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李，M．S． 许以超 (中国科学院数学研究所) 李， M． S．(Lie，Marius Sophus)1842年12月17日生于挪威努尔菲尤尔埃德；1899年2月18日卒于挪威克里斯蒂安尼亚(今奥斯陆)．数学． 李在家中是六个孩子中最小的一个，小学和中学毕业后，从1859年到1865年就读于克里斯蒂安尼亚大学，学习数学和科学．毕业后，担任家庭教师，这时他对天文有些兴趣，又想去学机械，直到1868年，在一个极偶然的机会，他看到了J．V．彭赛列(Pon－celet)和J．普吕克尔(Plücker)的论文，才使他走上了数学工作的道路．普吕克尔提出了射影空间的概念，即打破了传统，不用空间中的点而用空间中直线为元素，构成新的空间，研究它们的几何性质．在当时，这种新的思想，深深地吸引了他，使得他去考虑其他类型的空间，从而成为李群这个学科的创始人．所以他虽然从来也没有见过普吕克尔，但总是声称自己是普吕克尔的学生． 李的早期工作属于微分几何范畴．他的第一篇论文，使得他获得了国外的奖学金．在1869年秋，他来到柏林．在那里，他和F．克莱因(Klein)交上了朋友．(克莱因比李小7岁，和李一样，也是受了普吕克尔的影响而对几何感兴趣，但是普吕克尔是克莱因的老师．)他们两人具有迥然不同的风格．克莱因是一个代数学家，他常常被迷人的问题的特殊性所倾倒，而李却是一个分析学家，他常常撇开特殊情况，而力图用适当的一般性来理解问题．然而他们两人之间的友谊，对他们两人在数学上的进步却是非常关键的． 1870年夏天，李和克莱因一同到了巴黎，他们结识了G．达布(Darboux)和C．若尔当(Jordan)．这时，李受法国analla-gmatic学派思想的影响，发现了他的著名的接触变换．应用于曲面情形，这种变换将直线映为球，将主切曲线映为曲率线． 这年7月，法国和普鲁士间爆发了战争．8月，他决定步行到意大利，但是在枫丹白露附近，他被误会为间谍而抓了起来，过了一个月，才被达布营救出狱，他转道意大利，再回到德国． 1871年，李得到了克里斯蒂安尼亚大学的奖学金，同时在中学母校中做兼职教员．1872年，他在克里斯蒂安尼亚大学获得了博士学位．这期间，他和A．迈耶(Mayer)同时独立地建立了偏微分方程的积分理论，这个理论现在已经成为普通教科书的内容之一，在李获得博士学位后，他在克里斯蒂安尼亚大学主持了一个数学讲座． 大概在1870年左右，群论成为当时数学研究的主流之一．到1872年，克莱因发表了他的著名的埃朗根纲领，即几何学是研究空间中图形在一已知变换群之下不变的性质的学科．受他的影响，李从1873年开始，从研究接触变换的不变量转向了研究变换群理论．这是他最有成就的研究领域．他考虑n维空间中依赖于r个参数的光滑映射所构成的群，他命名为有限连续群(有限是指依赖于有限个参数，连续实际上是指光滑)，这个理论在19世纪70年代已经做好了奠基工作，但是发表得比较迟． 在1873年，李还和P．L．M．西罗(Sylow)一起，担任了N．阿贝尔(Abel)遗著的编辑工作． 李在1874年和安娜·伯奇(Anna Birch)结婚，婚后生有二子一女． 直到1876年，他又回到微分几何方面的研究，同年他和GO．萨斯 naturvidenskab”． 在1882年，由于G．H．阿尔方(Halphen)和利格尔(Legu-erre)在微分不变式方面的文章，促使他再次转向变换群的研究． 在克里斯蒂安尼亚大学的十多年中，李非常孤立，学生们对他的研究工作不感兴趣．在国外，除了克莱因、迈耶和C．E．皮卡(Picard)外，也没有人注意他的工作，例如，在《进展》(Fortschri-tte)杂志中关于李的工作的报道是由李本人写的，这实际上是一种反常现象．直到F．恩格尔(Engel)的到来，才逐渐打破了这种状态．其原因在于，李的思想被隐藏在他的极复杂的表达和算式中，李不善于抽象提炼，也是受了当时时代潮流的影响太深之故． 1884年，恩格尔刚拿到博士学位，于是克莱因和迈耶劝他到克里斯蒂安尼亚大学向李学习变换群，并且帮助李写一本关于变换群方面的综合性著作．恩格尔在李处工作了9个月，由于恩格尔的努力，这部巨著终于完成了，后来，从1888年到1893年分三卷出版． 到1886年，克莱因回到格丁根大学任教，在他的推荐下，李受聘去德国莱比锡继任讲座职务．在这里，李的工作的影响扩大了．而克莱因和J．H．庞加莱等人不断地鼓励学生到莱比锡学习这种新数学．所以继恩格尔后，又有了一批学生，其中之一为G舍费尔斯(Scheffers)．李和他一起出版了有关变换群、微分方程和接触变换的局部几何方面的教科书．这时，李的工作方向为亥姆霍兹空间问题．这是1868年由H．von亥姆霍兹(Holmholtz)提出来的．1890年，李发现了亥姆霍兹的文章有问题，经过改进，成了现在的所谓亥姆霍兹-李空间问题． 不幸的是，李在1889年得了当时称之为神经衰弱的病，在精神病医院治疗后，从1890年开始继续工作．但是他的性格有了很大的变化，尽管他的名望甚高，他仍然变得很多疑和敏感． 直到1898年，他的挪威朋友劝他回祖国工作，他毅然放弃他在当时世界数学中心——德国的第一流的讲座职务，在9月回到了克里斯蒂安尼亚大学作一个普通教授．在那里，专门为他设立了一个数学讲座．1899年，他因恶性贫血而去世，享年55岁．他的所有著作由恩格尔和P．希加德(Heegaard)编辑成册，并且加上了很好的注解． 李群及其李代数是20世纪重要学科之一．李群是一个群，又是一个光滑流形，且乘法运算和取逆运算关于流形结构而言是光滑的．李代数是一个具有换位运算(记作[，])的线性空间，它适合条件[a，b］=－[b，a]，[λa+μb，c]=λ[a，c]+μ[b，c]，[[a，b]，c]+[[c，a]，b]+[[b，c]，a]=0，其中a，b，c为向量，λ，μ为数． 由于在1935年H．外尔(Weyl)给出流形的严格定义前，不可能用别的办法理解李群，实际上，李发现的是局部李群，他首先建立了局部李群和它的李代数间的三个基本定理和逆定理．记U为n维立方体，U中点x和y间可定义乘法x·y=f(x，y)，只要f(x，y)∈U．在容许情况下有结合律，又原点为单位元素，且对x∈U，存在y∈U使 理说乘法函数f(x，y)适合普法夫(Pfaff)方程组 则有泊松(Poīsson)括号 此即以X1，…，Xn为基之n维线性空间在柏松括号下构成李代数．于是李引进了局部李群U的李代数．反之，三个基本定理之逆是极其出人意料之外的．它告诉我们，随便给出一个有限维李代数，即给出适合条 普法夫方程组(1)，且f(x，y)定义了一个局部李群．所以李的基本定理给出了局部李群和李代数间的充分必要关系．用现代语言来说，李代数完全决定了李群的局部性质．从这个基本定理出发，就把局部李群的问题，化为纯粹且相对简单的代数问题． 实际上，李群理论的第一步就是弄清和它的李代数的关系，引进单参数子群．所以李的奠基性工作，使得这个学科能够建立起来．李的另一个工作是希望建立微分方程求解的伽罗瓦(Galois)理论，虽然他未能成功，但是他给出了著名的李定理：线性可解李代数的任一表示有公共特征向量． 李实际上是微分几何和偏微分方程学家．他具有几何直觉的天赋．李在李变换群方面的工作，给数学展开了一个新的天地．从一开始，李群就和分析、代数及几何密切相关． 李在李变换群方面的工作，由他的学生恩格尔，W．基灵(Killing)，舍费尔斯，舒尔(Schur)，E．嘉当(Cartan)继承和发展．特别是嘉当，继承了李的各个方向，成为20世纪最著名的几何学家之一．到1922—1923年，韦尔在紧李群方面的系统工作，以及在韦尔明确提出流形的概念后，李群才发展成当代重要的学科之一．它在数学的各个分支，在理论物理及其他众多学科中，都得到了大量的应用． |
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