创立李群和李代数，影响深远的数学家—索福斯·李

有没有什么数学理论不仅对数学本身影响广泛深刻同时又积极的对物理起重要作用呢？我想李群一定是其中之一。李群对于微分几何和理论物理等学科的研究都有至关重要的作用，当然，它所发挥作用的地方还远不止这些。但可惜的是，由于各种各样的原因，例如数学思想的超前，李群的缔造者索福斯·李生前并未有幸看见这一理论的蓬勃发展，可谓一大憾事。

索福斯·李(Sophus Lie,1842—1899)是著名挪威数学家。在索福斯·李之前，他有一个非常出名的挪威前辈，那就是阿贝尔。应当说从阿贝尔时代起，挪威数学便有了很好的传统，20世纪也有挪威数学家获得数学最高奖菲尔兹奖或沃尔夫奖。

不过需要注意的是，索福斯·李所生活的年代里，挪威的国运可谓艰难坎坷。16世纪初，挪威反抗丹麦的残酷压迫失败后，论为丹麦的附属国，名义上仅仅是一个州。17世纪初，丹麦在和瑞典的海战中失利，又被迫将挪威割让给瑞典。19世纪初，挪威意图独立 但未完全实现，形成挪威—瑞典同盟，直到1905年才完全独立。整个19世纪，挪威的经济发展都比较困难，饥荒横行，据统计，1840～1914年挪威对外移民高达75万人，按人口比例算是当时仅次于爱尔兰的世界第二大移民国家。

李的父亲是教会牧师，而他则是家中六个孩子中最小的一个。中学的时候，李决心参军，但由于近视的原因未能如愿，之后来到克里斯蒂安尼亚大学（也就是如今的奥斯陆大学）学习数学和科学。毕业后李做过一段时间家庭教师，这期间他对自己所想从事的职业感到很迷茫，天文学家和物理学家他都考虑过，甚至植物学家和动物学家他也考虑过。最终在1867年，他兴奋地告诉朋友们，他找到了真正的灵感，他要做一名数学家。我们可以很肯定，他做了一个对世界来说非常正确的决定。

这期间他对彭赛列（Poncelet）和普吕克（Plucker）的几何学非常着迷，尤其是射影空间这样全新的数学概念。射影空间打破了过去对“空间”的传统认识，不将点看作基本元素，而是把过原点的直线看作一个“点”，也就是构成射影空间的基本元素。正是由于对空间的着迷，李早期的兴趣都集中在微分几何领域，这也为李群的创立奠定了几何基础。

李的第一篇论文便是关于他对空间的思考，之后又写了一篇更为详细的论文来解释他的思想。但数学界对他超前的思想非常谨慎，迟迟不愿意发表他的论文，这又让李对自己的前途感到十分担忧。但如同自己的同胞阿贝尔那样，他这匹千里马还是遇到了伯乐，非常著名的数学期刊克莱尔（Crelle）杂志非常乐意刊登他的结果，值得一提的是，正是克莱尔杂志在几十年前连续刊发了阿贝尔的论文才使得阿贝尔的成果为世人所知。不得不说两位挪威数学家遇到了同样的“救世主”。

不仅如此，李凭借这篇出众的论文获得了一笔奖金，这使得他有幸访问了德国，结识了克莱因这样当时的顶级数学家。这次德国之行也成了李数学事业的转折点。

1869年底，李来到柏林，见到了克罗内克、库默尔、魏尔斯特拉斯以及克莱因等当时德国数学界的名流。虽然自己也算是分析学家，但与魏尔斯特拉斯相比，李确更喜欢与克莱因这样的代数学家交往，因为像克莱因这样敏锐的数学家才能真正看到李的工作所蕴含的价值。李与克莱因之后几十年的友谊不仅使得他们各自有了知心朋友，实际上对数学的发展也起了相当大的促进作用。

李在德国不仅结识了不少数学大家，更重要的是这次经历使得他终于对自己非凡的数学才能有了清楚的认识。在写给朋友的信中，他兴奋地说道：“过去几年间，我的确低估了自己头脑的才能”。

1870年，李与克莱因来到巴黎，访问了法国数学大家达布和若尔当等人，这使得他们意识到了群论可能会对几何有重要意义。于是李的头脑中有了变换群的灵感，而克莱因也有了日后著名的埃尔朗根纲领的雏形。而李关于切触变换的理论也是在巴黎期间完成的。

回到奥斯陆大学后，李以论文《关于一类几何变换》获得博士学位并得到一笔奖金，但直到一年后他才在大学里获得职位，这期间他又建立了偏微分方程的积分理论。实际上由于李的工作在挪威显得太出色，奥斯陆大学不得不专门为他特设了一个教授席位。

1872年，克莱因提出了非常著名的埃尔朗根纲领，认为几何学是研究空间在变换群下保持某些性质不变的学科。受克莱因的影响，李也开始考虑变换群的问题，不过他所想的是空间中依赖于有限个参数的光滑映射所构成的群，并且称之为有限连续群。于是李群理论便从此诞生了，值得注意的是，“李群”这个称呼是嘉当在1930年才提出来的，以表达对索福斯-李的敬意。同时，在研究微分方程求解的伽罗瓦理论的过程中，李也发展起了如今被称为“李代数”的学科。后来基灵(Killing)在研究刚体的运动时，也独立建立起了李代数的理论，与李殊途同归。

如今我们所定义的李群既有群结构，也有微分流形结构，但在李所处的时代，微分流形的概念并没有被严格地定义，所以实际上，李所研究的李群是局部李群。他首先建立了局部李群和它的李代数之间的基本定理，也就是李代数完全决定了李群的局部性质。从这个基本理论出发，就可以把局部李群的问题转化为相对简单的代数问题。李的工作对于李群和李代数而言，完全是奠基性的，是当之无愧的创始人。

但李群这样一门新兴的数学学科在当时却并未引起数学界太多关注。当时数学研究的主流主要是代数，例如群论，而李的思想大多被隐藏在复杂的算式里，很难引起学生的兴趣。所以在奥斯陆大学的十多年里，李显得十分孤立无援，只能与克莱因等人通过书信交流数学。

终于在1886年，李在克莱因的极力推荐下，来到德国莱比锡大学出任讲座教授。毕竟德国是当时的数学强国，更多的人能理解李群论的价值，于是更多的学生在克莱因以及庞加莱的推荐下跟随李进行学习研究，进而他的思想被更广泛的研究了。

然而天有不测风云，人有旦夕祸福。1889年，李不幸患上了神经衰弱的毛病，这很可能与他长期的不被理解和劳累有关。李不得不停止手中的工作，住进精神病院进行治疗。他的治疗过程是怎么样的，如今早已无人得知，但1890年李出院后性情大变，变得非常敏感而多疑。1898年，在挪威众多朋友的邀请下，李毅然放弃德国优厚的工作条件，回到母校奥斯陆大学任职。但仅仅一年后，李便因恶性贫血而不幸去世，至死没有看见自己的工作发扬光大的那一天。

直到嘉当在微分几何上利用李群获得重要成就之后，李群的威力才为众多数学家所知。如今李群李代数已经成为数学中重要的分支，继续发挥着它在数学内外的建设性作用。