数学史话之瓦格布拉迪婆罗摩笈多

在阿耶波多之后，有个来自乌贾因的人，又将负数乘法的概念引入到了数学之中，他就是本文的主角婆罗摩笈多。

婆罗摩笈多

婆罗摩笈多大约于598年出生在印多尔之北的乌贾因，他的原籍可能是现在巴基斯坦的信德。他的名字婆罗摩笈多的梵文是：Brahmagupta，其中Brahma是婆罗门教、印度教信奉的创造之神，汉语的意思是"梵天"，与湿婆、毗湿奴合称三大神。不过他名字的后半部分"gupta"显示他可能来自"吠舍"阶层，也就是平民阶层。这里稍微介绍一下印度的种姓制度，我们都知道印度自独立以来就已经官方废除了种姓制度，但是这种几千年来形成的习惯还存在于观念之中。种姓制度将人分成四个阶层：婆罗门、刹帝利、吠舍、首陀罗。婆罗门是第一等级，主要是僧侣贵族，拥有解释宗教经典和祭神的特权以及享受奉献的权利；刹帝利是第二等级，主要是军事贵族和行政贵族，享受世俗的特权，保卫婆罗门；吠舍是第三等级，主要是由普通雅利安人组成，在政治上是没有特权的，需要以布施和纳税来供养婆罗门和刹帝利阶层的人，所以他们主要从事的行业是商业；首陀罗是第四等级，是被征服的绝大多数的土著人，非雅利安人，他们主要从事一些仆役类的低贱职业。在此之外，还有一个第五种姓或者说被排除在种姓之外的人，他们被称为"不可接触者"，又叫"达利特"，他们的社会地位最低，也最受歧视。举个例子就可以说明这种歧视有多严重：如果一个"不可接触者"走在路上，看到对面有个高种姓的人走过来，他是需要躲起来不能让对方看到的，因为他们不能让自己的影子落到路人的身上；更有甚者，有的人会带着扫帚，边走边扫掉自己的脚印。

种姓制度的解释

婆罗摩笈多就是属于"吠舍"阶层的，他一生都在乌贾因工作，主要从事天文学和数学，当时的乌贾因是印度数学和天文学的三大中心之一。婆罗摩笈多在30岁左右的时候完成了《婆罗摩修正体系》一书，这本书正是对印度古老的天文著作《婆罗摩悉檀多》的引用和修正。

在《婆罗摩修正体系》中有两章专门讨论了数学，其中第12章为《算术讲义》，第18章为《不定方程讲义》。在《算术讲义》中，婆罗摩笈多提到了负数、零和未知数符号的概念。他明确指出：正数乘负数得负数，负数乘负数得正数。婆罗摩笈多之前，包括希腊的丢番图和中国的《九章算术》中都提到过负数的计算，但是都只限于加减法，而婆罗摩笈多则给出了负数与正数的乘除法则，这在数学思想上是一个大的突破。他还使用符号来表示未知数，这也是比丢番图要先进的地方。不过他给出了0的算法，比如他认为0/0=0，a/0是一个分数，这个思想是不正确的。

婆罗摩笈多在《不定方程讲义》中最大的贡献就是给予了形如"Nx^2+1=y^2"的不定方程正整数解的一个方法。X^2-Ny^2=1或者Nx^2+1=y^2型的方程被称为"佩尔方程"，实际上这是一个误会，就如同"阿拉伯数"一样。佩尔对此类方程并无研究，只不过是欧拉在一篇文章中不知道因为什么把它称为"佩尔方程"，于是这个名称就延续下来了。实际上费马倒是曾经研究过这类方程。不定方程后来成为印度数学研究的中心问题之一，还给予了一个专门的名称：瓦格布拉迪。婆罗摩笈多给出的解此类不定方程的方法被称为"婆罗摩笈多引理"，后来被欧拉重新发现。

婆罗摩笈多在67岁的时候，还写了一本关于天文学的著作《肯德卡迪亚格》，在书中，他利用二次内插法计算出了每隔15°的正弦值。一般来说插值法的公式要归功于牛顿，在他的《原理》一书中就用到了插值法，但很明显牛顿不是第一个用插值法的人。婆罗摩笈多就多次用到了插值法，而在他之前，中国的刘焯在《皇极历》中就已经用到了二次插值法。这是已知的最早的有文献记载的使用二次插值法的记录。

婆罗摩笈多另一个贡献是给出了勾股数的通解公式，其实也是从上面的不定方程来的，他得出了勾股数的全部解。另外他还给出了四边形的面积公式。婆罗摩笈多在几何学上的成就是给出了"婆罗摩笈多定理"，有兴趣的读者可以去证明一下。

婆罗摩笈多定理

婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。