用建模思想指导小学数学教学

用建模思想指导小学数学教学

所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量间的相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等等，都可以称之为数学模型。如自然数“1”是“1个人”、“一件玩具”等抽象的结果，是反映这些事物共性的一个数学模型；方程是刻画现实世界数量关系的数学模型等。因此，建立数学模型的过程就是“数学建模”。 　　 　　一、小学“数学模型”构建 　　 　　《数学课程标准》(实验稿)倡导以“问题情境一建立模型——解释、应用与拓展”作为小学数学课程的一种基本叙述模式，并在教材中初步体现，这是数学新课程体系直接体现“问题解决”教学模式的反映。 　　 　　(一)建模的策略 　　1．精选问题，创设情境，激发建模的兴趣。 　　数学模型都具有现实的生活背景，这是构建模型的基础和解决实际问题的需要。如构建“平均数”模型时，可以创设这样的情境：4名男生一组，5名女生一组，进行套圈游戏比赛，哪个组的套圈水平高一些?学生提出了一些解决的方法，如比较每组的总分、比较每组中的最好成绩等，但都遭到了否决(初步建模失败)。这时需要寻求一种新的策略，于是构建“平均数”的模型成为学生的需求，同时也揭示了模型存在的背景与适用，的条件。 　　2．充分感知，积累表象，培育建模的基础。 　　教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方位感知某类事物的特征或数量间的相依关系，为数学模型的准确构建提供可能。如“凑＋法”模型构建的过程就是一个不断感知、积累的过程。首先学习“9加几”的算法，初步了解“凑十法”；接着采取半扶半放的方式学习“8、7加几”的算法，进一步引导学生感知“凑十法”更广的适用范围；最后学习“6、5、4加几”的算法，运用“凑十法”灵活解决相关的计算问题。在此过程中，学生经历了观察、操作、实践等活动，充分体验了“凑十法”的内涵，为形成“凑十法”的模型奠定了坚实的基础。 　　3．组织跃进，抽象本质，完成模型的构建。 　　具体生动的情境或问题只是为学生数学模型的建构提供了可能，如果忽视从具体到抽象的有效组织。那就无法建模。如“平行与相交”一课，如果只是让学生感知火车铁轨、跑道线、双杠、五线谱等具体的素材，而没有透过现象看本质的过程，当学生提取“平行线”的模型时，呈现出来的一定是形态各异的具体事物，而不是具有一般意义的数学模型。“平行”的数学本质是“同一平面内两条直线间距离保持不变”。因此，教师应将学生关注的目标从具体上升为两条直线间的距离。可以让学生通过如下活动来引导认识过程：提出问题：为什么两条直线永远不相交?动手实验思考：①在两条平行线间作垂线。②量一量这些垂线的长度，你发现了什么?③你知道工人师傅是通过什么办法使两条铁轨始终保持平行的吗?经历这样的学习过程，学生对平行的理解必定走向半具体、半抽象的模型，从而构建起真正的数学认识，完成从物理模型到直观的数学模型再到抽象的数学模型的建构过程。 　　4．重视思想，提炼方法，优化建模的过程。 　　不管是数学概念的建立、数学规律的发现、数学问题的解决，核心问题都在于数学思想方法的运用，它是数学模型的灵魂。如“圆柱的体积”一课教学，在建构体积公式这一模型的过程中要突出与之相伴的数学思想方法：一是转化，将未知转化成已知；二是极限思想。重视数学思想方法的提炼与体验，可以催化数学模型的建构，提升建构的理性高度。 　　5．回归生活，变换情境，拓展模型的外延。 　　从具体的问题经历抽象提炼的过程，初步构建起相应的数学模型，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。如“鸡兔同笼”的问题模型，是通过研究“鸡”、“兔”建立起来的，但建立模型的过程中不可能将所有的同类事物一一列举。因此，教师要带领学生继续扩展考察的范围，分析当情境、数据变化时模型的稳定性。可以出示如下问题让学生分析：“9张桌子共26人，正在进行乒乓球单打、双打比赛，单打、双打的各几张桌子?”“甲、乙两个车间共有126人，如果从甲车间每8人中选一名代表，从乙车间每6人中选一名代表，正好选出17名代表。甲、乙两车间各有多少人?”这样，使模型的外延不断得以丰富和拓展。 　　 　　(二)建模的途径 　　开展数学建模活动，关注的是建模的过程，而不仅仅是结果，更多的是培养思维能力，特别是创造能力。因此，在小学数学教学中，教师要转变观念，革新课堂教学模式，以“建模”的视角来处理教学内容。 　　1．根据教学内容，开展建模活动。 　　教材中的一些内容已经按照建模的思路编排，教师要多从建模的角度解读教材，充分挖掘教材中蕴含的建模思想，精心设计和选择列入教学内容的现实问题情境，将实际问题数学化，建立模型，从而解决问题。 　　2．上好实践活动课，为学生模仿建模甚至独立建模提供有效指导。 　　可以结合教材内容，整合各知识点，使之融进生活背景，产生好的“建模问题”作为实践活动课的内容。如教材中安排了这样的问题：“找10盒火柴，先在小组里拼一拼，看看把10盒火柴包装成一包有哪些不同的方法。怎样包装最节省包装纸?” 　　3．改编教材习题，加强建模教学。 　　教材中有些问题需要改编，使其成为建模的有效素材。如：“图中正方形面积是8平方厘米，求圆的面积。”可以利用它开展以下的建模活动：设圆的半径是r，探讨出圆的面积与正方形面积之间的关系后，建立起关系模型，进而解决问题。也可以另辟蹊径，先通过“正方形面积是6平方厘米，求圆的面积”这一问题的解决，建立关系模型“圆的面积是正方形面积的π倍”，从而使原问题获得解决。 　　 　　二、小学“数学模型”的应用 　　 　　活用“数学模型”可以在很大程度上帮助学生深刻领会所学知识，顺利构建数学体系，从而大大提高学生解决实际问题的能力，使学生数学素质得以提升。 　　 　　1．用模型解题。 　　要学会把复杂问题纳入已有模式之中，使原有模型成为构建和解决新问题的工具。例如：“A、B两地相距220千米，甲从A、乙从B同时相向而行，甲每小时行40千米，乙每小时行50千米。途中乙修车停了1小时。两车从出发到相遇用了几小时?”可以引导学生进行分析：以前解决的问题中两个物体从始到终都在运动，而上述这个问题发生了变化。我们可把它变成以前学过的模型，如“让乙车再行1小时，两车行的时间就一样多’’或“甲先单独行1小时后，剩下的路程两车同时行驶”等，使之成为较为熟悉、较为简单的模式。利用原认知模型解题，必须基于对教材各知识要素的全面把握，进而能够以原认知模型的“不变”应数学问题的“万变”。 　　 　　2．用“旧模型”构建“新模型”。 　　数学的概念、法则、关系等都是数学模型，并且总是建立在其他数学模型的材料、模型的应用及体现在对新知的逐级构建上。如“一个数乘一位数”法则是一个模型，在教学“一个数乘两位数”时可以放手让学生自主探究，在其过程中，旧模型被调用，为构建更高一级的法则模型发挥重要作用。随着知识的不断更新，学生头脑中的认知结构不断得到重组优化，旧模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或统一，使得数学模型更具有了概括性的特征。 　　数学从“关于数的科学”、“关于数量关系和空间形式的科学”到“关于模式的科学”，经历了不断发展的过程。因此，小学数学教学要顺应发展的要求，培养学生的建模意识和能力。