初中数学 | 整式的乘除与因式分解知识点归纳！

整式的乘除

一、幂的运算

1. 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a^m·aⁿ=a^m+n<>n>（m，n为正整数）

2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：(a^m)ⁿ=a^mn  （m，n为正整数）

3. 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ （n为正整数）

4. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即：a^m÷aⁿ=a^m-n 

<>n>（m、n是正整数且m＞n,a≠0）

二、整式的乘法运算

1. 单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2. 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3. 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、整式的除法运算

1. 单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2. 多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。

四、常用乘法公式：

1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

即：(a+b)(a-b)=a²-b²

2. 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

即：(a±b)²=a²±2ab+b²  

因式分解

一、因式分解

1. 因式分解的概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

2. 因式分解与整式乘法的关系：

因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。

注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。

3. 公因式：

多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。

系数——取各项系数的最大公约数；

字母——取各项都含有的字母；

指数——取相同字母的最低次幂。

例如：多项式 pa+pb+pc 中因式 p 即为多项式各项的公因式。

二、因式分解的方法

因式分解的方法在初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。

【1】提公因式法

1. 定义：

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

2. 基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

如：am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

【2】运用公式法

1. 定义：

如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

2. 平方差公式：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，这个公式就是平方差公式。即：

a²－b²＝(a＋b)(a－b)

3. 完全平方公式：

两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。即：

a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²

a²－2ab＋b²＝(a－b)²

注意：

① 项数为三项；有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；有一项是这两个数的积的两倍。

② 当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

③ 完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

④ 分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

【3】分组分解法

如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。

例如 am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

所以原式= (am+an) + (bm+bn) = a(m+n) + b(m+n)

再看，这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式= (am+an)+(bm+bn) = a(m+n)+b(m+n) = (m+n)(a+b)

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

【4】十字相乘法

1. 定义：

对于x²+px+q型的式子，如果q能分解为数a，b的积，且有a+b=p时(即a与b和是一次项的系数)，那么x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)；

或对于kx²+mx+n型的式子，如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+c)(bx+d)，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。

2. 具体方法：

十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

3. 特点：

①二次项系数是1；

②常数项是两个数的乘积；

③一次项系数是常数项的两因数的和。

4. 基本步骤：

①把二次项系数和常数项分别分解因数；

②尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数；

③确定合适的十字图并写出因式分解的结果；

④检验。

例如：把6x²+13x+6分解因式

所以，原式=(2x+3)(3x+2)

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