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了解一点现代数学的人肯定对布尔巴基（Bourbaki）学派的大名并不陌生，它充分影响和改观了20世纪的数学发展，留下了自己浓墨重彩的一笔。 布尔巴基学派的产生与发展都和20世纪法国数学的命运紧紧关联在一起。19世纪末20世纪初的法国数学在庞加莱等法国数学大家的坐镇下蓬勃发展，与“冤家”德国的数学齐头并进，难分伯仲，谁也无法明显的超过谁。 庞加莱 但第一次世界大战的爆发立即改变了这一相持的局势，法国政府执意让大批大学生上前线，而德国政府则人尽其才，让知识分子到技术部门任职。大战一结束，德法数学的差距就立马显现出来，德国数学在希尔伯特的带领下，聚集了一大批年轻有为的数学家，如诺特、阿廷、外尔、柯朗等日后的数学大家，与之相比，法国数学这时明显缺乏强有力的年轻人。法国数学老一辈的大家已经普遍四五十岁，而且很多人的研究领域都集中在函数论上，如勒贝格、博雷尔和皮卡等人，嘉当对李群和微分几何的研究成果当时还未被数学界重视，而阿达玛的代数讨论班也难以吸引“不怎么懂代数”的法国年轻人。此时的法国俨然已成为“函数论王国”，研究领域单一而且严重缺乏继承人。 希尔伯特 巴黎高师是当时法国数学家的主要来源地，也是盛产数学大师的高等学府，但在第一次世界大战的几年中，巴黎高师损失了自己大约三分之二的学生，可谓痛心疾首。但法国毕竟是世界上数学最强的存在之一，有着深厚的数学底蕴和人才储备，进入20年代后，又有不少的年轻数学天才通过严苛的层层选拔进入巴黎高师学习，如韦伊、小嘉当(大数学家嘉当之子)、丢多涅(或译迪厄多内)和施瓦兹等等。他们很快便发现，数学课的老师普遍都是中老年，对于最近兴起的新数学概念和理论不甚了解，甚至一无所知。这一时期内，德国的阿廷、诺特、西格尔等在代数方面正在进行崭新而非凡的工作，匈牙利的黎斯和波兰的巴拿赫已经开创了泛函分析这一全新的学科、美国和苏俄学派已在向代数拓扑学大进军，但法国数学仍然沉浸在自己的函数论王国中其他的数学并不受重视。这些对于法国年轻的数学家而言是不可接受的，这不是法国数学应该有的样子。 不满足于现状的一些年轻人站了出来，他们逐渐开始聚会，讨论数学的现状与未来。这一队伍早期在嘉当和韦伊的主导下吸引了包括丢多涅、谢瓦莱和德尔萨特等人，后来艾伦伯格又加入了进来(艾伦伯格其实是波兰人)。布尔巴基学派的雏形已经开始在孕育中了。 韦伊 1930年，丢多涅访问了柏林，看到了范德瓦尔登那本非常著名的《近世代数学》，相见恨晚之意油然而生，同时又感到法国数学是有多么无知，对于抽象代数的发展几乎一无所知，从未接触到过诸如“理想”这样的代数概念。实际上《近世代数学》所写的是一套经过整理加工的理论，所以显得十分成熟。 时间一转眼来到1934年，韦伊和嘉当已经来到斯特拉斯堡大学任教，正在教授微积分。传统的微积分教材已经不能让他们满意，尤其是那些陈旧的处理方式和想法。为什么不写得现代一些呢？这正是他们所思考的问题。例如他们想把传统的斯托克公式用微分形式写出来，这样既简洁同时也有统一的形式。在这一年冬天，韦伊和嘉当干脆找来志同道合的一行人商议如何写一本像《近世代数学》那样有体系的分析学教材，而后再依次完成集合论、代数、拓扑等涉及数学多方面的一整套名为《数学原本》的集大成专著，以达到改写数学面貌的目的。年轻气盛的数学家们准备用三年时间完成，可最终30年也没有完成！后来他们才意识到，这是一项过于艰巨的任务。布尔巴基学派的活动从此便一发不可收拾了，轰轰烈烈地影响了今后几十年数学的发展。 布尔巴基学派名称的由来说来也完全是巧合。在巴黎高师的时候，传闻有一位来自斯堪的纳维亚的数学教授布尔巴基要来讲座，结果来的却是高年级的一位搞怪专家，不着边际地给大家说些天南海北的东西，结果演变成了一场闹剧。但出人意料的是，为了保持神秘性，后来大家一致同意用布尔巴基来命名这一数学团体，并且还在前面加了一个名—尼古拉。后来也有人评价说，布尔巴基本来是普法战争中法国败军之将的名字，同时这一名字也有希腊血统，学派以之命名，是暗示自己要继承古希腊数学的辉煌，以此振兴萎靡不振的法国数学，与德国数学一决高下。 巴黎高等师范 最终在1939年，《数学原本》第一卷在巴黎出版，但二战很快席卷了欧洲，它也如同石沉大海一般。但人们却发现即使在战争的笼罩下，《数学原本》仍然在陆续出版，而且凭借精湛的内容，它的名气也越来越大。《数学原本》是一整套博大精深的著作，它几乎涉及现代数学的所有不同领域，概括了某些最新的研究成果，且以其严谨而别具一格的方式，将数学按结构重新组织起来，形成了自己的新体系。内容包括集合论、代数、一般拓扑、实变函数轮、线性拓扑空间、黎曼几何、微分拓扑、调和分析、微分流形、李群等数学分支学科。前前后后总共出版了40卷，长达七千多页，可谓数学史上最宏大的工程之一，令人叹为观止。除了最出名的《数学原本》以外，布尔巴基学派还留下了大量讨论班的材料以及一些讨论数学的资料，例如《数学的建筑》等等。 丢多涅曾指出，布尔巴基的基本指导思想是结构主义。他们认为，全部数学基于三种结构：代数结构、序结构和拓朴结构。典型的如实数集就具有三种结构:算术运算定义的代数结构;顺序结构;根据极限概念而定义的拓扑结构，再如李群同时具有代数结构和拓扑结构。数学结构的思想是布尔巴基学派的一大创举，而定义一个结构就是给出数学元素之间的一些关系,然后从给定的关系所满足的条件(也就是结构满足的公理)建立起某种关于这个给定结构的公理化理论。 结构主义很快成为了新数学的代名词，《数学原本》成了标准的教科书，而布尔巴基学派所制订的一整套标准也得到广泛的采纳，使得数学中的各种名词符号写法得到空前的统一，如今我们所学的数学当中的很多符号和名词都源于此，例如整数、复数的记号，单射满射的概念等等。 正如布尔巴基学派自己所言:“从现在起,数学具有了几大类型的结构理论所提供的强有力的工具,它用单一的观点支配着广大的领域,它们原先处于完全杂乱无章的状况,现在已经由公理方法统一起来了。由这种新观点出发,数学结构就构成数学的唯一对象,数学就表现为数学结构的仓库”。
当然，布尔巴基学派能够取得这样重大的成就绝对不是偶然的，他们对于写书和讨论这件事有着近乎苛刻的要求。某个人将初稿完成后必须接受大家全面的检查，之后便是无情的批评，甚至导致书稿作废或重写。如果有人想加入进来，那么他也必须接受“无情”的数学拷问。正是这样激烈的反复讨论和互相批评指正造就了布尔巴基学派严谨的数学精神。 60年代的时候，布尔巴基学派迎来了声誉的最高峰，这一时期的主要成员有格罗滕迪克和塞尔等人，他们都是行业内最顶级的数学家，与布尔巴基学派交相辉映。1968年，丢多涅终于打破了布尔巴基几十年的神秘，做了题为《布尔巴基的事业》的报告，彻底解开了布尔巴基神秘的面纱，介绍了布尔巴基学派的工作，成就以及思想理念。
丢多涅 然而盛极必衰是万物永恒不变的真理。随着数学的发展，所触及的领域越来越广，与其他学科的交叉也越来越多，再难以用结构的观点来统领全局，而且过分的追求形式和抽象也不再符合数学的内在发展要求。自70年代以后，布尔巴基不可避免地走上了下坡路，所受的批评与诟病也越来越多，尤其是在数学教育方面。随布尔巴基学派而去的还有法国数学的鼎盛，自此之后鲜有格罗滕迪克与塞尔之类的人物。即使布尔巴基的辉煌不再，但它所留下的遗产必将永远长存下去，影响着数学的发展，也会成为激动人心的回忆。 我想博雷尔(Armand Borel，代数拓扑，李群，代数群领域内数学大师，不是实变函数中那个博雷尔)晚年对这段峥嵘岁月的回忆非常好的总结了布尔巴基的伟大事业和思想，他说：“布尔巴基并没有实现他的所有梦想，达成全部的目标。在我看来，这已经足够了。在培植数学的整体观念、数学基础的统一性、叙述风格、符号选择等等方面，布尔巴基对数学发展产生了持久的影响。在我心中永远保留的回忆是，数学家们多年的无私合作，各不相同的个性能朝向共同的目标，在数学史上也许是绝无仅有的”。
博雷尔 |
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