因式分解

幽月之魂 2014-08-12

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因式分解

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因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。例如多项式x2-4 可被因式分解为(x+2)(x-2)。

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1 词语释义

因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式　定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法为相反变形。

同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤.

2 高级结论

在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。

1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

2 、所有的三次和三次以上多项式在实数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X^4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。

3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。

3 运算方法

因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

注意四原则：

1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号

因式分解3．最后结果中多项式首项系数为正

归纳方法：

1．提公因式法。

2．运用公式法。

3．分组分解法。

4．拼凑法。

5．组合分解法。

6．十字相乘法。

7．双十字相乘法。

8．配方法。

9．拆项补项法。

10．换元法。

11．长除法。

12．求根法。

13．图象法。

14．主元法。

15．待定系数法。

16．特殊值法。

17．因式定理法。

基本方法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。^[1]

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提尽全家都搬走，留1把家守提负要变号，变形看奇偶。

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。

平方差公式：

反过来为

完全平方公式：

反过来为

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

两根式：ax^2+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a]

两根式

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3．

公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。

1．分解因式技巧掌握：

①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

2．提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

解方程法

通过解方程来进行因式分解，如

X^2+2X+1=0 ,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）

4 竞赛方法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1． 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2． x^3-x^2+x-1

解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

=x^2(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(x^2+1)

利用二二分法，提公因式法提出 x^2，然后相合轻松解决。

3． x^2-x-y^2-y

5 分解步骤

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。^[2]

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”

6 相关例题

1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=[(x+1)^2-y(x+1)(x-1)][(x-1)^2-y(x+1)(x-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求证：对于任何整数x,y，下式的值都不会为33：

x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a+2b+c>0．

∴a－c=0，

即a=c，△ABC为等腰三角形。

4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

7 相关应用

1．应用于多项式除法。

：a(b?1)(ab+2b+a)

　说明：(ab+b)2?(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b?a?b) = (ab+2b+a)(ab?a) = a(b?1)(ab+2b+a)．

2．应用于高次方程的求根。

3．应用于分式的通分与约分

顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：

1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）

例如：

23|(2^11-1);；11=4×2+3

47|(2^23-1);；23=4×5+3

167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3

2,p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)，

例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1

439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1

3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1

3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）

例如；233|(2^29-1)；29=2×3×5-1

1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1

1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1

8 四个注意

因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。

例1 把-a^2-b^2+2ab+4分解因式。

解：-a^2-b^2+2ab+4=-(a^2-2ab+b^2-4）=-[(a-b)^2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x^2+4y^2=(-3x)^2-(2y)^2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x^4y^2-5x^2y^2-9y^2=y^2(4x^4-5x^2-9)=y(x+1)(4x^2-9)的错误，因为4x^2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。

考试时应注意：^[3]

在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。