西格尔

西格尔
胡作玄
(中国科学院系统科学研究所)
　　西格尔，C．L．(Siegel，Carl Ludwig)1896年12月31日生于德国柏林；1981年4月4日卒于德国格丁根．数学、天体力学．
　　西格尔的父母来自莱因地区，他是独生子，小时候对数学感兴趣，在柏林接受正规的初等教育，然后上实科中学及高级实科中学．他对中学的数学课无兴趣，只是为了补自己数学知识的不足．他到柏林市立图书馆借阅Ｈ．韦伯(Weber)的名著《代数学》(Algebra)，这可能是他接触代数数论的开始．1915年中学毕业后，第一次世界大战正激烈进行，他对战争很反感，于是选与人间世事最不相干的天文学作为自己的专业．1915年秋在柏林大学注册．由于天文课程的延拓，于是他去听Ｇ．弗罗贝尼乌斯(Fro－benius)的数论课．这一偶然的情况最终把他引向数论的殿堂．他把弗罗贝尼乌斯作为他学习的模范．大学第三学期(1916—1917年)，他参加Ｉ．舒尔(Schur)的讨论班．在这里，他第一次接触他主要的研究课题——丢番图逼近，特别是挪威数学家Ａ．图埃(Thue)的不太为人所知的工作．西格尔后来讲，舒尔最早认识到这个只有4页的文章的意义，而这也成了他后来论文的出发点．他说，图埃的符号把他搞糊涂了，不过他还是靠自己的力量改进了图埃的结果，舒尔对此十分高兴．不久他就被征召入伍，到斯特拉斯堡服役，五周后退役．他先当家庭教师，一直到1919年夏季学期才继续上学．这次他到格丁根大学从Ｅ．朗道(Landau)学习，并在朗道指导下于1920年6月取得博士学位，博士论文题目是“代数数的逼近”(Approximation algebraischer zahlen)．其后，他在1920—1921年冬季学期在汉堡大学任E．海克(Hecke)的助教，然后回格丁根大学任R．库朗(Courant)的助教，1921年底取得讲师资格，1922年秋被聘为法兰克福大学正教授．这两年间，他一共发表14篇论文．这也许可以解释他异乎寻常快的升迁．
　　他在法兰克福大学的前10多年是他一生最愉快的时期．他和他的同事M．德恩(Dehn)教授以及E．D．海林格(Hellinger)等副教授相处极好，共同举办数学史讨论班，同时结识当时许多数学家，如Ａ．韦伊(Weil)．其间，他只发表5篇论文．
　　1933年希特勒上台后，西格尔的四位同事先后被解职，法兰克福大学的黄金时代随之结束．这位亚利安后裔虽然可以在第三帝国中继续他的工作和生活，但他厌恶法西斯政权及其随之而来的战争，考虑要为自己找一条出路．1935—1936年，他访问普林斯顿高级研究院，这里优良的环境与欧洲的动荡简直是天壤之别．这一年他完成二次型的重大突破，发表了三篇长文，接着出现新一轮的成果．1936年，他到奥斯陆参加国际数学家大会，并报告他关于二次型的工作．这是他极少参加的二三次学术会议中的一次．他回到法兰克福后，那里的大学生活他已经感到受不了．1938年1月，他应聘去格丁根大学任教授，但那里也好不了多少．第二次世界大战爆发后，他下定决心离开德国．他先去挪威访问，在德国占领挪威之前，他及时地乘最后一班船驶向纽约．
　　从1940年初起，他在普林斯顿高级研究院工作，1945年以后成为终身成员．1946—1947学年曾回格丁根大学任教授，1959年提前退休，但一直讲课到1967年．其间，他曾4次去印度孟买塔塔(Tata)研究院讲学，培养起一批印度数学家．他终生未婚，晚年仍然不断进行科学研究．他教学极为出色，尤其重视教师品德．他的业绩得到普遍承认，被选为法国科学院等科学院国外院士以及苏黎士理工大学等校的名誉博士．1978年荣获首届沃尔夫(Wolf)奖．
　　西格尔发表了100篇论文，5部专著，另外还有大量的讲义．西格尔的主要著作收集在四卷《全集》(Gesammelte Abhandlungen，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，1975；Ⅳ，1979)中，他的主要工作可分为相互关连的数论、二次型理论、多复变函数及天体力学四个方面．
　　1．数论
　　(1)丢番图逼近 这是一类研究无理数被有理数逼近的问题，最简单的是实代数数被有理数逼近问题：如a是n次实代数数，即a满足不可约代数方程
a0xn＋a1xn－1＋…＋an＝0，
　　其中ai为整数，a0＞0．问题是求最小的k，使得不等式
　
 　
　　 创了这个领域，他证明
k≥n＋ε．
　　图埃在1908年证明
 
　
　　在n＞2时大大改进刘维尔的结果．在西格尔的博士论文中更进一步改进图埃的结果，他证明
 
　
　　后来他改进这结果并提出k≥2＋ε的猜想(即k与n无关)以及联立逼近的方向，这个猜想后来在1955年为英国数学家K．F．罗斯(Roth)证明，相应的联立逼近也在1970年为美国数学家W．M．施密特(Schmidt)解决．西格尔还考虑了代数数被特殊代数数逼近的相应问题．
　　(2)丢番图方程 图埃不仅在丢番图逼近上取得划时代的进展，更重要的是把丢番图逼近与丢番图方程求解问题联系在一起，西格尔也沿着这个方向继续研究．特别是他在1929年证明重要定理：如多项式方程组fi(x1，x2，…，xn)＝0(1≤i≤m)在n维空间中确定了亏格大于0的代数曲线，则不定方程组
fi(x>1，…，xn)＝0(1≤i≤m)
　　的有理整数解的个数有限．这个定理只有到1983年才为莫德尔猜想的证明所超过，西格尔在1937年证明，若(a，b，c)＝1，则axn＋byn＝c(n≥3)最多只有两个整数解．不过他的方法不是有效的，即不能给出解的上界，一直到1966年A．贝克(Baker)才发现有效方法．西格尔用的方法是丢番图逼近结合L．J．莫德尔(Mordell)及韦伊的工作．
　　(3)超越数论 非代数数的数称为超越数，刘维尔在1844年通过丢番图逼近的方式构造了第一种超越数，其后除了证明e及π是超越数之外，超越数论几乎没有什么进展．1929年起超越数论开始有所突破，一是希尔伯特第七问题获得解决，其中有他的博士生Т．施耐德(Schneider)的贡献，另一是西格尔提出系统地构造一大批超越数的方法以及证明代数无关性的方法．例如，第一类贝塞尔函数J>v(z)即贝塞尔方程
 
　
　　的解，当v为有理数，z为非零的代数数时，Jv(z)均为超越数．特别对任何p次非零整系数多项式g(x，y)∈z[x，y](g的所有系数的绝对值≤G)及m次代数数ξ，存在只与ξ及P有关的常数C＞0，使得不等式
　
 　
　　 
　　对于椭圆函数，西格尔证明，其周期ω1，ω2与不变量g2，g3不能都是代数数．
　　西格尔进一步提出E函数理论，E函数是满足以x的有理函数为系数的线性齐次微分方程的函数
 
　
　　其中Cn属于某代数数域，且满足一定的条件．对于正规E函数组f1(x)，…，fm(x)，西格尔证明，当α属于代数数域时，f1(α)，…，fm(α)是代数无关的超越数．西格尔的方法后来被苏联数学家Ａ．Б．西德洛夫斯基(Шидловкий)推广到满足高阶微分方程的E函数，对超越数论发展产生巨大影响．
　　(4)代数数域的加法理论 整数的乘法理论——素因子及唯一分解定理已经推广到代数整数上，但整数的加法理论如四平方和问题及华林问题，首先由西格尔推广到代数数域上．1922年他首先将平方和问题推广到代数数域上，1945年他继而将华林问题进行推广．他的方法是把G．哈代(Hardy)、J．李特尔伍德(Littlewood)的圆法推广．西格尔在推广法莱(Farey)分割及估计劣弧部分中显示很高的技巧．他证明，数域中的全正数等于数域中四个数的平方和，而且对数域中的华林问题证明希尔伯特的相应的存在性结果．对于实二次数域他给出全正数表为n(≥5)个整数平方的表示数的渐近公式．
　　(5)代数数论 海克在1917年引入代数数域的L函数，证明它与R．戴德金(Dedekind)在1877年引进的代数数域的ζ函数有关，从而证明戴德金ζ函数的半纯开拓．西格尔给出另一个证明，他还用它得出 (Dirichlet)得出解析公式，但难算出类数．当m＜0时，设判别式为d的二次域k的类数为h(d)，对此C．F．高斯(Gauss)猜想：当｜d｜→∞时，h(d)→∞．1934年，H．亥尔布朗(Heilbronn)证明了这个猜想，1935年进一步证明更精确的结果
 
　
　　由此可得出类数一定的虚二次域只有有限多个，特别是后来证明k(d)＝ι的虚二次域只有9个．西格尔在1935年也给出一个证明．当m＞0时，他证明
 
　　 是否存在无穷多d，使h(d)＝1成立．西格尔在证明这个重要结果时用海克L函数Ld(1)与h(d)的关系．其中
 
　　 
　　(6)解析数论 解析数论的核心是ζ函数及L函数的黎曼猜想及广义黎曼猜想．西格尔在1935年证明下述西格尔定理：对每个ε＞0，存在正数C(ε)，使得当x为modq实特征但非主特征时，对所有s≥1－C(ε)q－ε，狄利克雷函数L(s，x)≠0．前述的类数问题就是靠这个定理证明的．
　　在此之前，他研究黎曼的手稿，特别是黎曼关于ζ函数的渐近公式，他用新方法证明并给出余项，这公式后来称为黎曼－西格尔公式．由此可得出对称形式的函数方程．
　　2．二次型理论
　　整系数二次型理论开始于拉格朗日四平方和定理的证明．但是计算一个整数t有多少个表为m个平方和的表法数A(m，t)一直是极困难的问题．作为这个问题的推广，求t被整系数二次型S表示的数目A(S，t)，就更加不易．当S为正定二次型时，高斯及Ａ．爱森斯坦(Eisenstein)考虑三元型的情形，Ｈ．闵科夫斯基(Minkowski)考虑过一般情形．西格尔在1935—1937年研究更一般情形，求一整数对称矩阵T被二次型表示的数目A(S，T)，它实际上是求解方程
XtSX≡S[X]＝T，
　　其中S是m×m方阵，T是n×n方程(m≥n)，X是m×n矩阵，Xt是X的转置矩阵，当S＝T时，A(S，S)记做E(S)．显然，S用S的等价矩阵(或二次型)S′置换，A(S，T)不变．二次型S，S′称为同种(geschlecht)，如果对每个q，
S[X]≡S′(modq)，
S′[X′]≡S(modq)
　　有解，且两二次型惯性指数相等(当S，S′非正定时)．所有同种的二次型可以分成有限多个(h)个等价类S1，S2，…，Sh．西格尔证明基本公式
 
　
　　其中
 
 
　　由此可以得出以前所有公式，特别是t表为m个平方和的表法数．在以后的论文中西格尔推广到不定二次型情形以及以有限次代数数为系数的二次型的情形．
　　3．函数论
　　西格尔对函数论的研究与二次型理论密切相关，首先他把模函数论从一元推广到多元．多元模函数论主要有两种，一种是希尔伯特模函数论，一种是西格尔模函数论．作为上半平面的推广，西格尔引入西格尔上半空间Hn，它是n阶复对称矩阵Z＝X＋Y构成空间，其中Z的虚部Y是正定的，辛群Sp(n，R)作用于Hn如下：
　
M(Z)＝(AZ＋B)(CZ＋D)－1．
　　Hn上的全纯函数f称为权k的n次模形式，如对所有M∈Sp(n，Z)，
f(M(Z))＝det(CZ＋D)＋kf(Z)；
　　 　
　  　
　 
　　(3)爱森斯坦级数
 
　
　　是权k的模形式( 0)．
　　(4)他定义模函数为权k的两模形式之商，它们构成超越次数为 
　　(5)模形式的傅里叶展开
 
　
　　系数a(T)均为有理数，其中tr为迹．
　　西格尔通过不连续群定义n变元自守函数，并由此定义基本域．西格尔对Hn定义辛度量
 
　
　　以及体积元
 
　
　　由此可得出其几何性质，对于辛群的不连续群，西格尔得出一系列重要结果．例如，当基本域为紧致时，任n＋1个自守函数均代数相关，可选择n＋1个自守函数f0，f1，…，fn，任何自守函数可表为它们的有理函数．他还构造一系列基本域，包括紧致的和非紧致的．
　　西格尔在天体力学如三体问题的研究及数学史方面也有重要贡献．