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负 数
中国人同样毫不费力就得到了负数的概念。前面已经说过，大概早在西汉时期（公元前二世纪），他们就已用赤筹表示正系数，用黑筹表示负系数。加外一种方法是用三角形截面的算筹表示正数，矩形截面的算筹表示负数。宋代代数学家是熟悉这种正负号的法则的。例如1299年的《算学启蒙》就叙述过。当然，丢番都（275年）曾把具有负数解的方程说成是“荒唐的东西”，中国人同样也不考虑负解。在欧洲，第一部圆满论述负数的著作是1545年卡但（Jerome Cardan）的《大法》（Ars Magna）。宋代的代数学家用两种方法表示负数：一种是把它们写成或印成黑色，以别于赤色的正数；另一种是在负数的最右一位数字上打一斜杠，这种做法也许来源于刘徽注中所说的用斜放的筹码表示负数的古法。中国人对于求负数的平方根的问题似乎未曾留意过，虽然印度人（如大雄和巴斯卡拉）已觉察到这个问题。不过，复数和虚数的意义，在文艺复兴以胶，更确切地说即在十七世纪末以前，在欧洲也确实并末被人们所理解。 自从公元前4世纪，中国数学家就已经了解负数和零的概念了。公元1世纪的《九章算术》说“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”（这段话的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是负数，零减负数的差是正数。”）以上文字里的“无入”通常被数学历史家认为是零的概念。《维基百科》
虚 数
物理学家戴森（1923- ）所断言的“物理学家用数学材料来建构理论”如果说通过实验与观察来控制的想象力是物理学家不可缺少的工具，那么，大多数情形中这种想象力在其中发挥作用的框架就是数学。关于一个纯数学概念变得对科学极为有用的例子，是数学系统扩充为包括“虚”数 虽然虚数概念出现于代数学中，但它已经成为其他数学分支的一个不可缺少的部分，而且在许多科学领域中也逐渐被认为是一个很有用的概念。20世纪20年代量子力学的诞生，显示了这一概论强大的生命力；复数系统是该理论的一个基本组成部分，没有它们量子理论的表述将是难以想象的。 《探求万物之理——混沌、夸克与拉普拉斯妖》罗杰·G·牛顿 著 李香莲 译 上海科技教育出版社
2008年8月第1版
进位制/位置计数法
进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。可使用数字符号的数目称为基数或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进灵数57，可以用二进制表示为111001，也可以用五进制表示为212，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。 在10进位的位置计数法中有10个数字(0 - 9)，数字
 在16进位的位置计数法中有16个数字(0–9 和 A–F)，数字 
 全序关系
全序关系、即在数学中，集合 X 上的全序、线性序、简单序，或(非严格)排序是在 X 上的反对称的、传递的和完全的任何二元关系。这意味着如果我们把这种关系指示为
≤ 则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立: 如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性) 如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性) a ≤ b 或 b ≤ a (完全性) 配对了在其上相关的全序的集合叫做全序集合、线序集合、简单序集合或链。链还常用来描述某个偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。 关系的完全性性质可以如下这样描述: 在集合中的任何一对元素在这个关系下都是相互可比较的。 注意完全性条件蕴涵了自反性，就是说，a ≤ a。因此全序也是偏序，就是说，自反的、反对称的和传递的二元关系。全序也可以定义为“全部”的偏序，就是满足“完全性”条件的偏序。 [{a∨b,a∧b}={a,b}对于所有 a, b。 我们写 a ≤ b 当且仅当 。可得出全序集合是分配格。 全序集合形成了偏序集合的范畴的全子范畴，通过是关于这些次序的映射的态射，比如，映射 f 使得如果 a ≤ b 则 f(a) ≤ f(b)。 在两个全序集合间的关于两个次序的双射映射是在这个范畴内的同构。 严格全序 对于每个(非严格)全序 ≤ 都一个一个相关联的非对称(因此反自反)的叫做严格全序的关系 <，它可以等价的以两种方式定义: a < b 当且仅当 a ≤ b 且 a ≠ b a < b 当且仅当
?(b ≤ a) (就是说 < 是 ≤ 的补关系的逆关系) 性质: 关系是传递的: a < b 且 b <
c 蕴涵 a < c。 关系是三分的: a < b, b < a 和 a = b 中精确的一个是真的。 关系是严格弱序，这里关联的等价是等同性。 我们可以其他方式工作，选择 < 为三分二元关系；则全序 ≤ 可等价的以两种方式来定义: a ≤ b 当且仅当 a < b 或 a = b a ≤ b 当且仅当 ?(b < a) 还有两个关联的次序是补关系 ≥ 和 >，它们一起构成四元组 {<, >, ≤, ≥}。 我们可以通过这四个关系中任何一个定义或解释集合全序的方式；符号蕴涵了我们谈论的是非严格的还是严格全序。 例子： 字母表的字母按标准字典次序排序，比如 A < B < C 等等。 全序集合的任何子集，带有在整个集合上次序的限制。 所有的两个元素都是可比较的任何偏序集合 X (就是说，如果 a,b 是 X 的成员，则 a≤b 或 b≤a 中的一个为真或二者都是真)。 基数或序数(更强的说良序)的任何集合。 如果 X 是任何集合而 f 是从 X 到一个全序集合的单射函数，则 f 引发 X 上的全序，通过设立 x1 < x2 当且仅当 f(x1) < f(x2)。 在用一个序数索引的那些全序集合的笛卡尔积的一个集合上的词典序自身是全序。例如，按字母表排序的字的任何集合是全序的，可看做通过向字母表增加空格符号(并定义空格小于任何字母)形成的集合的可数个复件的笛卡尔积的子集。 自然数集、整数集、有理数集和实数集用平常的小于(<)或大于(>)关系排序都是全序的。它们都可以被证实是带有特定性质的全序集合的唯一的(在同构内)最小实例(全序 A 是带有特定性质的最小的，如果只要 B 有这个性质，就有从 A 到 B 的子集的一个序同构): 自然数集是最小的没有上界的全序集合。 整数集是最小的没有上界也没有下界的全序集合。 有理数集是最小的没有上界或没有下界的全序集合，它在 (a, b) 对于所有 a < b 是非空的意义上是密集的。 实数集是最小的无界连通的全序集合。
二进制
二进制是逢2进位的进位制。0、1是基本算符。现代的电子计算机技术全部采用的是二进制，因为它只使用0、1两个数字符号，非常简单方便，易于用电子方式实现。 运算规则 四则运算 加法：00＋00＝00，00＋01＝01，01＋00＝01，01＋01＝10 减法：0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10－1＝1 乘法：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1 除法：0÷1＝0，1÷1＝1 拈加法 不同进位数转换 十进数转成二进数 整数部分，把十进制转成二进制一直分解至商数为1。从最底左边数字开始读，之后读右边的数字，从下读到上。
小数部分，则用其乘2，取其整数部分的结果，再用计算后的小数部分依此重复计算，算到小数部分全为0为止，之后读所有计算后整数部分的数字，从下读到上。 郭书春在《古代世界数学泰斗刘徽》一书指出：“事实是，莱布尼兹先发明了二进制，后来才看到传教士带回的宋代学者重新编排的《周易》八卦，并发现八卦可以用他的二进制来解释。”梁宗巨在《数学历史典故》一书对这一历史公案进行了更加详尽的考证。
附：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家。 附：另一种说法,李约瑟在《中国科学技术史· 第二卷 科学思想史》第十章附论“《易经》和莱布尼茨的二进制算术”中对二进制的起源进行了考证。
波粒二象性
波粒二象性（英语：Wave-particle duality）是微观粒子的基本属性之一。指微观粒子有时显示出波动性（这时粒子性不显著），有时又显示出粒子性（这时波动性不显著），在不同条件下分别表现为波动和粒子的性质。一切微观粒子都具有波粒二象性。 
“波”和“粒子”的数学关系 物质的粒子性由能量 E 和动量 p 刻画，波的特征则由频率
ν 和波长 λ 表达，这两组物理量由普朗克常数 h 所联系。
历
史 托马斯·杨（Thomas Young）对光的干涉的实验研究, 1803年.在十九世纪末，日臻成熟的原子论逐渐盛行，根据原子理论的看法，物质都是由微小的粒子——原子构成。比如原本被认为是一种流体的电，由约瑟夫·汤姆孙的阴极射线实验证明是由被称为电子的粒子所组成。因此，人们认为大多数的物质是由粒子所组成。而与此同时，波被认为是物质的另一种存在方式。波动论已经被相当深入地研究，包括干涉和衍射等现象。由于光在托马斯·杨的双缝实验中，以及夫琅禾费衍射中所展现的特性，明显地说明它是一种波动。 不过在二十世纪来临之时，这个观点面临了一些挑战。1905年，由阿尔伯特·爱因斯坦研究的光电效应展示了光粒子性的一面。随后，电子衍射被预言和证实了。这又展现了原来被认为是粒子的电子波动性的一面。 这个波与粒子的困扰终于在二十世纪初由量子力学的建立所解决，即所谓波粒二象性。他提供了一个理论框架，使得任何物质在一定的环境下都能够表现出这两种性质。量子力学认为自然界所有的粒子，如光子、电子或是原子，都能用一个微分方程，如薛定谔方程来描述。这个方程的解即为波函数，它描述了粒子的状态。波函数具有叠加性，即，它们能够像波一样互相干涉和衍射。同时，波函数也被解释为描述粒子出现在特定位置的机率幅。这样，粒子性和波动性就统一在同一个解释中。 之所以在日常生活中观察不到物体的波动性，是因为他们皆质量太大，导致德布罗意波长比可观察的限度要小很多，因此可能发生波动性质的尺度在日常生活经验范围之外。这也是为什么经典力学能够令人满意地解释“自然现象”。反之，对于基本粒子来说，它们的质量和尺度决定了它们的行为主要是由量子力学所描述的，因而与我们所习惯的图景相差甚远。 惠更斯和牛顿，早期光理论 最早的综合光理论是由克里斯蒂安·惠更斯所发展的，他提出了一个光的波动理论，解释了光波如何形成波前，直线传播。该理论也能很好地解释折射现象。但是，该理论在另一些方面遇见了困难。因而它很快就被艾萨克·牛顿的粒子理论所超越。牛顿认为光是由微小粒子所组成，这样他能够很自然地解释反射现象。并且，他也能稍显麻烦地解释透镜的折射现象，以及通过三棱镜将阳光分解为彩虹。 由于牛顿无与伦比的学术地位，他的理论在一个多世纪内无人敢于挑战，而惠更斯的理论则渐渐为人淡忘。直到十九世纪初衍射现象被发现，光的波动理论才重新得到承认。而光的波动性与粒子性的争论从未平息。 费涅尔、麦克斯韦和杨 十九世纪早期由托马斯·杨和奥古斯丁·简·菲涅耳所演示的双缝实验为惠更斯的理论提供了实验依据：这些实验显示，当光穿过网格时，可以观察到一个干涉样式，与水波的干涉行为十分相似。并且，通过这些样式可以计算出光的波长。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在世纪末叶给出了一组方程，揭示了电磁波的性质。而方程得到的结果，电磁波的传播速度就是光速，这使得光作为电磁波的解释被人广泛接受，而惠更斯的理论也得到了重新认可。 爱因斯坦和光子 1905年，爱因斯坦对光电效应提出了一个理论，解决了之前光的波动理论所无法解释的这个实验现象。他引入了光子，一个携带光能的量子的概念。 E=hv 在光电效应中，人们观察到将一束光线照射在某些金属上会在电路中产生一定的电流。可以推断是光将金属中的电子打出，使得它们流动。然而，人们同时观察到，对于某些材料，即使一束微弱的蓝光也能产生电流，但是无论多么强的红光都无法在其中引出电流。根据波动理论，光强对应于它所携带的能量，因而强光一定能提供更强的能量将电子击出。然而事实与预期的恰巧相反。 爱因斯坦将其解释为量子化效应：电子被光子击出金属，每一个光子都带有一部分能量E，这份能量对应于光的频率ν： 这里h是普朗克常数（6.626 x 10-34 J
s）。光束的颜色决定于光子的频率，而光强则决定于光子的数量。由于量子化效应，每个电子只能整份地接受光子的能量，因此，只有高频率的光子（蓝光，而非红光）才有能力将电子击出。 爱因斯坦因为他的光电效应理论获得了1921年诺贝尔物理学奖。 德布罗意及德布罗意波 1924年，路易·德布罗意构造了德布罗意假说，声称所有的物质都有类波的属性。他将这个波长λ和动量p联系为：
这是对爱因斯坦等式的一般化，因为光子的动量为p = E / c（c为真空中的光速），而λ = c / ν。 德布罗意的方程三年后通过两个独立的电子散射实验被证实于电子（具有静止质量）身上。在阿伯丁大学，乔治·佩吉特·汤姆孙将一束电子穿过薄金属片，并且观察到了预期中的干涉样式。在贝尔实验室，克林顿·戴维森和雷斯特·革末将他们的实验电子束穿过一个晶体。 德布罗意于1929年因为这个假设获得了诺贝尔物理学奖。汤姆孙和戴维森因为他们的实验工作共享了1937年诺贝尔物理学奖。
数学归纳法
数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。 虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并不是不严谨的归纳推理法，它是属于完全严谨的演绎推理法。 附：[演绎定理]在数理逻辑中，演绎定理声称如果公式 F 演绎自 E，则蕴涵 E → F 是可证明的(就是或它可以自空集推导出来)。用符号表示，如果E ├ F ，则├ E → F。 演绎定理是元定理: 在给定的理论中使用它来演绎证明，但它不是这个理论自身的一个定理。 [演绎推理]在传统的亚里士多德逻辑中，演绎推理(英语：deductive
reasoning）是“结论，可从叫做前提的已知事实，“必然的”得出的推理”。如果前提为真，则结论必然为真。这区别于溯因推理和归纳推理，它们的前提可以预测出高概率的结论，但是不确保结论为真。 “演绎推理”还可以定义为结论在普遍性上不大于前提的推理，或“结论在确定性上，同前提一样”的推理。
场线（磁力线）
场线是由矢量场和初始点设定的轨迹。在空间里，矢量场在每一个位置，都设定了一个方向。只要按照矢量场在每一个位置所指的方向来追踪路径，就可以素描出正确的场线。更精确地说，场线在每一个位置的切线必须平行于矢量场在那一个位置的方向。 
对于一个矢量场，假若我们能够完整地描述其所有的场线，那么，这矢量场在每一个位置的方向已完全地被设定了。为了同时表示出矢量场的大小值，我们必须控制场线的数量，促使场线在任意位置的密度等于矢量场在那位置的大小值。
虽然大多数时候，场线只是一个数学建构，在某些状况，场线具有实际的物理意义。例如，在等离子体物理学里，处于同一条场线的电子或离子会强烈地相互作用；而处于不同场线的粒子，通常不会相互作用。 封闭系统
在热力学之中，封闭系统是指一个只与外界交换能量（作功或热量）而不交换质量的系统。假如一个只拥有一种粒子（原子或分子）的系统进行化学反应时，过程中所有种类的粒子都可以被生成或破坏。但是，封闭系统内的元素原子数目将会守恒。 在量子力学中，封闭系统等同于孤立系统。而只与外界交换能量的系统会被视为开放系统。 孤立系统：系统完全不与外界交换能量或质量。 开放系统：系统与外界交换能量与质量。 镜像世界
有许多其他镜子，真实的和隐喻的，都是通过对应物的纯粹对照来给出反射的深度。在我们这个纷乱的世界中，我们视野所及似乎常常是由一些相互间大相径庭的事物所表征的——昼和夜、夏和冬即是这样。这些悬殊的东西可以彼此看作镜像。而与实时反射的镜子不同的是，这些悬殊的东西可以出现在不同的时间的不同的地点。白天总是跟随夜晚，一个不眠之夜的不适不久就会被遗忘。夏天总是跟随冬天，而时间尺度却不相同……像卡罗尔这种随意杜撰的故事是引人入胜的，因为它们是现实世界的伴你。在现实世界的镜像中，感觉和逻辑可以颠倒过来，事情会变得新奇陌生。对阿丽思的镜子，镜面反演把左变成右，把右变成左。左和右是由旋转的思想紧密地联系起来的——镜子中一个向右旋转（即顺时针方向）反映真实的逆进针方向的一个旋转。实际上，镜子中的像看碟起来是“错的”，因为我们大脑把它解释为一个180°的旋转，如果我用右手拿一个物体，在镜像中看起来却是左手拿着该物体。而如果我们直到镜子后面并面对来时的方向，这个物体仍牢牢地拿在右手中，从镜子中看时，一只钏会很不相同，尽管它是逆时针方向走动的，却持准确的时间。通过左右镜像反射，时间依然不变。
《反物质-——世界的终极镜像·
第二章》戈登·弗雷德著 江向东 黄艳华译 上海科教出版社 2002年12月第一版 |
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