点球博弈论——射哪里，扑哪里？
作者：大风
一场虐心的点球大战过后，智力离开，巴西留下。赛罢，就连获胜的内马尔也长蹲而泣。
10个点球，双方只射进5个。
“足球是22个人踢了120分钟，最后德国人赢得点球的运动。”1990年世界杯半决赛在点球大战中被当时的联邦德国队击败之后，英格兰的当家前锋莱因克尔如是说道。英格兰和德国似乎是点球大战上的两个极端——英格兰多年来点球成绩惨淡，而德国则是常胜将军。
点球大战的残酷和刺激引发了广泛的研究。站在球门线上，门将会猜测对方点球手的射门习惯；但同样地，站在点球点前的点球手也要猜门将的扑救习惯。门将心知肚明罚球者知道自己的扑救习惯，罚球者又知道门将知道自己知道他的扑救习惯……如此循环下去。结果是，究竟在踢点球的时候两个人如何行动，谁都不知道。
这是一个典型的单次二人零和博弈。参与博弈的点球手和门将，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”，双方不存在合作的可能。“囚徒困境”就是一个著名的二人零和博弈的例子。两名囚徒的策略——互相揭发——构成了所谓的“纳什均衡”。无论射向哪里，扑向哪里，都不会成为绝对占优的策略。但数学家们证明了，球员以一定概率采取特定行动的混合策略纳什均衡是存在的。锤子剪子布游戏也是一种二人零和博弈，在纳什均衡中，任意一名玩家的策略是，出锤子、剪子和布的概率各为三分之一。大多数人也的确是这么玩的。
根据类似的建模方法，美国的三位经济学家Chiappori,Levitt和Groseclose从博弈论的角度研究了点球手和门将之间的博弈问题。他们认为，点球手和门将之间的博弈不存在纯策略纳什均衡，只存在混合策略纳什均衡。但是不同于锤子剪子布游戏，在这个纳什均衡中不同策略组合的概率是不一样的。具体地说，三位经济学家通过博弈论得到了一些基本的结论：
一，球员一般不射向球门的中间区域；二，在出现概率最大的策略组合中，点球手射向自己的“自然方向”（即右脚球员射向左方；左脚球员反之），而门将则扑向点球手的自然方向。
这似乎让人觉得有些诧异，为什么点球手和门将不约而同地选择了一个方向呢？但在信息不对称的情况下，这的确是对对方可能的行为的最好回应。数据印证了他们的理论：在所有可能的情况中，出现频率最大的正是点球手射向自己的自然方向，而门将也向这个方向扑救。相对来说，点球手射向中路的次数少得多，而门将在中路扑球者更是寥寥。
看来，点球手和门将的行为还是有规律可循的。不过，有两点必须说明。
首先，在120分钟的比赛后进行一场点球大战，绝对是综合性极强的运动，不仅考验球员的心理和意志品质，更考验球员的射门技术和体力。英格兰队数次在点球大战折戟，未必是球员“不按套路出牌”；事实上，即使是门将判断错了方向，我们也屡屡能看见点球手罚丢点球的情况——例如那位号称“把点球当门球踢”的西班牙后卫拉莫斯。
其次，以上的种种分析都是基于博弈论分析的一些基本假设，而这些假设简而言之，是建立在点球手和门将都是专业球员，双方彼此知根知底的情况。如果来了位业余选手，那上述分析就未必靠得住了。1976年使用“勺子点球”向球门中心射入点球而一战成名的捷克斯洛伐克球员帕南卡据说曾经在四十余场友谊赛和正式比赛中使用勺子点球，只失手过一次——那是一场与业余球队的比赛，对面的门将面对他的勺子点球，根本没移动。
