杨辉

杨辉
中国科学院科学出版社 孔国平
　
　　杨辉 字谦光．南宋钱塘(今杭州)人．生卒年不详，生活于13世纪．数学．
　　杨辉曾做过地方官．足迹遍及钱塘、台州(今浙江临海)、苏州等地．与他同时代的陈几先称赞他“以廉饬己，以儒饰吏”．杨辉特别注意社会上有关数学的问题，多年从事数学研究和教学工作，是东南一带有名的数学家和数学教育家．他走到哪里都有人请教数学问题．从1261年到1275年的15年中，他先后完成数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷(1261)，《日用算法》2卷(1262)，《乘除通变本末》3卷(1274)，《田亩比类乘除捷法》2卷(1275)和《续古摘奇算法》2卷(1275)(其中《详解》和《日用算法》已非完书)．后三种合称为《杨辉算法》．
　　关于这五部书的编著过程，杨辉写道：“《九章》为算经之首，辉所以尊尚此书，留意详解．或者有云：无启蒙之术，初学病之，又以乘除加减为法，秤斗尺田为问，目之曰《日用算法》，而学者粗知加减归倍之法，而不知变通之用，遂易代乘代除之术，增续新条，目之曰《乘除通变本末》，及见中山刘先生益撰《议古根源》，演段锁积，有超古入神之妙，其可不为发扬，以俾后学，遂集为《田亩算法》．通前共刊四集，自谓斯愿满矣．一日忽有刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文，求成为集，愿助工板刊行．遂添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法草总为一集，目之曰《续古摘奇算法》．”(《续古摘奇算法》序)
　　以上《乘除通变本末》3卷，上卷叫《算法通变本末》，中卷叫《乘除通变算宝》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是与史仲荣合撰的．
　　杨辉数学著作的特点是深入浅出、图文并茂，很适于教学，而且有不少创新．另外，杨辉的书中还记录了一些古代有价值的数学成果，如贾宪的增乘开方法和开方作法本源图载于《详解九章算法》的《纂类》，刘益的正负开方术载于《田亩比类乘除捷法》．杨辉自己的成就，主要表现在以下各方面．
　　1．垛积术
　　杨辉的垛积术，是在沈括像积术的基础上发展起来的，置于《详解九章算法》的商功章．他研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四棱台)体积为
 
　　其中a为上底边长，b为下底边长．
　　若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a个球组成，以下各层的长、宽依次各增加1个球，共有n层，最下层(即下底)由b×b个球组成，杨辉给出求方垛中物体总个数的公式如下：
 
　　比较一下上面两式就会发现，后者与前者的区别在于小括号内多了
 
阶等差级数求和公式，即
a2+(a+1)2+(a＋2)2+…+(b-1)2+b2
 
　
　　杨辉垛积术中属于级数求和的共有四个，其余三个是
　　 
　　 　
　　a·b＋(a＋1)(b＋1)+(a＋2)(b＋2)+…+(c-1)(d-1)＋c·d
　　 
　　除了(4)式与沈括隙积术公式相同外，其他公式均为杨辉独立推出．
　　2．捷算法与素数
　　杨辉致力于捷算法的研究，并取得一些成就．例如，《算法通变本末》中记载着一种叫“重乘”的算法，即把乘数分解为若干因数之积的形式，然后用因数去乘．杨辉说：“乘位繁者，约为二段，作二次乘之，庶几位简而易乘，自可无误也．”例如38367×23121，杨辉便把23121分解为9×7×367，然后再乘38367．
　　由于捷算法的需要，杨辉注意到一个整数是合数还是素数的问题．他说：“置价钱(即23121文)为法，约之．先以九约，又以七约，乃见三百六十七，更不可约也．”所谓不可约，就是说除了1和本身外没有其他约数．显然，杨辉的“不可约”之数即素数．他在这里首次提出素数概念，又在《法算取用本末》中列出了从201到300的素数表，共16个：
211，223，227，229，233，239，241，251，
257，263，269，271，277，281，283，293．
　　这实际是201到300的全部素数．虽然杨辉对素数的研究远在欧几里得之后，理论上也不够完整，但他在没有外来影响的情况下注意到这一重要问题，其思想之深刻是值得称道的．
　　“求一乘”和“求一除”也是捷算法，是用加减代乘除，通过折、倍等方法来实现的，“求一”就是变首位为1的意思．例如237×56，
　　 
在运算方面，杨辉特别重视乘法，他说：“夫习算者，以乘法为主．”(《详解九章算法》)认为“乘除者，本勾深致远之法”，“因法不独能乘，而亦能除”(《算法通变本末》)．例如
2746÷25=27.46×4=109.84，
　　这种以乘代除的方法不仅施于精确计算，也用于近似计算．例如
2746÷1111=0.2746×9=2.4714．
　　《田亩比类乘除捷法》中的一些题列出了不同的方法，这些方法有繁有简，杨辉的意图就在于比较优劣，提倡捷法．
　　3．纵横图
　　纵横图是按一定规律排列的数表，也称幻方．一般是n行n列，各行各列的数字之和相等，纵横图有几行，就称为几阶．我国最早的纵横图，当推汉代“九宫图”(图1)．宋代理学家们把它与《周易》中的“河出图，洛出书，圣人则之”联系起来，认为九宫图即天生的神物——洛书，是伏羲画八卦的依据，从而为这些有规律的数字蒙上了一层神秘色彩．
 
　　就在这种数字神秘主义气氛笼罩社会的时候，杨辉却在孜孜不倦地探索纵横图的构成规律。他以自己的研究成果，否定了纵横图的神秘性．《续古摘奇算法》上卷的大量纵横图表明，这种图形是有规律可循的．
　　杨辉首先给出三阶和四阶纵横图的构造方法：“易换术曰，以十六子依次第作四行排列，先以外四角对换……后以内四角对换．”这便是构造四阶纵横图的一种方法(图2)．在“总术”中，杨辉给出构造四阶纵横图的一般方法．第一步是“求积”，即求出每行或每列的数字之和应为多少．杨辉把前16个自然数当作一个等
 
　　差数列，用求和公式
 
　　求得S＝136，进而求得每行之数34．第二步是“求等”，即设法使每行、每列的数字之和等于34．“求等术曰：以子数分两行
　　一 二 三 四 五 六 七 八
　　九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六
　　而二子皆等(十七)，又分为四行，而横行先等(三十四)，乃不易之数．却以此编排直行之数，使皆如元求一行之积(三十四)而止．”依此术，杨辉构造数字方阵如图3，然后再“编排直行之数”．杨辉说：“绳墨既定，则不患数之不及也．”意思是掌握了规律，就不难作出纵横图．
 
　　四阶以上纵横图，杨辉只画出图形而未留下作法．但他所画的五阶、六阶乃至十阶纵横图全都准确无误，可见他已经掌握了高阶纵横图的构成规律，他的十阶纵横图叫百子图(图4)，各行各列的数字之和均为505．
　　杨辉的纵横图对后世深有影响，明代程大位、清代方中通、张潮、保其寿等，都曾在此基础上进一步研究纵横图．
　　4．一条重要的面积定理
　　在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中，杨辉讨论了勾股容方问题，并在后书中给出如下定理：
　　“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦．弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同．”
　　图5中，横指 BE，直指 DE，推测其证明思路如下：
 
　　因为
△ABC＝△CDA(指面积相等，下同)，
　　又因为
△AIE=△EHA，
△EFC=△CGE，
　　所以
　　△ABC-△AIE-△EFC
　　=△CDA-△EHA-△CGE，
　　即 BE= DE．
　　此定理反映了我国传统几何的一条重要原理——出入相补．实际上，△AIE可以移置△EHA处，△EFC也可以移置△CGE处，所以等积．这种思想在刘徽《海岛算经》及赵爽“日高术”中已反映出来．但首次表达成定理形式的是杨辉．该定理在平面几何中有广泛的应用．实际上，《海岛算经》中的各种测量公式都可由它推出．
　　5．因法推类
　　在《详解九章算法》的《纂类》中，杨辉提出“因法推类”的原则．正如郁松年所说，《纂类》以“算法为纲”，“以类相从”．这种思想与《九章算术》相比是一个进步，因为《九章算术》的分类标准并不一致，有的按用途分，有的按算法分．杨辉则突破了原书的分类格局，按算法的不同，将书中所有题目分为乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类．每一大类中，由总的算法演绎出不同的具体方法，并给出相应的习题．例如，“方程”类便依次给出方程、损益、分子、正负四法，“方程法曰：所求率互乘邻行，以少减多，再求减损，钱为实，物为法，实如法而一．”这是解线性方程组的基本方法．此法后的11题全是基本类型，可直接列出最简方程组．“损益”指的是移项及合并同类项，分子术指去分母的方法，正负术指方程变换时所用的正负数运算法则，各法后分别列有相应的具体题目．这种作法体现了由干生枝的演绎思想，方程法是干，损益、分子、正负三法是枝．再如“勾股类”，共设38问，分别置于21种方法之后，而第一种方法——勾股求弦法(即“勾股各自乘，并而开方除之”)是后面各法的基础．这种顺序也体现了演绎思想．
　　6．数学教育和普及工作
　　杨辉十分重视数学普及工作，他的数学书一般都是由浅入深的．《详解九章算法》便是为普及《九章算术》中的数学知识而作．他从原书246题中选择了80道有代表性的题目，进行详解．由于初学者感到《九章算术》“题问颇隐，法理难明，不得其门而入”，杨辉便“恐问隐而添题解，见法隐而续释注，刊大小字以明法草，僭比类题以通俗务，凡题法解白不明者别图而验之．”题解即提示算法要点或解释数学名词；比类是原有方法的类推，例如“商功”章，在圆亭(圆台)解法之后便给出一道圆窖题：“圆窖上周三丈，下周二丈，深一丈，问积．”书中的图形很多，不仅有数学图，还有写生图，如“勾股章”的葭出水图、圆材埋壁图、方邑图等，都很精美，为《详解》增色不少．这些图在帮助读者理解题意的同时，也有利于引起读者兴趣．
　　为普及日常所用的数学知识，杨辉专门写了《日用算法》一书，并提出“用法必载源流”和“命题须责实有”两条原则．书中的题目全部取自社会生活，多为简单的商业问题，也有土地丈量、建筑和手工业问题．这种应用数学是便于普通读者接受，也便于发挥社会效益的．杨辉还在该书的序言中提到“编诗括十三首”，这些诗歌显然是为读者自学数学而编的，可惜都已失传．但在《乘除通变算宝》中存有“求一乘”和“求一除”诗各一首，前者为
五六七八九，倍之数不走，
二三须当半，遇四两折扭．
倍折本从法，实即反其有，
用加以代乘，斯数足可守．
　　这种诗歌简练生动，朗朗上口，便于读者记诵．另外，杨辉书中还有许多乘除法歌诀，也是有助于读者熟记有关算法的．
　　杨辉不仅总结了当时的各种数学知识，还批评了以往数学著作中的一些错误，这种作法在杨辉以前的算书中很少见．例如，他在《田亩比类乘除捷法》一书中便批评了《五曹算经》中的三个错误，一是在田亩计算中用方五斜七之法(即把正方形边长与对角线之比取作5∶7)，二是题问概念不清，三是四不等田求法之误．
　　 在数学教育方面，杨辉总结了自己多年的经验，写了一份相当完整的教学计划——“习算纲目”(《算法通变本末》)，具体给出各部分知识的学习方法、时间及参考书．他主张循序渐进，精讲多练，特别强调要明算理，要“讨论用法之源”．例如，他讲减法时不只讲算法，而且指明：“加法乃生数也，减法乃去数也，有加则有减．凡学减，必以加法题考之，庶知其源．”针对教师和学生两种不同的对象，杨辉又提出“法将题问”和“随题用法”两条不同原则．教师编书或讲课时，应“法将题问”，“凡欲见明一法，必设一题”(《法算取用本末》)，就是以算法统帅习题，每种算法都设有相应的题目．而对学生来说，则应“随题用法”，即根据具体题目来选择相应的算法．他说：“随题用法者捷，以法就题者拙．“(《乘除通变算宝》)