．刘徽提出两种齐同方式：一是“齐其至，同其日”，“并齐以除同，即得相逢日．”此问63日凫9至，雁7至，故相逢日为63/(9+7)．二是定距离为1，求出凫雁一日所行，“齐而同之”，
 
途同归，都证明了《九章算术》术文的正确性．
　　盈不足术中“齐其假令，同其盈 ”．盈不足术是中国古算的传统问题，在《九章算术》中单列一章，占有重要地位．即使一般算术问题，通过两次假设，均可化为盈不足问题求解(在非线性情况下只可得近似解)，因此传入欧洲后称之为双设法．《九章算术》给出了盈不足问题的一般解法：
　　置所出率，盈不足各居其下．令维乘所出率，并，以为实．并盈不足为法．实如法而一．
　　刘徽认为“盈 维乘两设者，欲为齐同之意”，即“齐其假令，同其盈 ．”， 即不足．若假令a1，盈b1，假令a2，不足b2，同其盈 为b1b2，使假令与之相齐，则分别为a1b2和a2b1，那么b1+b2次假令，共出a1b2+a2b1而不盈不 ，所以每次假令为(a1b2+a2b1)/(b1+b2)即为不盈不 之正数．
　　代数问题中的应用．方程术即线性方程组解法是《九章算术》最值得称道的成就．刘徽把率及其齐同原理拓展到方程术中．首先，他借助率提出了方程的定义：
　　群物总杂，各列有数，总言其实．令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．
　　“令每行为率”大体相当于现今行向量的概念．用率定义方程，因此对方程各行施行“乘以散之，约以聚之．齐同以通之”．同时，他提出：“举率以相减，不害余数之课也．”即方程的整行与其他行相减，不影响方程的解．刘徽把它当作不必加以证明的真理，成为方程消元的理论基础．
　　《九章算术》采用直除消元法，即以一行某项系数乘另一行，然后以该行多次相减那一行，直至该项系数为0．刘徽指出：方程的直除消元法符合齐同原理．他说：“先令右行上禾乘中行，为齐同之意．为齐同者谓中行直减右行也．从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义然矣．”这里“同”是使两行欲消元的系数相同(通过直除作到)，“齐”是使一行中其余各项系数及常数项与该项系数相齐(通过 乘实现)．齐同既达到了消元的目的，又保证了“举率以相减”，故其变换不影响方程的解．在深刻理解方程消元符合齐同原理的基础上，刘徽创造了互乘相消法以代替《九章算术》的直除法．他在“牛羊直金”问注说：“假令为同齐，头位为牛，当相乘，右行定：更置十、羊四、直金二十两；左行：牛十、羊二十五、直金四十两．”牛数相同，可以一次相减消去．刘徽说：“以小推大，虽四、五行不异也．”刘徽通过互乘，同时作到齐同，比直除法简便得多．
　　刘徽还创造了“方程新术”．他通过诸行相减求出诸元的两两相当之率，施行齐同，对易其数，得出诸元的相与之率，然后用衰分术或直接用今有术求解．
　　上述这些原理和方法在负系数方程中同样适用．刘徽说：“赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率．然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也．”此处“赤黑”即正负数．《九章算术》在方程直除消元过程中提出了正负术：
　　正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．
　　这是世界数学史上第一次引入正负数概念及其加减法则．前四句讲正负数减法，设a≥0，b＞0 ，即(＋a)-(±b)=a b，(-a)-( b)=-(a b)；后四句讲正负数加法，同样，设a≥0，b＞0，即(＋a)＋( b)=a b，(-a)+(±b)=-(a b)．刘徽解释了这些法则的正确性，并且认为用正负数足可以列出任何一个方程，而通过正负数的加减运算(实际上把率和齐同原理推广到负系数方程中)足可以对任何一个方程消元．
　　五家共井问六个未知数，方程只有五行．《九章算术》由于没有方程的定义，实际上把它的一组最小正整数解作为定解，而不知有无数组解．刘徽指出，《九章算术》的解是“举率以言之”，实际上承认它是不定问题，这是中国古算中第一次明确提出不定方程问题．
　　几何问题中的应用．刘徽把率广泛应用于面积、体积和勾股等几何问题的计算中．刘徽指出《九章算术》圆面积公式中周、径为“至然之数”，求出了周径相与之率即π的近似值；堑堵中“阳马居二，鳖 居一，不易之率也”．这两个重要问题，下面要专门分析．这里介绍一下率在勾股、测望问题中的应用．
　　《九章算术》以率的形式表示出勾股形三边的关系：
 
　
　　此处(c＋a)∶b=m∶n，m，n实际上互素．这是世界数学史上第一次提出完整的勾股数组通解公式．不过，《九章》的术文未离开具体数字，刘徽则用出入相补原理对其一般形式作了证明．
　　相似勾股形中勾股弦“相与之势不失本率”，是刘徽概括出的一个重要原理．《九章算术》利用勾股数组通解公式解勾股形，即基于这一原理．刘徽还用这一原理援引今有术、衰分术解决勾股容方、容圆及测望问题．我们试举二例．
　　《九章算术》勾股容圆问已知勾a、股b，问勾中容圆径d，其公
 个公式：
　　又画中弦以观除会，则勾、股之面中央各有小勾股弦．勾之小股、股之小勾皆小方之面，皆圆径之半，其数故可衰．以勾、股、弦为列衰，副并为法，以勾乘未并者，各自为实，实如法而一，得勾面之小股可知也．以股乘列衰为实，则得股面之小勾可知．
　　在这里刘徽过圆心作平行于弦的直线，称为中弦，分别与垂直于勾、股的半径及勾、股形成与原勾股形相似的小勾股形，且其周长分别等于勾、股．设勾上小勾股形边长为a1，b1，c1，则a1∶b1∶c1=a∶b∶c，且a1＋b1＋c1=a．由衰分术b1=ab/(a＋b+c)，d=2b1=2ab/(a＋b＋c)．同样，由股上小勾股形亦可求出此公式．
 
　
　　《九章算术》“出南北门求邑方”问是：
　　今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木．出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？
　　术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实．并出南、北门步数为从法，开方除之，即邑方．
　　如图3，设出北门BC为a，出南门DC＇为k，西行C＇A＇为b＇，邑方为x，则《九章算术》术文给出了二次方程：
x2+(a+k)x=2ab＇．
　　刘徽注的第一部分为：
　　此以折而西行为股，自木至邑南一十四步为勾，以出北门二十步为勾率，北门至西隅为股率，即半广数．故以出北门乘折西行股，以股率乘勾之幂．然此幂居半，以西行，故又倍之，合东，尽之也．
　　刘徽根据勾股形ABC与A＇BC＇相似，BC∶BC＇=AC∶A＇C＇，
 
　　重差问题的公式亦可借助于勾股相与之势不失本率的原理来证明．
　　总之，刘徽使用率证明了《九章算术》大部分算法、大多数题目，使率的应用空前广泛、深入，提高到理论的高度．
　
出入相补原理
　
　　“出入相补”见之于刘徽为《九章算术》勾股术——“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界历来有不同看法，图4的两种方法，分别将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ移到Ⅰ＇、Ⅱ＇、Ⅲ＇，是比较常见的两种推测．“出入相补”在卷一、卷五刘徽注中又称作“以盈补虚”．它是中国古算中证明面积和体积问题的主要方法，应该说，在刘徽之前，甚至在《九章算术》成书时代，人们就已熟悉这种方法．刘徽则对它作了概括、发展．我们仍以上文提到的“勾股容圆”和“出南北门求邑方”两问为例说明．对勾股容圆，刘徽注的出入相补方法是：
 
 
　　勾股相乘为图本体，朱、青、黄幂各二，倍之则为各四．可用画于小纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合成修幂：圆径为广，并勾、股、弦为袤．故并勾、股、弦以为法．
　　这是将勾股形由圆垂直于勾、股、弦的半径分成朱、青、黄三块，将两个勾股形合成一个长方形(其面积为ab)，则有朱、青、黄各二块．再加倍，则各四块．将朱、青各中分，则此四朱、青、黄拼成以圆径为宽，勾、股、弦之和为长的长方形，其面积为2ab，显然d=2ab/(a＋b＋c)．
 
　
　　“出南北门求邑方”问刘徽注的第二部分是：“此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四步之幂，各南北步为广，邑方为袤，故连两广为从法，并以为隅外之幂也．”如图6，画出长方形BEA＇C＇，勾股形BEA＇和BC＇A＇面积相等，AGA＇和AFA＇面积相等，故长方形BEGC
 
等于2ab＇，它可以分解成x2和x(a+k)，即BC和DC＇之和为从法．这就证明了术文的正确性．
　　出入相补原理对解决平面直线图形是行之有效的，刘徽用这种方法解决了大量问题．据信，重差问题亦用出入相补原理证明．《周髀算经》中测望太阳的“日高术”奠定了重差问题的基础．刘徽在介绍了日高术之后说，《九章算术》的测望问题“皆端旁互见，无有超邈若斯之类．”他说：“虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉？”因此，“辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《勾股》之下”，即《九章算术注》第十卷，今之《海岛算经》．刘徽说：“凡望极高，测绝深，而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰重差．”从测量技术上说，刘徽使用了重表、连索、累矩三种基本方法，有的要测望三次或四次．刘徽说：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入．”而就数学内容上说，望海岛(同日高术)、望松、望深谷代表了望高、知远、测深三个基本结果，其余诸题皆可由这三个基本公式得出．由于刘徽自注已佚，他怎样证明这些结果，学界未有定论．根据刘徽的数学水平，以率的原理和以出入相补原理来证明都是可信的，很可能同时采用这两种，如上两例然．此以立两表测海岛为例说明怎样以出入相补原理证明．已知表高、表间，以及使人目、表末及岛峰叁相直从两表却行的距离，两却行之差称为相多，刘徽提出岛高公式
 
　
岛高=表间×表高/相多+表高，
　　前表去岛公式
去岛=表间×前表却行/相多．
　　吴文俊认为证明方法如下：
∵ IK= IB，  HJ= HB，
　　相减得
 IK－ HJ= IC，
　　或
　　后表却行×(岛高－表高)－前表却行×(岛高－表高)
　　=表间×表高，
　　岛高=表间×表高/(后表却行－前表却行)+表高，此即岛高公式，又从 HJ= HB得
前表去岛×表高=前表却行×(岛高－表高)，
　　代入岛高公式，即得前表去岛公式．
　　立体问题中也可应用出入相补原理．棊验法就是如此．刘徽说：“说算者乃立棊三品，以效广深之积．”说明棊验法是刘徽前的一种传统方法．它是将所要讨论的立体分解或拼合成三品棊，即长、宽、高均为一尺的立方、堑堵、阳马(如图8)，适当加倍(如果需要的话)，重新拼合成一个或几个方体，从而推知其体积．显然，这种方法只适用于可分解或拼合成三品棊的特殊多面体，而对一般尺寸的多面体则无能为力．刘徽指出了它的局限性．例如三个长、宽、高一尺的阳马合成一个正方体，那么阳马棊的体积为正方体的1/3，这种方法对长、宽、高不等的阳马则无能为力．又如，上底宽1尺、长2尺，下底宽3尺、长4尺，高1尺的刍童可以分解成2个立方棊、6个堑堵棊、4个阳马棊(图9(1))．6个这样的刍童共12个立方棊、36个堑堵棊，24个阳马棊．它们可以重新组合成一个长10尺(两下底长加上底长)、宽3尺(下底宽)高1尺的长方体及一个长8尺(两上底长加下底长)、宽1尺、高1尺的长方体(图9(2)，(3))．因此，一个这样的刍童的体积为此两长方体体积之和的1/6．显然，它对一般的刍童是不适用的．
 
　
　　刘徽通过以盈补虚即出入相补证明了堑的体积公式
 
 
h的长方体，从而证明了公式．(图(10))
 
　
　　刘徽还用出入相补证明开平方、开立方程序的正确性．如开A的立方，初商a1，则
 
　
　　减根方程
　
 
 
 
　
无穷小分割在数学证明中的应用
　
　　1．割圆术——圆面积公式的证明．
　　《九章算术》提出了正确的圆面积公式：“半周半径相乘得积步”，即
 
　
　　其中S、L、r分别表示圆面积、周长和半径．在刘徽之前，人们以圆内接正6边形周长代替L，以正12边形的面积代替S，出入相补，拼成一个长为正6边形周长、宽为r的矩形，验证(1)式，这实际上取π=3，当然不是严格证明．刘徽指出，以周三径一的论证“皆非也”，提出基于极限思想的割圆术严格证明了(1)式．
　　首先，刘徽从圆内接正6边形开始割圆，依次得到圆内接正6·2n边形(n=1，2，3，……)．他认为，割得愈细，即n愈大，圆内接正多边形与圆面积之差愈小．“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”即在不可割的状态，正多边形与圆周重合，其面积之差为0，换言之，若正6·2n边形的面积为Sn，有
 
　
　　另一方面，圆内接正多边形每边与圆周间有一余径rn．若以每边长ln乘余径rn得lnrn，加到Sn上，显然S6·2n＋6·2nlnrn＞S，亦即S6·2n＋2(Sn+1-Sn)＞S．但在正多边形与圆合体的情况下，“则表无余径．表
 
 
　　最后，将与圆合体的正多边形分割成无数个以圆心为顶点以边长为底的小等腰三角形．由于以每边乘半径等于每个小等腰三角形面积的两倍，那么这无数个小等腰三角形面积之和应是半周与半径的乘积，正如刘徽所说：“以一面乘半径，解而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂．”即
 
　
　　这就完成了圆面积公式(1)的证明．
　　2．刘徽原理——锥体体积公式的证明刘徽极限思想最精彩的应用当推他关于阳马和鳖 体积公式的证明．鳖 是有下宽无下长，有上长无上宽，即每面都是勾股形的四面体(图13(1))，《九章算术》给出的体积公式是：“广袤相乘，以高乘之，六而一．”即
 
 
　　其中a是下宽，b是上长，h是高．阳马是一棱垂直于底面的四棱锥(图13(2))，《九章算术》给出的体积公式是：“广袤相乘，以高乘之，三而一．”即
 
　
　　a、b为底的宽、长，h是高．刘徽指出，在a≠b≠h的情况下，由于“鳖 殊形，阳马异体”，用棊验法“则难为之矣”，无法证明(2)、(3)式．他只好另辟蹊径．
　　为此，刘徽首先提出一个重要原理：
　　邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖 ．阳马居二，鳖 居一，不易之率也．
　　即对任一堑堵，将其分解为一阳马与一鳖 ，则恒有
　　Vy∶Vb=2∶1． (4)
　　(3)两式是显而易见的．这个原理可以称为刘徽原理．刘徽用无穷小分割证明了它．
 
　　他将一个鳖 (红色)与一个阳马(黑色)拼成一个堑堵①(图14(1))．再用三个互相垂直的平面平分堑堵的长、宽、高(图14(2))，则阳马被分解为一个小长方体(Ⅰ)、两个小堑堵(Ⅱ、Ⅲ)和两个小阳马(Ⅳ、Ⅴ)(图14(3))；鳖 被分解为两个小堑堵(Ⅱ＇、Ⅲ＇)和两个小鳖 (Ⅳ＇、Ⅴ＇)(图14(4))．鳖 中两小红堑堵Ⅱ＇、Ⅲ＇与阳马中两小黑堑堵Ⅱ、Ⅲ拼成两个小长方体Ⅱ－Ⅱ＇、Ⅲ－Ⅲ＇，与小黑长方体Ⅰ，共三个全等的小长方体，其中属于阳马与属于鳖 的体积之比为2∶1．两小红鳖 Ⅳ＇、Ⅴ＇与两小黑阳马Ⅳ、Ⅴ恰是两小堑堵Ⅳ－Ⅳ＇、Ⅴ－Ⅴ＇、它们又可合成第四个全等的小长方体Ⅳ－Ⅳ＇－Ⅴ－Ⅴ＇，阳马与鳖 在其中体积之比仍未知．总之，在原堑堵的3/4中已证明(4)式成立，在1/4中仍未知，“是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一”．(图14(5))
 
　
　　刘徽指出：“余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣．”就是说，在余下的1/4中能证明可知部分阳马与鳖 体积之比仍为2∶1，则就可以确定在整个堑堵中阳马与鳖 体积之比为2∶1．为什么呢？由于所余1/4中，两个小堑堵的结构与原堑堵完全相似(图14(6))，因此可以重复刚才的分割，同样
　　(4)式尚末被证明．这个过程可以无限继续下去，“半之弥少，其余弥细．至细曰微，微则无形．由是言之，安取余哉？”无限分割到最后，没有证明(4)式成立的部分为0，换言之，在整个堑堵中证明了(4)式．
　　下面将看到，刘徽原理是刘徽体积理论的核心．
　　3．牟合方盖和截面积原理．
　　在证明其他面积和体积，尤其是曲面面积和圆体体积时，刘徽以另一种方式使用了无穷小分割．
　　刘徽指出，《九章算术》“开立圆术”所蕴涵的球体积公式
 
　
　　是错误的，其中D是球直径．他用两个底径等于球径的圆柱正交，其公共部分称作牟合方盖(图15)．他指出，球与外切牟合方盖的体积之比为π∶4：“合盖者，方率也；丸居其中，即圆率也．”刘徽虽然没能求出牟合方盖的体积，却指出了彻底解决球体积的正确途径．二百多年后，祖冲之父子求出了牟合方盖的体积，从而求出了球体积的正确公式．
 
　
　　刘徽能指出《九章算术》球体积公式的错误并指出应使球与牟合方盖比较，基于他对截面积原理的深刻认识．从《九章算术》商功章诸题的编排及刘徽注，可以看出，《九章算术》时代，人们通过比较有某种关系的两个等高立体的最大的截面积(通常是底面积)来解决圆体体积，而没有认识到必须任意等高处的截面积之比都等于最大截面积之比，方能作比较，从而错误地认为球与外切圆柱之比为π∶4．刘徽扬弃了《九章算术》的错误，认识到，必须两立体任意等高处的截面积都成定比．我们从他说的“上连无成不方，故方锥与阳马同实”(图16)，清楚地看出了这一思想．成，训层．就是说，等高同底的方锥与阳马因为每一层都是相等的方形，所以其体积才相等．显然，刘徽的这一思想与后来西方的卡瓦列利的不可分量原理十分接近．刘徽基于这种认识．提出了圆锥与外切方锥(图17(1))，圆亭与外切方亭、球与牟合方盖的体积之比均为π∶4，圆锥与等高的以圆锥底周为底边长的方锥体积之比是25∶314(相当于1∶4π，图17(2))．刘徽把中国古代关于截面积原理的认识提高到理性阶段，为祖暅最后提出“缘幂势既同，则积不容异”的祖暅原理(即卡瓦列利原理)作了准备．
 
 　
　　刘徽还提出圆锥表面积与外切方锥表面积(底除外)之比为π∶4．
　　4．极限思想在近似计算中的应用．
　　首先是圆周率的计算．刘徽指出，(1)式中的周、径“谓至然之数，非周三径一之率也．”因而需要求这个数即π的精确值．他利用上述的割圆程序，割直径为2尺的圆，由圆半径r和圆内接正6·2n边形边长ln，两次运用勾股定理并开方，可以求出6·2n+1边形边长ln+1，刘徽依次求出l1，l2，l3，l4，算出正96(=6·24)边形面积
 
积S的近似值，利用(1)式反求出圆周长：“以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分，即周数．”接着“令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也．”此即π=157/50
 
积的近似值，利用同样的程序求出π=3927/1250．并求出l8，算出S9，验证了这个值．这是中国古代第一次提出求圆周率的正确方法，它奠定了中国圆周率计算长期在世界上领先的基础．据信，祖冲之就是用刘徽的方法将圆周率的有效数字精确到8位．
　　刘徽指出《九章算术》弧田(弓形)术不精确．他由弧田的弦和矢，利用勾股定理，求出圆径，利用割圆思想，将弧割为二等分，由勾股定理，求出小弧之弦、矢，再将小弧二等分，如此继续下去(图18)，“割之又割，使至极细．但举弦矢相乘之数，则必近密率矣．”显然，求这些三角形的面积之和，可以将弧田面积精确到人们所需要的程度．
 
　
　　另一个杰出的应用便是开方中提出求微数的思想．《九章算术》在开方不尽时，“以面命之”．这是以被开方数的方根定义一个数，相当于无理数．至于其近似值，刘徽之前有的表示成：
 
以面命之，加定法如前，求其微数．微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也．”在开立方中也有类似的方法．显然，这种求十进分数的思想与现今求无理根的十进小数近似值完全相同．并且，这种方法也源于他的极限思想．刘徽求微数的意义十分重大．求圆周率每一步都要开方．刘徽说：“开方除之，下至秒忽．又一退法，求其微数．微数无名者以为分子，以十为分母．”倘无求微数，计算精确的圆周率是不可能的．求微数是保证中国圆周率计算长期领先的先决条件．同时，刘徽的微数开创了十进小数的先河，对中国在宋、金时代最先使用小数起了促进作用．
　
枝条虽分而同本干——刘徽的数学体系
　
　　刘徽通过为《九章算术》作注，把自己的数学知识分散开来，好象杂乱无章，前后失次，实际上并不是这样．他说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已．”这个端是什么呢？刘徽在谈到数学研究并不特别困难时说：“至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共．”规、矩分别是画圆、画方的工具，表示事物的空间形式，度量指度、量、衡，表示数量关系．刘徽的话说明他认为数学方法起源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何与算术、代数的统一．
　　由上文所列出的证明看出，其中的推理是演绎推理，因而其证明是演绎证明．刘徽证明的前提是若干公认的事实及已经证明过的公式、解法，这在上文已经述及．当然，还必须提出许多定义．
　　在中国，数学定义最初出现在先秦的《墨经》中，可是，这种传统没有继承下来．《九章算术》没有任何定义，数学概念的含义靠约定俗成．刘徽继承墨家的传统，提出了若干定义．前面已经谈到率、方程的定义．又如正负数：“两算得失相反，要令正负以名之．”这个定义表明，两个相反的数，一个为正，则另一个必为负，不再是以盈为正，以欠为负的素朴描述，具有高度抽象性．根据这个定义，方程中各行系数，可以根据消元的方便而定：“可得使头位常相与异名．”面积：“凡广从相乘谓之幂．”根据这个定义，可以计算曲面的面积，甚至看来与面积无关的两数相乘问题，都可化为面积问题而解决．关于体积，刘徽没写出定义，但是，徧察《九章算术注》，刘徽只对《九章算术》53个问题的术文没写注，其中有52个问题(分别在卷二、三、八)，或者已注过总术，或已注过同类术文，刘徽主张简约，当然不必再注．那么，此外刘徽没作注的只有商功章方堡(方柱体)的体积公式．这不是疏忽，应该说，刘徽把它看成不能证明的事实，因此可以理解为定义．
　　刘徽着力探讨《九章算术》各公式、解法直至数学各部分之间的关系，以使数学成为“约而能周、通而不黩”的体系．不言而喻，刘徽的体系是与《九章算术》不同的．以体积问题为例．《九章算术》直至刘徽前，以棊验法为主要方法，只能证明特殊尺寸的多面体体积，而对《九章算术》大部分一般性体积公式无能为力，其正确性是归纳的结果．刘徽的体系则不然，他认为鳖臑(四面体)和阳马体积的证明是关键，在用无穷小分割完成其证明之后指出：“不有鳖臑，无以知阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也．”他又着力证明了几种不同的
 
刍甍、刍童、羡除等多面体分割成有限个长方体、堑堵、阳马及鳖臑，然后求其和以证明其体积公式．刘徽注清楚地表明，他的多面体理论是从长方体出发，以四面体体积公式的证明为核心，以演绎推理为主要方法的理论体系．又如，《九章算术》粟米、衰分和均输三章都是关于比例和比例分配的问题，内容交错、重复．刘徽用率统一了这三章的方法，不仅把比例、比例分配归结为今有术，而且将分数、追及、行程、程功、利息、均输等一般算术问题都化为今有问题，指出：今有术，“此都术也．”刘徽又推而广之，将率应用于面积、体积、解勾股形、盈不足、方程等问题，使率成为计算问题的纲纪．
　　总之，把刘徽分散到九章、上百条术文、246个题目中的数学知识根据他形诸文字者进行梳理，就会看到，数学在刘徽头脑中形成了一个独具特色的体系．它从规矩度量的统一出发，引出面积、体积、率、正负数等的定义，运用齐同原理、出入相补原理、无穷小分割方法，以演绎逻辑为主要推理方法，以计算为中心，以率为纲纪，其中没有任何循环推理．它“约而能周，通而不黩”，全面、简洁地反映了到公元三世纪为止的中国人民的数学知识．刘徽《九章算术注》不仅有概念、有命题，而且有联结这些概念和命题的逻辑推理．它的出现标志着中国古代数学形成了自己的理论体系，完成了由感性向理性，由惑然性向必然性的升华．
　　
时代的产物 学者的风度
　
　　何以在公元3世纪又何以是刘徽完成这样杰出的《九章算术注》？这需要分析当时的时代背景和刘徽的品格．
　　中国封建社会经过两汉大发展，到魏晋时期发生了大变革，经济关系的基本特征是庄园农奴制，门阀士族占据政治舞台的中心，中国封建社会进入一个新的阶段．与此相适应，繁琐的两汉经学和谶讳迷信被冷落；儒学衰微，代之而起的是以研究三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为中心的辩难之风，思想界出现了春秋战国百家争鸣之后所未有过的解放与活跃局面．“析理”，探索思维规律，互相辩难，追求理胜，成为思想界的风气．汉末及三国时的社会动乱固然不利于数学的发展，然生产关系的变革及其带来的政治上的变革给数学的发展以新的机制．儒学影响的削弱，思想上的解放，使知识分子较能按自己的特长和社会的需要发挥才智，而少受追求功名利禄及代圣贤立言的精神枷锁的束缚，这就打开了数学研究中发挥创造性的大门．以严谨为其特点的数学几百年来积累了大量公式、解法需要证明其正确性，而以“析理”为要件的辩难之风的兴起促进了这个过程的完成．刘徽注《九章算术》的宗旨“析理以辞，解体用图”无疑是辩难之风中“析理”在数学中的反映．刘徽主张“要约”，“举一反三”，反对以多为贵、远引繁言，主张触类而长，都与嵇康、王弼、何晏等思想家的主张一致，他们的许多用语、甚至句法也都相近．因此，刘徽深受辩难之风的影响而析数学之理，是不言而喻的．同时，我们由此断定刘徽为嵇康、王弼的同代人而稍小一点，那么当生在公元3世纪20年代后期，或其后，他注《九章算术》时年仅30岁左右．随着儒学的衰微，不仅名家、道家重新抬头；即使秦汉以来视为异端的墨家也受到人们的重视，玄学家们经常孔、墨并称；此时，埋没200余年的王充《论衡》也传播开来．刘徽的无穷小分割思想中“不可割”的观点与墨家“不可”一脉相承，“微则无形”的观点源于《庄子》“至精无形”，刘徽的推理方式受到王充影响，等等，当然也是时代的产物．
　　北宋大观三年(1109)刘徽被封为淄乡男，据同时受封者多依其里贯来看，刘徽当是淄乡人．据《汉书》的资料，淄乡在今山东境内，可能在邹平县境．今山东地区，古是齐鲁之邦，是儒学的发祥地，稷下学宫招徕全国著名的学者，成为百家争鸣的中心之一．经两汉到魏晋，学术空气十分浓厚，2、3世纪更出现了若干著名思想家，如徐干、仲长统、郑玄、王弼，曹魏时期，齐鲁地区是正始之音辩难之风的中心之一，刘徽注中不仅明确引用《墨子》、《考工记》、《左氏传》的话，而且对《周易》、《论语》、《管子》、《庄子》等先秦典籍的话，顺手拈来，天衣无缝，说明他谙熟诸子百家言，是和他生活在齐鲁地区，受到良好的文化教养并置身于辩难之风之中分不开的．另一方面，公元2、3世纪，齐鲁地区数学比较发达，出现了刘洪、郑玄、徐岳、高堂隆、王粲等数学家，这就给刘徽少年时师承贤哲，成年后“采其所见”，深入研究准备了丰富的资料．在这样的客观条件下，使刘徽有可能改变数学偏重实践经验、忽视理论研究的传统，向既重视实践，又重视理论研究的方向转化．
　　而刘徽本人具有一个科学家的素养，则是他成功的内在因素．首先，他继承了《九章算术》开创的数学联系实际的传统．刘徽不管是证明《九章算术》的公式、解法，还是谈及数学起源的哲理问题，都是实事求是，没有神秘的成分．他说：“不有明据，辩之斯难．”全部《九章算术注》，其推理、证明都有可靠的论据和前提．他针对广为流传的“隶首造数”的说法，指出“其详未之闻也”．他在充分肯定了数学的作用之后说：“至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也．”从根本上否定了圣人创造数学的看法．他批评张衡数学研究中欲协其阴阳奇偶而不顾数学上疏密的错误，指出“虽有文辞，斯乱道破义，病也．”与数字神秘主义划清了界限．刘徽博览群书，善于汲取历代思想家的思想资料用于自己的数学创造．但是他不迷信古人．《九章算术》在东汉已是经典著作，刘徽为之作注，对之自然十分推崇．然而刘徽并不盲从．他在全面论证了《九章算术》的公式、解法的同时，指出了它的若干错误及不精确处．如批评宛田术和开立圆术的错误．指出它有关圆或圆体的问题或术文“以周三径一为率，皆非也．”批评前人“世传此法，莫肯精覈，学者踵古，习其谬失．”同样，刘徽相信自己设计的牟合方盖是解决球体积的正确途径，然“判合总结，方圆相緾，浓纤诡互，不可等正”，未能求出其体积．然而他决不不懂装懂，故弄玄虚以欺世人，坦率地表示“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，既表现了他“知之为知之，不知为不知”的实事求是作风，又反映了他寄希望于后学，相信后人能超过自己的坦荡胸怀．刘徽认为，用数学方法解决实际问题，应在认识数学精理的基础上尽量使用灵活的方法，所谓“设动无方”，而不应“专于一端”．他以《庄子》中“庖丁解牛”的寓言作比喻，说“数，犹刃也．易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤．”因此，他对一个问题常常提出几种不同的解法，对一种解法，常常提出不同的理解途径，大大丰富了《九章算术》的内容．
　　当然，我们在表彰这位数学巨匠的功绩时，我们也不能不指出他的某些不足．刘徽在数学上无疑是位创造者、革新者．就他的数学水平，完全可以写出一部水平更高的自成体系的著作来，然而他未能突破给经典著作作注的惯例，把自己的真知灼见分散到《九章算术》中，这对后人理解《九章算术》当然大有裨益．但作注的形式却限制了他的数学创造、数学方法的展开，也限制了他的思想对后世的影响．比如就极限思想而言，从现存中国古算著作看，在李善兰及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至没有达到刘徽的水平．刘徽说：“一者，数之母，”即把任何数都看成可以用1的积累表示出来，在有理数的范围内这无疑是正确的．同时，这种思想对求圆周率的近似值，求无理根的近似值而不必考虑哲学上的困难，无疑也是有贡献的．然而，这同时也关上了通向无理数的大门，使无理数的发现失之交臂．