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婆罗摩笈多 湖南科学技术出版社 陈一心 婆罗摩笈多(Brahmagupta) 约公元598年生，约660年卒．数学、天文学． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为现在巴基斯坦的信德．从他的姓名结构中含gupta推测，他属于吠舍氏的成员，即当时的平民阶层．婆罗摩笈多长期在乌贾因工作，这里是当时印度数学、天文学活动的三个中心之一． 婆罗摩笈多在30岁左右，编著了《婆罗摩修正体系》(Br1hma-sphuatasiddh1nta，公元628年)一书．该书用此名，是因为他修改和引用了印度最古老的天文学著作《婆罗摩体系》(Brāhmasiddh1nta)的内容．《婆罗摩修正体系》分为24章，其中《算术讲义》(Ganit1d’h1ya)和《不定方程讲义》(Kutakh1dyaka)两章是专论数学的，前者研究三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等；后者研究一阶和二阶不定方程．《婆罗摩修正体系》的其他各章是关于天文学研究的，也涉及到许多数学知识． 婆罗摩笈多的另一部著作《肯达克迪迦》(Khandakh1dyaka，音译)，是天文学方面的名著．它包含8章，研究了行星的黄经，与周日运动有关的三个问题，月食、日食、星的偕日升落，以及行星的会合等． 婆罗摩笈多的这些著作在拉贾斯坦邦、古吉拉特邦、中央邦、北方邦、比哈尔、尼泊尔、潘贾婆(Panjab)和克什米尔等地受到广泛重视，许多学者对其进行过研究． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他提出了负数概念，用小点或小圈记在数字上面以表示负数，并给出负数的运算法则，如“两个正数之和为正数，两个负数之和为负数，一个正数和一个负数之和等于它们的差”；“一个正数与一个负数的乘积为负数，两个负数的乘积为正数，两个正数的乘积为正数”等等．他的负数概念及其加减法法则，仅晚于中国(约公元1世纪成书的中国《九章算术》最早提出负数及其加减法运算的概念)而早于世界其他各国数学界；而他的负数乘除法法则，在全世界都是领先的． 婆罗摩笈多对数学的最突出贡献是解不定方程Nx2+1=y2．在欧洲，这种方程曾在J．佩尔(Pell)的代数书中论及，后被L．欧拉(Euler)命名为佩尔方程．1767年，J．L拉格朗日(Lagrange)运用连分数理论，给出了该问题的完全的解答．事实上，婆罗摩笈多在公元628年便几乎完全解出了这种方程，只是当时不为欧洲人所知．其后，婆罗摩笈多的解法又被婆什迦罗(Bh1skara)改进． 按照婆罗摩笈多的解法，令(α，β)和(α′，β′)分别为Nx2+K=y2和Nx2+K′=y2的一个解集，于是很容易变换为Nx2+KK′=y2的解x=αβ′±α′β，y=ββ′±Nαα′，这被称为婆罗摩笈多引理．特别地，取K=K′，若Na2+K=β2，则有x=2αβ，y=β2+Nα2为Nx2+K2=y2的解，故有 若上述值为整数，便得到一整数解集： (1)若K=±1，则上述值显然为整数． β2-1．x和y为整数． Na2+4=β2，β也为偶数．故此为方程的一对整数解．若a为奇数，应用婆罗摩笈多引理，可得 若β为奇数，则x，y皆为整数；若β为偶数，x，y也是整数． (4)若K=-4，按上述过程 反复运用婆罗摩笈多引理，可得 无论β是奇数还是偶数，以上解都是整数． 总之，解Nx2+1=y2，若得到一组解(a，β)(K=±1，±2或±4)，反复运用婆罗摩笈多引理，便可得到一无穷解组．这就是婆罗摩笈多解方程Nx2+1=y2的方法． 婆罗摩笈多还研究了不定方程ax±by=c，这类方程在印度首先为 到联立不定方程及多个未知量的情形． 对方程ax2+bx=c(a＞0，b和c可以是负数)，婆罗摩笈多给出一个根的公式 《婆罗摩修正体系》中的许多代数问题都是属于天文学计算的，印度书中常见的离奇古怪的题目并不多，后来的注释者补上一些以说明某种法则．如：山上住着两个苦行者，一个是巫师，会在空中飞行．他从山顶笔直跳到空中去，到达某一高度后，斜降到一个小镇上．另一个从山顶垂直到达地面，再步行到同一小镇．二人所经距离相等，求山和小镇的距离，以及巫师升空的高度． 这是一个二次不定方程，注释者按图中的数字求得x=8． 在几何学方面，婆罗摩笈多对有理直角三角形即边为有理数的直角三角形很有兴趣．他给出了一般解a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2(m，n是任意不相等的有理数)，但没有证明． 婆罗摩笈多对有理四边形的研究也取得了许多成果，不过，他没有认识到他所得到的结论仅适用于圆内接四边形．令(a，b，c)和(α，β，γ)分别是两个有理直角三角形的边，并有关系c2=a2+b2和γ2=a2+β2，则边为(cβ，αγ，cα，bγ)和(cβ，cα，bγ，αγ)的两个四边形称为婆罗摩笈多四边形．例如，取(a，b，c)和(α，β，γ)分别为(3，4，5)和(5，12，13)，便得到边为(25，39，60，52)和(25，60，39，52)的婆罗摩笈多四边形．圆内接四边形的两个定理被称为婆罗摩笈多定理：(1)边为a，b，c，d (2)边为a，b，c，d的圆内接四边形的对角线长分别为 和 婆罗摩笈多还探讨了借助于一给定的正弦表求中间角正弦的方法．他所使用的插值法则等价于牛顿—斯特灵公式． 婆罗摩笈多的一些数学结论夹杂着错误，例如计算边长为12的等边三角形的面积，他写为6×12；边长为10，13，13的等腰三角形的 是0，这也是不正确的． 公元8世纪时，婆罗摩笈多的著作被带到巴格达，在皇室的支持下译成阿拉伯文，对当时阿拉伯的天文学和数学产生了一定影响．印度的一些天文表被阿拉伯人称为辛德军德(Sindhind)，从发音上推测它们很可能取自婆罗摩笈多的《婆罗摩修正体系》，这些天文表在阿拉伯世界享有极高的声誉． |
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