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一、归一问题 1、概念与类型： 归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后，再求出题目所要求解的问题。 归一问题有两种基本类型： 一种是正归一，也称为直进归一。如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少； 另一种是反归一，也称为返回归一。如：修路队6小时修路180千米，照这样修路240千米需几小时？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量。
解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，再根据题中的条件和问题求出结果。 基本关系式有： 每份的工作量（单一量）＝总工作量÷份数 总工作量＝每份的工作量（单一量）×份数 （正归一） 份数＝总工作量÷每份的工作量（单一量） （反归一）
有些归一问题可采取同类数量之间进行倍数比较的方法解答，这种方法叫做倍比法。 在整数范围内，用倍比法解除不尽时，只能用归一法解；用归一法解除不尽时，只能用倍比法解；也有的两种方法都可以用。有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。
二、还原问题 1、还原问题的定义 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题。 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推． 2、解还原问题的方法 核心：倒推法 注意：两个相反，一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数． 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号 类型：1、对于单个对象，用方框箭头法、线段图法进行倒推。 2、对于多个对象，用列表的方法做逆推分析。
三、和差倍问题 1、定义： （1）“和差问题”就是已知两个数的和与两个数的差，求这两个数。 （2）“和倍问题”就是已知两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数。 （3）“差倍问题”就是已知两个数的差与它们的倍数关系，求这两个数。 2、基本公式： （1）和差问题：大数=（和+差）/2 小数=（和-差）/2 （2）和倍问题：小数=和/（倍数+1） 大数=小数*倍数 或 大数=和-小数 （3）差倍问题：小数=差/（倍数-1） 大数=小数*倍数 或 大数=差+小数 3、基本方法： 画线段图： ①先画出倍数关系 ②再表示其他的和、差关系 根据线段图，找出等量关系
四、年龄问题 1、计算有关年龄一类的问题叫年龄问题，它一般以和差、和倍以及差倍应用题的形式出现。 ① 小明的爸爸去年比小明大25岁，明年爸爸比小明大多少岁？ ② 今年陈老师的年龄是王芳的2倍，明年陈老师的年龄还是王芳的2倍吗？ ③ 前年红红和姐姐的年龄和是30岁，今年两人的年龄之和为多少岁？ 根据以上题目，我们得出年龄问题的三大规律： ① 两人年龄差不变； ② 两人年龄倍数关系不是一成不变的，它会随时间改变； ③ 随着时间变化，每人增加或减少相同的岁数 2、年龄问题的解题要点是： （1）关键：抓住“年龄差”不变. （2）解法：和差倍的分析方法，画线段图。 时间轴的分析方法，画时光轴。
注意：特殊句式找年龄差！ 谁几年前的年龄= 谁几年后的年龄 谁几年前的年龄= 谁几年前的年龄 谁几年后的年龄= 谁几年后的年龄 ——反向相加，同向相减
五、植树问题
植树问题是以“植树”为内容，凡是研究总长、间距、段数、棵数四种数量关系的应用题都是植树问题，在不同情况下，四者的关系会有所不同。植树问题的实质是反映线段上的点数与间隔数之间的关系。
在植树问题中，段数=总长/间距； ①不封闭的线路上植树，两端都不植树：棵数=段数-1； ②不封闭的线路上植树，两端都植树：棵数=段数+1； ③不封闭的线路上植树，一端植树一端不植树：棵数=段数； ④封闭的线路上植树：棵数=段数； 生活中其它一些问题，如：锯木头、爬楼梯、敲钟等，都可以用植树问题的方法来解答，也称植树思想。
六、方阵问题 1、概念和分类 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵。 方阵包括实心方阵和空心方阵。如果方阵排满物体，叫做实心方阵；如果方阵的中间不排物体，叫做空心方阵。而实心方阵的每一层又可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的。 2、基本规律 （1）方阵不论哪一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2， 四周上的人数就少8。（可应用等差数列相关知识进行解题） 每边人（或物）数=每层总数÷4+1 总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数 总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数－层数）×层数×4 总人（或物）数=（最外层人（或物）数 +最内层人（或物）数）*层数 /2 最外层每边数=总人（或物）数÷4÷层数+层数
七、鸡兔同笼 1、鸡兔同笼问题的来历： 这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47-35=12（只）．显然，鸡的只数就是35-12=23（只）了． （2）假设法： 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性。在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。
八、盈亏问题 1、盈亏问题的定义： 盈亏问题是一类生活中很常见的问题，它的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”。例如，把一定数量的东西分给一定数量的人时，往往会出现每人少分则有余（盈），每人多分则不足（亏）；或者用一定数量的钱去买一定单价的物品时，常常会出现少买则钱有剩余，多买则钱不够的情况。凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”。 2、盈亏问题的基本关系式： (盈+亏)/两次分得之差=人数或单位数 (盈-盈)/两次分得之差=人数或单位数 (亏-亏)/两次分得之差=人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
九、周期问题 1、周期问题的定义： 周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期。 分类：1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题． 关于闰年：阳历中有闰日的年份叫闰年，相反就是平年，平年为365天，闰年为366天. 在公历纪年中，平年的二月为28天，闰年的二月为29天. 闰年的2月29日为闰日。一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被400整除才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年. 2、解题思路： 周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。 ⑴ 观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有 整数个周期，结果就为周期里的最后一个； 例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，18/2=9，所以第18个数是2． ⑵ 如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个； 例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列的周期是3，16/3=5.....1，所以第16个数是1． ⑶ 如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算． 例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(16-1)/2=7.....1，所以第16个数是2．
十、平均数问题 1、平均数问题的概念： 平均数问题是把若干个大小不等的数，在总量不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少。 平均数不是一个真实的数，它反映一组数据的总体情况，不能反映某一个具体的数据。
解平均数问题，本质是“移多补少”，关键是要找准总数量及对应的总份数。 平均数问题的数量关系式：总数量/总份数=平均数， 总数量/平均数=总份数， 总份数*平均数=总数量
十一、页码问题
2、页码问题的基本规律： ① 一位数共有9个，组成所有的一位数页码需要9*1=9个数码 ② 两位数共有90个，组成所有的两位数页码需要90*2=180个数码 ③ 两位数共有900个，组成所有的三位数页码需要900*3=2700个数码 ④ 两位数共有9000个，组成所有的两位数页码需要9000*4=36000个数码
如图所示：
十二、牛吃草问题 1、牛吃草问题的概念: 英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也就是我们所说的牛吃草问题。 “牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”本题就给了牛的头数，和吃草的时间，而没有给出牧场原有的草量和草的生长速度，那我们该怎么做呢？
解决“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值，新生的草量=每天生长量*天数。 解决“牛吃草”问题的本质是：让一些牛去吃原有草，另一些牛去吃新生草。 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可归纳为： ⑴ 设定1头牛1天吃草量为“1” ⑵ 草的生长速度=（对应牛的头数*较多天数-对应牛的头数*较少天数） /（较多天数-较少天数）； ⑶ 原有草量=对应牛的头数*吃的天数-草的生长速度*吃的天数； ⑷ 吃的天数=原来的草量/牛的头数-草的生长速度） ⑸牛的头数=原来的草量/吃的天数+草的生长速度 “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
十三、分数应用题
分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，包括三种类型：求一个数是另一个数的几分之几；求一个数的几分之几是多少；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 分数应用题一方面是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，例如a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误．而百分数应用题中所涉及的百分数，只是分母是100的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系。
（1）部分数和总数 例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （2）两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。 （3）原数量与现数量 例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。完善成：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是单位“1”。 冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →原来的冰是单位“1”。 解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析。
十四、工程问题 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。 1、工程问题的概念： 定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量 基本公式：工作总量=工作效率×工作时间， 工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率； 2、解题的思考方法： 解答工程问题时一定要认真审题，弄明白是完成全部工程，还是该工程的部分（即它的几分之几）？有几个人或单位参加工作？他们完成这项工程各自需要多少时间？推得各自的工效是几分之一？他们是同时开始、同时结束工作的，还是有先有后的？具体要求什么等等。 因为工程问题的条件可用多种形式提出，有的不以“工程”命题，有的与其他类型的题目结合，这样，工程问题的题目就复杂起来。但复杂是可以向简单转化的，通过一定的手段，使其变为若干个基本题，解题的基本思路与方法是不变的。因此，只要抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，细心分析，就能找到解题的途径、步骤和方法。 3、利用常见的数学思想方法： 如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。 “等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。
生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等。根据这些相等的关系进行推理，进而可以等量代换，找到答案。 ① 两个相等的量可以相互代换（包括重量相等、价格相等）。 ② 将不同等式中相同种类的物品通过加、减、乘、除转化成相同个数，这样可以形成 新的等式。 ③ 将两个不同等式中，左边物品相加，右边物品相加。这样可以形成新的等式。 ④ 如果天平不平衡，先求出天平左、右两端的物品在重量上相差多少，然后得出使天 平平衡的方法。 |
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