编辑同志、各有关单位和人士： 我有一事相求，希望有能力帮助我和支持我的人士助我一臂之力。 事情是这样的：我发现了数学有史以来上千年的理论错误，即素数和合数的定义都是错误的。为此，我重新定义了素数和合数。旧定义的错误导致数理分裂（一个质数的２倍、３倍、４倍、······都是合数，但其１倍却是素数），因而使得哥德巴赫猜想问题无解。新定义是科学的，表现在使得数理合一（不仅一个质数的２倍、３倍、４倍、······都是合数，其１倍也是合数），哥德巴赫猜想问题也因数理合一而可以迎刃而解。 将来的大中小学数学教科书中的有关内容以及词典和辞海中有关素数和合数的条目都得修改。 我写了一份文稿，内容包括：１，我所发现的数学有史以来上千年的理论错误以及素数和合数的新定义，并且做了较为详细的解说（讲解辩证地思维）；２，哥德巴赫猜想问题的解法。我把我的文稿用电子邮件的形式（也有纸质打印文本的邮递邮件的形式）发送了１３０多个，包括上百个《大学学报》和有关单位和个人，但没有结果。原因是把关的权威人士封杀了哥德巴赫猜想。 封杀的原因是：１，此类稿件太多，数论专家没有时间审稿；２，数论专家认为，只有数论专家才有能力解决哥德巴赫猜想问题，因此，对于哥德巴赫猜想问题的稿件不予理睬。即便回复，也是让你搞好本职工作，劝你不要浪费时间，或者以各种托词婉拒，如，说“没有能力审阅”，“请改投”等。总之，他们不相信（除了数论专家以外）别人有能力解决哥德巴赫猜想问题。此外，可能还有一个原因（加上“可能”二字表示猜测），就是怕承认民间人士破解了哥德巴赫猜想问题会损害数论专家的颜面和既得利益。【在网上，有人质疑陈景润的“１＋２”，数论专家王元（解决了“１＋４”）应该能够看到，他会心中不安，因此，他在２００９年的一个演讲中说“连这么大的一个天才（指２００６年数学菲尔茨奖获得者之一的陶哲轩）都没有做出来，所以，我劝大家不要做这件事，现在不是做这个证明的时候”云云。这个讲话的全文就是意在封杀哥德巴赫猜想问题（见《科学时报》２００９年７月２日Ａ３版面）。进了哥德巴赫猜想的庙，不一定都是烧香的，也有拆庙的。其实，确切地讲，“１＋２”和“１＋４”都是思想垃圾（伪科学）。所谓“一步之遥”，是炒作用语，是为了把思想垃圾炒作成科研成果。在这种炒作下，出现了把伪科学当做科研成果的怪现象。】 面临的现实问题是：我的文稿得不到权威的认可。但好在我的解法是初等数学方法，一个中学生就能看懂（文中没有使用缩写符号和排列组合运算符号），因此，在数论专家那里不能通过，我就只好改走群众路线，向社会广泛求助。我的希望是公开发表我的文稿全文。第一，发表在任何刊物上都可以，最好能公开发布到网上（我不会网上操作），因为只要具有初中文化程度就能看懂我的文稿；第二，不要请数论专家审稿，否则，就会胎死腹中。如果你们没有把握，可以邀请几位中学数学教师审稿，因为哥德巴赫猜想问题实际上是一道初等数学题。我文责自负。 谢谢。 齐克家 2011年11月9日 通讯地址：北京市海淀区台头村２８号。 邮编：１００１９４。 手机号：１３２６０２５０６５０。 信箱：３８６７２１１９＠ｑｑ．ｃｏｍ （以下是笔者文稿的正文） “筛法”可解猜想，但要学会唯物辩证地思维 序言 中国科学院数学研究所的资料丛书《哥德巴赫猜想》一书中说，用现有的方法不能解决哥德巴赫猜想问题，用陈景润所使用的方法也只能解决“１＋２”，而不能解决“１＋１”。该书说，还没有看到解决哥德巴赫猜想问题的新途径。 其实，用“筛法”可以解决哥德巴赫猜想问题。问题在于：要解决指导思想问题，摆脱形而上学思维习惯的束缚和唯心主义辩证法思想方法（即合二而一的观点）的困扰，学会唯物辩证地思维。 哲学，特别是“马克思主义唯物辩证法”（思想方法）是思想劳动的工具，不仅可以应用于社会科学，而且，同样也可以应用于自然科学。哥德巴赫猜想问题（任一大偶数２Ｎ都可以写成两个素数之和）就是一道 典型的 需要“学习和掌握了马克思主义唯物辩证法”（思想方法）才能解决的数学“难题”。本文予以说明之。 说明：本文的哲学内容读者可以不看，只看数学方面的内容。但看了有助于理解。 恩格斯说：“不管自然科学家采取什么样的态度，他们还是得受哲学的支配。”恩格斯所讲的“受哲学的支配”，其实就是指受唯物主义辩证法思想方法（即一分为二的观点）的支配。只因这个思想方法被马克思发现了，所以，才以马克思的名字命名，称之为“马克思主义唯物辩证法”（思想方法）。遗憾的是，尽管马克思和恩格斯发现了唯物主义辩证法思想方法，但“学会辩证地思维的自然科学家到现在还屈指可数”（恩格斯语）。二百多年以来，没有人能够证明哥德巴赫猜想就是令人信服的例证。中科院数学研究所的负责人陆柱家说要证明哥德巴赫猜想“需要过人的思维能力”，他讲的“过人的思维能力”，就其实质来讲，应该就是辩证地思维，而“过人”二字的实质就是指学会辩证地思维的自然科学家“屈指可数”。 一分为二的观点是马克思主义唯物辩证法的思想方法。 合二而一的观点是黑格尔唯心主义辩证法的思想方法。 解法 事物总是一分为二的。当我们用一分为二的观点看问题时，就会发现数字具有二重性 。 除了自然数１，每一个自然数都具有二重性：其外在的表现形式是具体的数字，其内在的实质内容是抽象的性质。 外在的表现形式有质数和非质数之区别；内在的实质内容有素数和合数之区别。 就是说，质数、非质数、素数、合数是四个不同的基本概念！！！应该加以区别。 人们之所以认为哥德巴赫猜想问题不能用初等数学方法来解决，甚而至于认为这是一道世界著名的数学“难题”，根本原因就在于基本概念不清和因此而产生和形成的思想混乱。 问：什么叫质数？什么叫非质数？ 答：在大于１的整数中，只能被１和这个数本身整除的数，叫做质数。 在大于１的整数中，除了１和这个数本身，还能被其他正整数整除的数，叫做非质数。 笔者发现了数学有史以来上千年的理论错误，哥德巴赫猜想问题因此错误而无解。如下： 其一：认为 “素数就是质数”是错误理论 ，错在把质数的定义和素数的定义合二而一，混为一谈。 素数 ≠ 质数。 其二：合数的定义也是错误的，是把非质数的定义当做了合数的定义。 合数 ≠ 非质数。 质数概念属于存在范畴，具有不变性；素数和合数两个概念属于思维范畴，具有可变性。 数字的表现形式（具体的存在形式）具有不变性：如果一个整数是质数，那么，这个整数永远是质数。同样，如果一个整数是非质数，那么，这个整数永远是非质数。 数字的实质内容（抽象的思维形式）具有可变性：素数可以嬗变为合数（顺变），合数也可以嬗变为素数（逆变）。因此，如果一个整数是素数，并不表示这个整数永远是素数，它可以嬗变为合数（顺变）。反之亦是。 因此，一个质数既可以是素数，也可以是合数。同样，一个非质数也是既可以是素数，也可以是合数。（非质数，例如２５、７７、９１、９９可以是素数？？？能理解吗？） 解决哥德巴赫猜想问题的关键在于“要学会辩证地思维”。 问：什么叫素数？什么叫合数？（之一，释义、明确基本概念。） 答：素数就是单纯数，单纯数也叫做单一数。素数是不可分的数。 合数就是合成数，合成数也叫做复合数。合数是可分的数。 素数和合数的本质区别在于：素数只有一个约数（可能吗？），合数至少有两个约数。 按：认为任何一个数至少也有两个约数，不可能只有一个约数的观点是形而上学观点。比如，限定只有１、２、３、５四个除数，在此前提条件下，７７和９１两个数就全都是素数，因为这两个数同样都是只有１个约数，这个约数就是限定范围之内的除数１。尽管７７和９１这两个数都能被７整除，但７不是这两个数的约数，因为７不在限定的范围之内。就是说， 素数的存在是有条件的，失去一定的条件，素数就消失， 因为在没有前提条件时，每一个数都至少有两个约数（１和这个数本身），而有两个约数就不是素数。—— 这样的观点是辩证法观点。 问：为什么不能把质数的定义当做素数的定义？ 答：因为质数和素数是两个不同的概念，一个是数字的表现形式，属于具体的存在形式，一个是数字的实质内容，属于抽象的思维形式，不能把两者混为一谈。把质数的定义当做素数的定义是混淆概念，其结果是数理分裂、产生悖谬，导致思想混乱。哥德巴赫猜想问题的现状就是因思想混乱而无解。因此，不能把质数的定义当做素数的定义。 例如，限定只有１、２、３、５四个除数，在此前提条件下，自然数３是质数，但却是合数，因为自然数３有两个约数，这两个约数就是限定范围之内的除数１和３。 ★ 旧定义错在把质数和非质数的区别当做了素数和合数的定义。 问：怎样给素数和合数重新下定义？ 答：人类的祖先在生产劳动中出于分配的需要而对除数进行了考察，质数、素数和合数的概念是在除法中产生的。 当我们用动态的观点把整数Ｎ看做是递增１的匀变数时，自然数列就变成了一个发展过程，我们是在这个发展过程中来考察质数的变化。 人的认识能力是有限的，素数和合数的概念产生于有限的认识能力和无限的发展过程的对立关系之中。下面讲的“限定”和“限定范围”是指人的“有限”的认识能力。 在没有产生和形成素数和合数两个概念之前，先有了质数的概念。 当人们在考察自然数列中的自然数１对质数的整除关系时（即“限定”只有一个除数，这个除数就是自然数１，以此做为素数存在的前提条件），发现所有的质数都能被１整除，此时，所有的质数都是素数（因为只有一个约数，这个约数就是“限定范围”之内的被当做除数的自然数１）。 当人们在考察自然数列中的前两个自然数１和２对质数的整除关系时（即“限定”只有两个除数，这两个除数就是自然数１和２，以此做为素数存在的前提条件），发现质数Ｐ１在能被１整除的同时，也能被它自身整除了，而其余的质数依然还是只能被１整除，此时的质数Ｐ１是合数（因为有了两个约数，这两个约数就是“限定范围”之内的被当做除数的自然数１和２），其余的质数是素数（因为只有一个约数，这个约数就是“限定范围”之内的被当做除数的自然数１）。 当人们在考察自然数列中的前３个自然数对质数的整除关系时（即“限定”只有三个除数，这三个除数就是自然数１、２、３，以此做为素数存在的前提条件），发现质数Ｐ１和Ｐ２在能被１整除的同时，也能被它自身整除了，而其余的质数依然还是只能被１整除，此时的质数Ｐ１和Ｐ２是合数（因为有了两个约数，这两个约数分别是“限定范围”之内的被当做除数的自然数１和２以及自然数１和３），其余的质数是素数（因为只有一个约数，这个约数就是“限定范围”之内的被当做除数的自然数１）。 ········································································· 。 ★ 当人们在考察自然数列中的前ＰＫ个（ＰＫ的意义见下面的叙述）自然数对质数的整除关系时（即“限定”只有ＰＫ个除数，这ＰＫ个除数就是自然数１、２、············ 、ＰＫ，以此做为素数存在的前提条件），发现前Ｋ个质数（其意义见下面的叙述）在能被１整除的同时，也能被它自身整除了，而其余的质数依然还是只能被１整除，此时的前Ｋ个质数是合数（因为有了两个约数，这两个约数依次分别是“限定范围”之内的被当做除数的自然数１和２、１和３、１和５、１和７、１和１１、１和１３、１和１７、············ 、１和ＰＫ），其余的质数（＞ＰＫ的质数）是素数（因为只有一个约数，这个约数就是“限定范围”之内的被当做除数的自然数１）。 用ＰＫ 表示质数数列中的第Ｋ个质数，质数数列的表达式如下， Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，············ＰＫ－１，ＰＫ，ＰＫ＋１，············ 。其中，Ｐ１＝２，Ｐ２＝３，Ｐ３＝５，Ｐ４＝７，Ｐ５＝１１，············· 。 下面，当我们说“前Ｋ个质数”时，就是指质数数列之中的前Ｋ个质数。 问：什么叫素数？什么叫合数？（之二，★★★ 新定义。） 答：在大于１的整数中， 不能被前Ｋ个质数之中的任何一个质数整除的数，叫做自然数列中ＰＫ层次的素数； 能被前Ｋ个质数之中的一个或多个质数整除的数，叫做自然数列中ＰＫ层次的合数。 （ＰＫ层次的意义见下面的叙述） 需要加以说明的是，起初，在人们产生和形成素数和合数两个概念以后，并没有做出上述的理性思考（指辩证地思维）。由于人们已经习惯于把相对不变的事物看做是绝对不变的事物，所以，当人们在产生和形成了素数和合数两个概念以后，通过“反思”，又把自己头脑中“设想”的这两个概念的固定性和绝对意义带进了数学中。就是说，出于形而上学思维习惯，人们把最初的发现当做了永久的认定：一方面，认定了质数就是素数（合二而一）；另一方面，又把合数的概念当做和素数 绝对对立 的概念（形而上学），因而又错误地认定了非质数就是合数（合二而一），表现为把非质数的定义当做了合数的定义。由此产生和形成了数学有史以来上千年的理论错误和认识错误，而且，一直没有被发现和察觉，并且一直延误到了现在。 发现了以往的错误，就应该加以纠正。以下两种认识错误应该加以纠正： 第一种认识错误：把２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、············ 看做是固定不变的素数，这是 绝对对立 的形而上学思维方式，这种错误认识把素数和合数的对立看做是不变的 绝对对立 关系。 按：前面讲的摆脱形而上学思维习惯的束缚就是指纠正上述认识错误。 第二种认识错误：认为任何一个自然数都是１和这个数本身的乘积（２个约数），因此，认为如果定义合数的意义是至少有两个约数，那么，就只有合数，没有素数了。这种错误认识否认素数的存在，把素数和合数的相对同一看做是 绝对同一 了，这是 绝对同一 的唯心主义辩证法思想方法。 按：前面讲的摆脱唯心主义辩证法思想方法（即合二而一的观点）的困扰就是指纠正上述认识错误。 此外，把质数的定义当做素数的定义，把非质数的定义当做合数的定义，以及后面讲的混淆哥德巴赫猜想问题中的两个误差概念，把思维的产物当做客观的存在，把分数余数的数值问题与两个素数之和与合数和的对立关系问题合二而一、混为一谈等，都是属于应该摆脱的唯心主义辩证法思想方法（即合二而一的观点）的困扰。 在辩证地思维看来，素数和合数既是对立的，又是同一的。 在一定的条件下， 质数和非质数都可以是素数（非质数，例如３５、４９、７７、９１等自然数也可以是素数，如前所述）。失去一定的条件，素数就消失。素数是数字发展过程中（自然数列是整数Ｎ递增１的运动过程）出现的暂时现象，随着运动过程的进展，不断地生成和消失（在未来的高级阶段，低级阶段的素数都将成为历史，不复存在），自然数列也因此而分解成无限多的层次。层次的数量和质数的数量相当，即有多少个质数，自然数列就有多少个层次。新定义中包含着既对立又同一的唯物主义（对立性，相对地承认素数）辩证法（同一性，素数因嬗变为合数而消失）思想方法。 参看恩格斯对辩证思维的阐述：“正是那些过去被认为是不可调和的和不能解决的两极对立，正是那些强制规定的分界线和类的区别，使现代的理论自然科学带上狭隘的形而上学的性质。这些对立和区别，虽然存在于自然界中，可是只具有相对意义，相反地，它们那些被设想的固定性和绝对意义，则只不过是被我们人的反思带进自然界的 —— 这样的一种认识，构成辩证自然观的核心。”根据恩格斯的阐述可以使得我们知道和明白：把素数和合数看做是绝对对立，这是人们头脑中的“设想”，又通过人们的“反思”把这种“设想”带进了自然界。也就是说，这是人们把自己的主观想法强加于客观世界了。 辩证法基本原理：一切两极对立都是相对的。 素数和合数的对立也不例外，不是绝对对立，而是相对对立，即既对立又同一。这个同一，就是可以转化（嬗变），和流星的消失一样，素数因嬗变（转化）而消失。低层次的素数和合数的对立关系将成为历史，被即时层次的素数和合数的对立关系所取代，而即时层次的素数和合数的对立关系只存在于我们的视觉之中，随着人们对客观事物的认识的深入以及思维的进展，即时层次的素数和合数的对立关系也将被更高层次的素数和合数的对立关系所取代，如此改朝换代，永无止境。 数理分裂的表现： 问：根据旧定义，１倍之ＰＫ是素数。但为什么２倍之ＰＫ，３倍之ＰＫ，４倍之 ＰＫ，·········· 都是合数，而唯独１倍之ＰＫ却是素数？ 答案只有一个，这是人为地硬性规定，违背了自然法则、违背了“事物的本来的辩证法”。 就是说，旧定义不科学。 做为科学的定义，新定义应该顺其自然，遵循自然辩证法规律。就是说，要求在新定义中，不仅２倍之ＰＫ，３倍之ＰＫ，４倍之ＰＫ，·········· 都是合数，而且，１倍之ＰＫ也应该合乎情理地也是合数。但是，在肯定１倍之ＰＫ是合数的同时，又不能 绝对肯定 ，即不能 绝对否定 １倍之ＰＫ是素数，否则，就要由绝对肯定的极端（绝对对立 的形而上学思维方式）走向了绝对否定的极端（绝对同一 的唯心主义辩证法思想方法）。 曲径通幽，在思维过程中，一分为二，永无止境，人们才能认识“事物的本来的辩证法”。 新定义之所以科学，是因为在 相对肯定 了１倍之ＰＫ是素数的同时，又 相对否定 了１倍之ＰＫ是素数，而 相对否定 了１倍之ＰＫ是素数，就是 相对肯定 了１倍之ＰＫ是合数。这是既对立（相对肯定，唯物主义）又同一（相对否定，辩证法）的唯物主义辩证法思想方法。新定义排除了必然性之外的偶然性因素，使得必然性的规律浮出水面。 根据旧定义，数理分裂的表现是：数的顺序（１倍、２倍、３倍、４倍）是自然顺序，但１倍之Ｐ１、Ｐ２、·········· 、ＰＫ是素数，而它们的２倍、３倍、４倍却是合数，前后不一致。就是说，数理不一，出现悖谬。只因人们已经习以为常，所以见怪不怪，以至数学有史以来上千年的理论错误一直延续到现在也没有被发现。 根据新定义，由于相对肯定了前Ｋ个质数是合数，所以，不仅２倍、３倍、４倍之Ｐ１、Ｐ２、········· 、ＰＫ是合数，１倍之Ｐ１、Ｐ２、········· 、ＰＫ也是合数，数理合一。 思考题：为什么２６＝７＋１９是两个素数之和而２６＝３＋２３却不是两个素数之和？又如，为什么７＋４１是两个素数之和而７＋４３却不是两个素数之和？你能解释吗？ 如果你能够理解和解释上面的思考题，就表明你学会了辩证地思维。 在解决哥德巴赫猜想问题时，没有阶段和层次的概念，是不懂发展，没有嬗变（转化）的概念，是不懂变化，而不懂发展和变化，就是思想处在未经开化的混沌朦胧状态之中。此种思想状态，思维方式是 绝对对立 的形而上学思维方式（即绝对对立的观点），思想方法是 绝对同一 的唯心主义辩证法思想方法（即合二而一的观点），因此，不可能认识自然界的客观事物，不可能认识“事物的本来的辩证法”，而哥德巴赫猜想问题研究的内容正是自然界中最自然的事物（自然数列和自然数），所以， 要解决哥德巴赫猜想问题，就不得不讲哲学，因为哲学是思想劳动的工具。没有这个思想劳动的工具，人们很难自觉地运用辩证地思维，而不会辩证地思维，就不能解决哥德巴赫猜想问题。 根据素数和合数的新定义，可以把自然数列分解成无数个层次，层次的数量和质数的数量相当，就是说，有多少个质数，就有多少个层次。 所有这些层次的表现形式都是一样的，是自然数列，区别在于各个层次的性质表达式不一样。我们可以根据素数和合数的定义以及合数出现的规律（每隔ＰＫ－１个数位就有一个含有质因子ＰＫ的合数出现）写出各个层次的性质表达式。（每一个层次都有一个质数由素数嬗变为合数，嬗变后，在高层次永远是合数。） 第１个层次（Ｐ１层次）的性质表达式（循环节长度Ｚ＝Ｐ１＝２个字位）： 自然数列： １、２、 ３、４、 ５、６、 性质表达式：素、合、←（第一个循环节）素、合、←（第二个循环节）素、合、← ··················· ★························································· ７、８、 ９、１０、 １１、１２、 （第三个循环节）素、合、←（第四个循环节）素、 合、←（第五个循环节） 素、 合、 ··············································································· 第２个层次（Ｐ２层次）的性质表达式（循环节长度Ｚ＝Ｐ１Ｐ２＝２×３＝６个字位）： 自然数列： １、２、３、４、５、６、 ７、８、９、１０、 性质表达式：素、合、合、合、素、合、←（第一个循环节） 素、合、合、 合、 ····················★··★····················································· １１、１２、 １３、１４、１５、１６、１７、１８、 素、 合、←（第二个循环节） 素、 合、 合、 合、 素、 合、←（第三个 ··············································································· １９、２０、２１、２２、２３、２４、 ２５、２６、 循环节） 素、 合、 合、 合、 素、 合、←（第四个循环节） 素、 合、 ··············································································· ２７、２８、２９、３０、 ３１、３２、３３、３４、３５、 合、 合、 素、 合、←（第五个循环节） 素、 合、 合、 合、 素、 ··············································································· ３６、 ３７、３８、３９、４０、４１、４２、 合、←（第六个循环节） 素、 合、 合、 合、 素、 合、←（第七个循环节） ··············································································· ４３、４４、４５、４６、４７、４８、 ４９、５０、５１、５２、 素、 合、 合、 合、 素、 合、←（第八个循环节） 素、 合、 合、 合、 ··············································································· ５３、５４、 ５５、５６、５７、５８、５９、６０、 素、 合、←（第九个循环节） 素、 合、 合、 合、 素、 合、←（第十个循 ··············································································· ６１、６２、６３、６４、６５、６６、 ６７、６８、６９、 环节） 素、 合、 合、 合、 素、 合、←（第十一个循环节） 素、 合、 合、 ··············································································· ７０、７１、７２、 ７３、７４、７５、７６、７７、７８、 合、 素、 合、←（第十二个循环节） 素、 合、 合、 合、 素、 合、←（第 ··············································································· 第３个层次（Ｐ３层次）的性质表达式（Ｚ＝Ｐ１Ｐ２Ｐ３＝２×３×５＝３０个字位）： 自然数列： １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、 性质表达式：素、合、合、合、合、合、素、合、合、 合、 素、 合、 素、 合、 ···················★·★·····★ ············································ １５、１６、１７、１８、１９、２０、２１、２２、２３、２４、２５、２６、２７、 合、 合、 素、 合、 素、 合、 合、 合、 素、 合、 合、 合、 合、 ··············································································· ２８、２９、３０、 ３１、３２、３３、３４、３５、３６、３７、 合、 素、 合、←（第一个循环节） 素、 合、 合、 合、 合、 合、 素、 ··············································································· ３８、３９、４０、４１、４２、４３、４４、４５、４６、４７、４８、４９、５０、 合、 合、 合、 素、 合、 素、 合、 合、 合、 素、 合、 素、 合、 ··············································································· ５１、５２、５３、５４、５５、５６、５７、５８、５９、６０、 ６１、 合、 合、 素、 合、 合、 合、 合、 合、 素、 合、←（第二个循环节）素、 ··············································································· ６２、６３、６４、６５、６６、６７、６８、６９、７０、７１、７２、７３、７４、 合、 合、 合、 合、 合、 素、 合、 合、 合、 素、 合、 素、 合、 ··············································································· ７５、７６、７７、７８、７９、８０、８１、８２、８３、８４、８５、８６、８７、 合、 合、 素、 合、 素、 合、 合、 合、 素、 合、 合、 合、 合、 ··············································································· ８８、８９、９０、 ９１、９２、９３、９４、９５、９６、９７、、 合、 素、 合、←（第三个循环节） 素、 合、 合、 合、 合、 合、 素、 ··············································································· ９８、９９、１００、１０１、１０２、１０３、１０４、１０５、１０６、１０７、 合、 合、 合、 素、 合、 素、 合、 合、 合、 素、 ··············································································· 说明： １，在形而上学思维方式看来（从表面上看），自然数列是单一层次的平面结构，在辩证思维方式看来，自然数列是在表面上的单一层次平面结构的掩盖下，潜藏着层次分明并且叠加、层层深入的无限多层次的结合体的立体结构。 因此，我们强调要学会唯物辩证地思维，因为学会了辩证地思维，可以防止思想僵化，才能适应自然数列自身的变化规律。因为学会了唯物地看问题，看问题才深刻，才能深刻地认识自然数列内在的无限的多层次以及各个层次的的本质，这样才能把握住自然数列在总体上的变化规律（包括任意大和无穷大）。 ２，每一个层次都有一个特定的性质表达式，不同层次的性质表达式都不一样。 每一个层次的性质表达式都是由接连不断的循环节构成。用Ｚ表示一个循环节的长度，这个长度是每一个层次的前Ｋ个质数之乘积。把性质表达式的每一个文字所占据的位置叫做一个字位，则有Ｚ＝Ｐ１Ｐ２Ｐ３············ ＰＫ－１ＰＫ个字位。 例如，Ｐ１层次的Ｚ＝２个字位。 Ｐ２层次的Ｚ＝６（＝２×３）个字位。 Ｐ３层次的Ｚ＝３０（＝２×３×５）个字位。 Ｐ４层次的Ｚ＝２１０（＝２×３×５×７）个字位。 Ｐ５层次的Ｚ＝２３１０（＝２×３×５×７×１１）个字位。 Ｐ６层次的Ｚ＝３００３０（＝２×３×５×７×１１×１３）个字位。 ＰＫ层次的Ｚ＝Ｐ１Ｐ２Ｐ３············ＰＫ－１ＰＫ个字位。 ３，当层次由低层次向高层次变化时，每一个层次都有一个相应的质数由素数嬗变为合数。例如，在Ｐ１层次是Ｐ１，在Ｐ２层次是Ｐ２，············· ，在ＰＫ层次是ＰＫ。 ４，在进入Ｐ１层次之前，质数Ｐ１只能被１整除，所以，此时的质数Ｐ１是素数（只有１个约数）；在Ｐ１层次之中和之后的层次中，质数Ｐ１能被１和Ｐ１整除，所以，此时的质数Ｐ１是合数（至少有２个约数），用加方框的 合 字表示它的性质，意即由素数嬗变而成的合数。因为这种变化顺应了由低层次向高层次的发展变化，所以，我们称之为顺变。 ★ 在ＰＫ层次，前Ｋ个质数是合数（至少有２个约数），＞ＰＫ的质数是素数（只有１个约数）。这是“事物的本来的辩证法”（毛泽东语，见《矛盾论》）。 这个结论，反映了自然界是辩证地而不是形而上学地发生的。 这个结论实在是太妙了，体现了自然的和谐、也体现了天人合一。对于形而上学思维方式的人来讲，这个结论无疑是天上掉下来的馅饼，因为有了这个结论，在偶数２Ｎ所能写成的不同的Ｎ组两个自然数之和中，合数和（两个加数中只要至少有一个加数是合数，我们就把这组和称之为合数和）以及两个素数之和的出现（频率）由杂乱无章变得循规蹈矩，尽在人们的掌握之中。就是说，这个结论排除了偶然性因素，使得必然性的规律露出了庐山真面目（浮出水面）。 因此，有了这个结论，逢难化易，令众多数论专家因束手无策、一筹莫展而感到绝望的哥德巴赫猜想问题出人意料地变成了一个普通的中学生也能解之的初等数学题。要说难，也只是难在思想方法上。但一经提示，即可解决。 ５，自然数１是一个特殊的数字，根据它不能被前Ｋ个质数整除的特性，我们可以把它当做＞ＰＫ的素数来对待，所以，和自然数１对应的性质表达式是“素”字。因它而产生的差值无非也就是在（有多少个素数的）计算结果中多计值１（因为１不是素数，但却把它当做了１个素数来计值了），因此，在误差中可以考虑减掉１（＝－１）就可以了。 ６，除了质数可以嬗变，非质数也可以嬗变。例如，在Ｐ１层次，非质数９、１５、 ２１、２５、２７、３３、············ 等，都是由未来高层次的合数嬗变而成为Ｐ１层次的素数（这些数只能被１整除而不能被Ｐ１整除，所以，是Ｐ１层次的素数）；在Ｐ２层次，非质数２５、３５、４９、５５、６５、７７、８５、９１、９５、············· 等，都是由未来高层次的合数嬗变而成为Ｐ2层次的素数（这些数只能被１整除而不能被Ｐ１、Ｐ２整除，所以，是Ｐ２层次的素数）；在Ｐ３层次，非质数４９、７７、９１、１１９、１３３、１４３、１６１、１８７、２２１、··········· 等，都是由未来高层次的合数嬗变而成为Ｐ３层次的素数（这些数只能被１整除而不能被Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３整除，所以，是Ｐ３层次的素数）；············ ；在ＰＫ层次，非质数Ｐｋ＋１2、ＰＫ＋１·ＰＫ＋２、··········· 等，都是由未来高层次的合数嬗变而成为ＰＫ层次的素数（这些数只能被１整除而不能被Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３、············ 、ＰＫ整除，所以，是ＰＫ层次的素数）；············ 。 ７，非质数的嬗变是由高层次的合数嬗变为低层次的素数，我们用加方框的 素 字来表示它的性质，意即由合数嬗变而成的素数。因为这种变化逆反了由低层次向高层次的发展变化的顺序，所以，我们称之为逆变。 ８，因为质数是单一数的形式（只显示这个质数本身，而约数１不显示），非质数是复合数的形式，所以，质数素数是真素数，非质数素数是假素数。 例如，在Ｐ３阶段，７和７７、９１都是素数，７是真素数，７７和９１是假素数。 以ＰＫ层次和ＰＫ阶段为通例，因为非质数素数＞＝ＰＫ＋１2，而后面讲的基础表达式中ＰＫ阶段的Ｎ值＜〔（ＰＫ＋１2＋１）/２〕（见后文），即Ｎ中不含有质因子ＰＫ＋１，所以，非质数素数即假素数不会出现在偶数２Ｎ所能写成的不同的Ｎ组两个自然数之和之中。 ９，加方框的 素 字和 合 字有双重意义：其一，分别表示由合数嬗变而成的素数（逆变）和由素数嬗变而成的合数（顺变）；其二，表示这个概念在新定义和旧定义中有区别。 １０，只要层次（阶段）确定，根据合数出现的规律，我们就可以把每一个层次的一个循环节的性质表达式向相反的两个方向无限延长，其中，自然数列前面的０可以看做是Ｚ＝ Ｐ１Ｐ２Ｐ３············ＰＫ－１ＰＫ的０倍，其对应的性质表达式是合字。此外，以自然数Ｐ２Ｐ３············ＰＫ－１ＰＫ（是一个奇数）及其倍数（包括偶数倍数）做为对称中心，其左右两边的性质表达式及其延长式具有对偶性质。 １１，由于自然数列中每一个层次都有一个对应的质数由素数嬗变为合数，所以，每一个层次中的素数出现的频率也是不一样的。层次越高，出现的频率越小（因为每一个层次都有素数嬗变为合数）。以ＰＫ层次为通例，素数出现的频率是＝（１－１/Ｐ１）（１－１/ Ｐ２）············（１－１/ＰＫ）。根据这个频率，可以得出素数个数的计算公式＝ｎ·（１－１/Ｐ１）（１－１/Ｐ２）············（１－１/ＰＫ）。其中，ｎ表示自然数列中连续的自然数的个数。按：自然数１是被当做素数来计算的。 例如，在自然数列中，从任意一个自然数开始，可以截取连续的３００３０个自然数，其中的素数个数是： 在Ｐ１层次，有３００３０×（１－１/２）＝１５０１５个素数。 在Ｐ２层次，有３００３０×（１－１/２）（１－１/３）＝１００１０个素数。 在Ｐ３层次，有３００３０×（１/２）（２/３）（４/５）＝８００８个素数。 在Ｐ４层次，有３００３０×（１/２）（２/３）（４/５）（６/７）＝６８６４个素数。 在Ｐ５层次，有６２４０个素数。 在Ｐ６层次，有５７６０个素数。 这里，因为３００３０＝２×３×５×７×１１×１３，即３００３０能够被前６个质数整除，所以，我们能够精确地计算出自然数列的前６个层次之中从任意一个自然数开始的连续的３００３０个自然数之中的素数个数。对于不能整除的情况，在此不深入讨论。 任一大偶数２Ｎ都可以写成不同的Ｎ组两个自然数之和，用上下相对的两个自然数表示其中的１组和，则有如下表达式（下面称之为基础表达式，或称之为横式）： １， ２， ３， ············ ，Ｎ－１， Ｎ， ２Ｎ ＝ ２Ｎ－１ ，２Ｎ－２，２Ｎ－３， ············ ，Ｎ＋１， Ｎ。 用Ｍ２Ｐ表示两个素数之和的组数（即哥德巴赫猜想的个数）。 解题思路之一：什么叫规律？简言之，规律就是关系。哥德巴赫猜想问题的规律就是 Ｍ２Ｐ和Ｎ之间的关系。用ＳＫ表示ＰＫ层次中Ｍ２Ｐ和Ｎ的比值（比率）即规律，则有： ＳＫ ＝ Ｍ２Ｐ / Ｎ。 因为Ｎ组和中ＰＫ阶段的加数具有自然数列的ＰＫ层次中相同的自然数的性质，所以，Ｎ组和中所讲的阶段概念相当于自然数列中所讲的层次概念。 延长Ｎ，至Ｚ组和。在Ｚ组和中，我们可以避开分数余数问题，利用关系式“两个素数之和的组数Ｍ２Ｐ ＝ Ｚ － 合数和的组数”求出Ｚ组和中的Ｍ２Ｐ的值（筛法），再根据Ｚ组和中的Ｍ２Ｐ的值和Ｚ值的比值即可求出ＳＫ的值（＝Ｚ组和中的Ｍ２Ｐ的值/Ｚ）。 然后，根据ＳＫ的值和Ｎ值求出Ｎ组和中Ｍ２Ｐ的值（＝ Ｎ·ＳＫ），并且确定其变化范围。而这个变化范围之内的最低值远远 ＞１，据此即可证明哥德巴赫猜想真。 为了叙述简便，在下面的叙述中，把“两个加数中至少有一个加数是含有质因子ＰＫ的合数所构成的两个自然数之和”这句话简化为“含有质因子ＰＫ的合数和”。 下面讲的“含有质因子ＰＫ的合数和” ＝“两个加数中至少有一个加数是含有质因子ＰＫ的合数所构成的两个自然数之和”。 下面将说明，随着Ｎ值递增１，在偶数２Ｎ写成的Ｎ组和中呈现阶段性的变化，依次出现含有质因子Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３、············ 、ＰＫ－１、ＰＫ的合数和。我们依次称之为Ｐ１阶段，Ｐ２阶段，Ｐ３阶段，············ ，ＰＫ－１阶段，ＰＫ阶段。 解题思路之二：因为在ＰＫ阶段，所有的合数和都是含有 ＜＝ 质因子ＰＫ的合数和，所以，我们可以从Ｎ组（或Ｚ组）不同的两个自然数之和之中依次排除（减掉）含有质因子Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３、············ＰＫ－１、ＰＫ的合数和，剩下的就是两个素数之和（筛法）。 两个素数之和的组数（Ｍ２Ｐ） ＝ Ｎ组和（或Ｚ组和）－ 所有含有 ＜＝ 质因子ＰＫ的合数和的组数。 因为Ｎ组和是偶数２Ｎ的Ｎ组和，所以，在Ｎ组和中，不是奇数和，就是偶数和。又因为在自然数列中，奇数和偶数交替出现，而Ｎ组和的上一行数字延长下去，就是自然数列，所以，在Ｎ组和中也是奇数和和偶数和交替出现。 在Ｐ１阶段，只有含有质因子Ｐ１的合数和，此外，没有（视之为还没有出现）含有其它质因子的合数和。因此，我们只要排除（减掉）了含有质因子Ｐ１的合数和，剩下的就是两个素数之和。（这里，暂且把第１组和当做两个素数之和，因为在排除含有质因子Ｐ１的合数和时，没有排除掉第１组和。）就是说，在Ｎ组和中，每有Ｐ１（＝２）组和，其中就有１组和是含有质因子Ｐ１的合数和，而且，这组和出现在Ｐ１（＝２）组和的最后一个位置上。排除了这组和，剩下的就是两个素数之和。因此，在Ｐ１阶段，两个素数之和在Ｎ组和中出现的频率（比值）是（Ｐ１－１）/Ｐ１＝（１－１/Ｐ１）。用Ｓ１表示Ｐ１阶段两个素数之和的出现频率（比值），即有：Ｓ１＝（１－１/Ｐ１）。 （在Ｐ１阶段） Ｍ２Ｐ ＝ Ｎ·Ｓ１ ＝ Ｎ·（１－１/Ｐ１）。 继续考察。 只有含有质因子Ｐ１的合数和情况特殊，这是因为Ｎ组和是偶数２Ｎ的Ｎ组和，而偶数 就是Ｐ１的倍数，所以，含有质因子Ｐ１的合数和之中的两个加数同时都是含有质因子Ｐ１的合数。而在含有其它的质因子ＰＫ的合数和之中，两个加数是否同时是含有质因子ＰＫ的合数，要由Ｎ中是否含有质因子ＰＫ来决定。如果Ｎ中含有质因子ＰＫ，那么，含有质因子ＰＫ的合数和之中的两个加数同时都是含有质因子ＰＫ的合数；如果Ｎ中不含有质因子ＰＫ，那么，含有质因子ＰＫ的合数和之中的两个加数之中只有一个加数是含有质因子ＰＫ的合数。 因为除了“２＋２”，在偶数和中没有两个素数之和，或者说，除了“２＋２”，所有的两个素数之和都是奇数和，所以，为了简便，在书写Ｎ组和时，可以把偶数和省略。 在基础表达式的Ｎ组和中，省略掉偶数和之后，将剩下Ｎ·（１－１/Ｐ１）组奇数和。 下面考察做为Ｎ组和的Ｎ值和ＰＫ值的关系（按：做为自然数列的变数Ｎ和ＰＫ值没有 下面所讲的这种关系）。 当Ｎ＝５时，２Ｎ＝１０＝１＋９， ＝３＋７， ＝５＋５。 把上面的竖式改写成横式， 当Ｎ＝１３时，２Ｎ＝２６＝１＋２５， ＝３＋２３， ＝５＋２１， ＝７＋１９， ＝９＋１７， ＝１１＋１５， ＝１３＋１３。 把上面的竖式改写成横式， １， ３， ５， ７， ９， １１， １３， ２Ｎ＝２６＝ ２５ ，２３，２１，１９，１７， １５， １３。 在基础表达式中的 ２Ｎ－１ 这个位置上出现（ＰＫ）2之前，Ｎ组和中所有的合数和 （＝“两个加数中至少有一个加数是合数所构成的两个自然数之和”）都可以做为含有小于ＰＫ的质因子的合数和而被排除（以便在Ｎ组和中剩下的全是两个素数之和。第１组和之中的加数１暂且被当做＞ＰＫ的素数，如前所述。如果“２Ｎ－１”是素数，那么，第１组和就要被当做两个素数之和而未被排除，如果“２Ｎ－１”是合数，那么，第１组和就要被当做合数和而被排除）。这样，当合数（ＰＫ）2（例如上述横式中的 ９ ＝３2和 ２５ ＝５2）在基础表达式的 ２Ｎ－１ 这个位置上出现时，我们对基础表达式的考察就上升了一个阶段，即进入了在Ｎ组和中开始出现，并且需要我们开始考虑排除（减掉）含有质因子ＰＫ的合数和的阶段，下面称之为ＰＫ阶段。在此阶段之前，只需要考虑排除含有小于质因子ＰＫ的合数和（以便在Ｎ组和中剩下两个素数之和），而在ＰＫ阶段，则需要在原来的基础上开始考虑排除含有质因子ＰＫ的合数和。 这里，明确一下表示方法，ＰＫ＋１2＝（ＰＫ＋１）2，ＰＫ2＝（ＰＫ）2，即平方（2） 是针对整个质数讲的，不是针对质数排列顺序的序数讲的。 根据２Ｎ－１＝ＰＫ2，可以确定在ＰＫ阶段Ｎ值的取值范围是： （ＰＫ＋１2＋１〕/２ ＞ Ｎ ＞＝（ＰＫ2＋１）/２ 根据上式，可以计算出： 在Ｐ２（＝３）阶段，Ｎ的取值范围是５～１２，（共有８个连续的自然数） 在Ｐ３（＝５）阶段，Ｎ的取值范围是１３～２４，（共有１２个连续的自然数） 在Ｐ４（＝７）阶段，Ｎ的取值范围是２５～６０，（共有３６个连续的自然数） 在Ｐ５（＝１１）阶段，Ｎ的取值范围是６１～８４，（共有２４个连续的自然数） 在Ｐ６（＝１３）阶段，Ｎ的取值范围是８５～１４４，（共有６０个连续的自然数） 在Ｐ７（＝１７）阶段，Ｎ的取值范围是１４５～１８０，（共有３６个连续的自然数） 在Ｐ８（＝１９）阶段，Ｎ的取值范围是１８１～２６４，（共有８４个连续的自然数） 在Ｐ９（＝２３）阶段，Ｎ的取值范围是２６５～４２０，（共有１５６个连续的自然数） ·········································································， 在ＰＫ阶段，Ｎ的取值范围是（ＰＫ2＋１）/２～〔（ＰＫ＋１2＋１）/２－１〕。在此阶段，共有（ＰＫ＋１2－ＰＫ2）/２个＝（ＰＫ＋１＋ＰＫ）（ＰＫ＋１－ＰＫ）/２个＝（ＰＫ＋１＋ＰＫ）·〔（ＰＫ＋１－ＰＫ）/２〕个连续的自然数。 从（ＰＫ＋１＋ＰＫ）·〔（ＰＫ＋１－ＰＫ）/２〕中可以知道，随着ＰＫ值的增大，每一个阶段Ｎ值的取值范围以连续的（ＰＫ＋１＋ＰＫ）个自然数为最低幅度值，以〔（ＰＫ＋１－ＰＫ）/２〕为其倍数值（含１倍）而增大，在总体上呈现阶段性的上升趋势。例如，在Ｐ９（＝２３）阶段，最低幅度值＝（Ｐ１１＋Ｐ１０）＝（２９＋２３）＝５２，倍数值＝ 〔（Ｐ１１－Ｐ１０）/２〕＝（２９－２３）/２＝３，取值范围共有５２×３＝１５６个连续的自然数。 在基础表达式的Ｎ组和中，因有关系式ＰＫ＋１2 ＞ ２Ｎ－１＞＝ＰＫ2，所以，Ｎ的取值范围受ＰＫ值的制约，但其属性和ＰＫ层次的自然数列相同，而在自然数列中，Ｎ的取值范围不受ＰＫ的制约。 对于ＰＫ阶段来讲，我们在考察两个素数之和在Ｎ组和中出现的频率（比值）时，要在Ｎ组和中逐一地排除含有质因子从Ｐ１起到ＰＫ止的所有的合数和，根据新定义，前Ｋ个质数所构成的两个自然数之和都是合数和，因此，在ＰＫ阶段，我们讲的两个素数之和之中的两个素数，必须全都是大于ＰＫ的质数（即两个素数之和之中的两个素数都是真素数）。 例如，当Ｎ＝１３，即当偶数２Ｎ＝２６时，２６＝７＋１９这组和是两个素数之和，而２６＝３＋２３这组和却是合数和。因为加数３能被Ｐ２阶段前Ｋ个质数之中的Ｐ２整除，而加数７和１９不能被Ｐ２阶段的前２个质数整除，即Ｐ２阶段的加数３是合数，而加数７和１９都是素数。 根据旧定义，２６＝３＋２３这组和被当做了两个素数之和。类似的情况极多，既无规律可循，而且，也无法处置。而此类类似两个素数之和的合数和本来做为合数和是有规律的，而现实的情况却是人们全都把它当做了两个素数之和，由此产生了完全相反的两个方面的问题：一是使得Ｎ组和中的两个素数之和因增添了必然性规律之外的偶然性因素而使得两个素数之和的存在杂乱无章，二是合数和的规律也被破坏了，由于这两种破坏作用完全相反，但却起着共同的破坏作用，有如雪上加霜，使得人们无法使用“筛法”来解决哥德巴赫猜想问题。因此，才有人认为哥德巴赫猜想不能用初等数学方法来解决。 在Ｎ组和中，第１组和“１＋（２Ｎ－１）”是１组比较特殊的和。这里，讲一下这组和的特殊性以及对这组和怎样处置的问题。 因为自然数１是一个不能被前Ｋ个质数之中的任何一个质数整除的数，所以，它是被当做＞ＰＫ的素数来对待的。如果（２Ｎ－１）是合数，那么，第１组和就要被当做１组合数和而被排除，如果（２Ｎ－１）是素数，那么，第１组和就要被当做１组两个素数之和来计值（未被排除）。 因为这组和有可能是１组两个素数之和（也有可能是１组合数和），但实际上这组和不是两个素数之和，所以，在计算值中，最大的可能性也就是多计算了１组两个素数之和。因此，在考虑因第１组和而产生的计算值的误差时，只要减掉１（＝－１）就可以了。 前面讲了，哥德巴赫猜想问题的规律就是两个素数之和的组数（即哥德巴赫猜想的个数）和Ｎ组和的比值（两个素数之和的出现频率）。用ＳＫ表示ＰＫ阶段的这个比值，则有： ＳＫ ＝ Ｍ２Ｐ / Ｎ。 这个ＳＫ和前Ｋ个质数的关系式可以用以下方法产生。 在基础表达式中，上一行数字延长下去就是自然数列。从１开始，截取连续的Ｚ＝Ｐ１Ｐ２Ｐ３············ＰＫ－１ＰＫ个自然数，去掉字面上具体的数值概念，用抽象的性质概念（素数和合数）的文字来代替，那么，就可以把上一行数字及其延长式改写成抽象概念的性质表达式。 再来看基础表达式的下一行数字。 基础表达式的下一行数字是递减１的自然数，两头延长，就是反方向排列的自然数列。然后，根据合数出现的规律（每隔ＰＫ－１个数位就出现一个含有质因子ＰＫ的合数）以及各个层次的性质表达式中出现一个循环节的周期性的循环性质和左右对偶性质，也可以把下一行数字改写成抽象概念的性质表达式。 因为基础表达式的上下两行数字的性质表达式都可以延长，所以，我们可以以Ｎ组和为起始部分，截取连续的Ｚ组和，ＳＫ和前Ｋ个质数的关系式即可在此Ｚ组和中产生。 但要明确，Ｚ组和只是已经有确定值的Ｎ组和的延长，而不是Ｎ的取值。延长Ｎ组和只是为了在自然数列的ＰＫ层次面上避开分数余数问题而求出ＳＫ和前Ｋ个质数的关系式（因为Ｚ是前Ｋ个质数的公倍数，所以，可以不产生分数余数而求出ＳＫ，而这个ＳＫ也适用于Ｎ组和，至于在Ｎ组和中应用ＳＫ时产生的误差问题，是可以解决的，见后文），而在基础表达式中，Ｎ的取值范围要受ＰＫ和ＰＫ＋１的制约（如前所述），Ｚ不在Ｎ的取值范围之内。 先来考察一下合数和在Ｎ组和以及Ｚ组和中的分布情况： 这里，以含有奇数质因子ＰＫ的合数和为通例。但要说明：此ＰＫ非彼ＰＫ，前面讲的ＰＫ特指质数数列中的第Ｋ个质数，这里讲的ＰＫ泛指每一个奇数质数。 在基础表达式中，以ＰＫ组和为一个单元，从左往右，可以把Ｎ组和，或把Ｚ组和分成若干个单元。由于Ｎ/ＰＫ的余数有ＰＫ种情况（余数分别为０，１，２，············ ，ＰＫ－１），所以，无论是上一行数字，还是下一行数字，在一个单元的连续的ＰＫ个自然数中，必有一个、也只有一个是含有质因子ＰＫ的合数。当Ｎ中含有质因子ＰＫ时，由于上下两行中含有质因子ＰＫ的合数上下相对，所以，在一个单元中，上下两行数字中含有质因子ＰＫ的两个合数只构成１组合数和；当Ｎ中不含有质因子ＰＫ时，由于上下两行中含有质因子ＰＫ的两个合数错位，所以，在一个单元中，上下两行数字中含有质因子ＰＫ的两个合数构成２组合数和。 把Ｋ－１个奇数质数分成两类：一类是Ｎ中含有的质因子，假定有ｍ个，用Ｐａ，Ｐｂ， Ｐｃ，············ 来表示；另一类不是Ｎ中含有的质因子，假定此类质因子有ｎ个，用Ｐｘ，Ｐｙ，Ｐｚ，············ 来表示，则有１＋ｍ＋ｎ＝Ｋ。 Ｚ组和中的Ｍ２Ｐ ＝ Ｚ组和 － Ｚ组和中的全部合数和。 这是一个以代数和的形式来表达的Ｚ组和中两个素数之和的组数。根据前面讲的解题思 路之二，可以写出这个代数和的形式。 由上述代数和的形式可以推出用因式连乘积的形式来表达的Ｚ组和中两个素数之和的 组数。 Ｚ组和中的Ｍ２Ｐ＝Ｚ·（１－１/Ｐ１）·（１－１/Ｐａ）（１－１／Ｐｂ）（１－１/ Ｐｃ）············ （１－２/Ｐｘ）（１－２/Ｐｙ）（１－２/Ｐｚ）············＝Ｚ· （１－１/Ｐ１）·（１－ｔ／Ｐ２）（１－ｔ／Ｐ３）············（１－ｔ／ＰＫ－１）（１－ｔ／ＰＫ）。其中，当和ｔ对应的质数是Ｎ中含有的质因子时，ｔ＝１，当和ｔ对应的质数不是Ｎ中含有的质因子时，ｔ＝２。 因式连乘积的形式的展开式就是代数和的形式，两种形式的意义完全相同。 就和２×５的乘积形式简明地表达了５个２连加的和的形式一样，Ｋ个因式连乘积的形式比代数和的形式更加简明地表达了解题思路。就是说，Ｋ个因式连乘积的意义如下：（１－１/Ｐ１）＝（Ｐ１－１）/Ｐ１，它的意义是每有Ｐ１组和，就要排除（减掉）１组含有质因子Ｐ１的合数和；（１－ｔ/ＰＫ）＝（ＰＫ－ｔ）/ＰＫ，当Ｎ中含有质因子ＰＫ时，ｔ＝１，（ＰＫ－ｔ）/ＰＫ＝（ＰＫ－１）/ＰＫ，它的意义是每有ＰＫ组和，就要排除（减掉）１组含有质因子ＰＫ的合数和；当Ｎ中不含有质因子ＰＫ时，ｔ＝２，（ＰＫ－ｔ）/ＰＫ＝ （ＰＫ－２）/ＰＫ，它的意义是每有ＰＫ组和，就要排除（减掉）２组含有质因子ＰＫ的合数和。 （ＳＫ的）Ｋ个因式连乘积的形式是四则运算的高级乘除法运算形式，它是四则运算的低级加减法运算形式的另一种（简明的）表达方式，而在公式的推导过程中，低级的代数和的加减法运算形式表达的意义是把所有的含有质因子Ｐ１到ＰＫ的合数和全都排除掉，确保被排除（减掉）的合数和只被排除（减掉）１次，既没有遗漏，也没有被重复计算。因此，（ＳＫ的）Ｋ个因式连乘积的形式的意义也同样是把所有的含有质因子Ｐ１到ＰＫ的合数和全都排除掉，确保被排除（减掉）的合数和只被排除（减掉）１次，既没有遗漏，也没有被重复计算。此外，没有其它的意义。 继续考察基础表达式。 在基础表达式中，有上下两行数字。因为在考察过程中我们把Ｎ值当做递增１的匀变数，所以，我们可以把（去掉偶数和之后的）基础表达式中的上行数字看做是固定不变的、向右排列的奇数数列，把下行数字看做是反方向（向左）排列向右移动的奇数数列，随着Ｎ值递增１，每次向右移动１个数位（例如下面例子中下一行的９和７本来是和上一行的１和３相对，当Ｎ值“递增”１之后，变成和上一行的３和５相对）。 当Ｎ＝５时，偶数２Ｎ＝１０，去掉偶数和之后的基础表达式如下： 当Ｎ＝６时，偶数２Ｎ＝１２，去掉偶数和之后的基础表达式如下： 而对于没有去掉偶数和的基础表达式来讲，当我们把Ｎ值当做递增１的匀变数时，就应该把基础表达式中的上行数字看做是固定不变的、向右排列的自然数列，把下行数字看做是反方向（向左）排列向右移动的自然数列，随着Ｎ值递增１，每次向右移动２个数位 而Ｎ组和就是在每移动一个奇数数位或两个自然数数位之后截取的其中的一部分（Ｎ组和是客观事物的变化被人的视觉直接感知的窗口）。 对于去掉偶数和之后的基础表达式来讲，一个循环节Ｚ的长度是Ｐ２Ｐ３······ ＰＫ。 和前面讲的在Ｎ组和和Ｚ组和中划分单元一样，以ＰＫ组和为一个单元，从左往右，也可以把Ｎ·（１－１/Ｐ１）组奇数和分成若干个单元。由于Ｎ·（１－１/Ｐ１）/ＰＫ的余数有ＰＫ种情况（余数分别为０，１，２，············ ，ＰＫ－１），所以，无论是上一行数字，还是下一行数字，在一个单元的连续的ＰＫ个奇数中，必有一个、也只有一个是含有质因子ＰＫ的合数。当Ｎ中含有质因子ＰＫ时，由于上下两行中含有质因子ＰＫ的合数上下相对，所以，在一个单元中，上下两行数字中含有质因子ＰＫ的两个合数只构成１组合数和；当Ｎ中不含有质因子ＰＫ时，由于上下两行中含有质因子ＰＫ的两个合数错位，所以，在一个单元中，上下两行数字中含有质因子ＰＫ的两个合数构成２组合数和。 为了叙述简便，下面讲的 “不能被前Ｋ个质数整除的数”＝“不能被前Ｋ个质数之中的任何一个质数整除的数”； “能被前Ｋ个质数整除的数”＝“能被前Ｋ个质数之中的一个或多个质数整除的数”。 Ａ，在ＰＫ＝Ｐ２（＝３）阶段，Ｎ的取值范围是５～１２。 ａ，当Ｎ＝５时，偶数２Ｎ＝１０，去掉偶数和之后的基础表达式如下： 把上述基础表达式改写成性质表达式， 可以看到，在上下两行数字中，因为含有质因子Ｐ２的合数（３和９）互相错位（构成２组含有质因子Ｐ２的合数和），所以，在去掉偶数和之后的Ｎ·（１－１/Ｐ１）组奇数和中，每Ｐ２（＝３）组和中必有、也只有Ｐ２－２（＝３－２＝１）组和是两个素数之和（即５＋５）。 就是说，当Ｎ中不含有质因子Ｐ２时，在Ｎ组和中，两个素数之和的组数和Ｎ的比值 Ｓ２＝（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）＝（１－１/２）（１－２/３）＝１/６。 我们用Ｍ２Ｐ来表示Ｎ组和中两个素数之和的组数。于是有： Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ·Ｓ２＝５×（１/６）＝５/６。 Ｍ２Ｐ的实际值是１，即５＋５这组和。此外，因为３是能被≤Ｐ２的质数整除的合数，所以，３＋７这组和是合数和。 问：怎样理解计算值略小于或略大于实际值？ 答：当ＰＫ＝Ｐ２时，一个完整的循环节必须有足够的Ｐ１Ｐ２＝２×３＝６组和，如果Ｎ中不含有质因子Ｐ２，那么，在一个完整的循环节中，有６×（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）＝１组两个素数之和。我们可以把这个１组两个素数之和在一个循环节的６组和中的平均值（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）看做是分摊在每一组和中的潜在值，这个潜在值对两个素数之和的产生（即做为现象而显现出来）起到了垫底和支持作用，积累到一定程度，就表现（显现）出来，表现为（转化为）两个素数之和。当这个表现（即现象）超前显现时，计算值略小于实际值，当这个表现（现象）滞后显现时，计算值略大于实际值。 上面讲的“起到了垫底和支持作用，积累到一定程度，就表现出来，表现为”这句话虽然只是想法（思维），但却具有客观性。例如，对于自然数７（可以任意选择一个自然数）来讲，它前面的６个自然数中都包含有１/７的潜在值（７的平均值），每一个自然数中的潜在值１/７都对７的产生（做为现象而显现出来）“起到了垫底和支持作用，积累到一定程度，就表现（即现象）出来，表现（现象）为”〔（１/７）×７＝１个〕自然数７。这是很容易理解的，因为假定没有前６个自然数各占据１个数位，那么，自然数７就失去它自身的意义（因为自然数列中的７如果不在第７个数位，那么，７就不是７）。 说明：在上面计算一个完整的循环节中有多少组两个素数之和时，Ｎ＝６，但这个含有质因子Ｐ２的６和因式（１－ｔ/Ｐ２）之中的ｔ取值是１，还是２无关，因为一个完整的循环节是原先已有确定值的偶数２Ｎ写成的Ｎ组和的延续，而不是Ｎ的取值，所以，因式（１－ｔ/Ｐ２）之中的ｔ取值要由原先已经有确定值的Ｎ值来决定，和一个循环节的组数无关。 ｂ，当Ｎ＝６时，偶数２Ｎ＝１２，去掉偶数和之后的基础表达式如下： 把上述基础表达式改写成性质表达式， 可以看到，在上下两行数字中，因为含有质因子Ｐ２的合数上下相对，所以，在Ｎ组和中，每Ｐ２（＝３）组和中必有、也只有Ｐ２－１（＝３－１＝２）组和是大于Ｐ２的两个素数之和（“１＋１１”，５＋７）。 就是说，当Ｎ中含有质因子Ｐ２时，在Ｎ组和中，大于Ｐ２的两个素数之和的比值 Ｓ２＝（１－１/Ｐ１）（１－１/Ｐ２）＝１/３。 我们用Ｍ２Ｐ来表示Ｎ组和中两个素数之和的组数。因此有： Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ·Ｓ２＝６×１/３＝２。 Ｍ２Ｐ的实际结果也是２，即“１＋１１”和５＋７这２组和。这里，第１组和“１＋１１”是特殊情况，前面已经讲过了，这里不再赘述。 ｃ，当Ｎ＝７时，偶数２Ｎ＝１４，去掉偶数和之后的基础表达式如下： １、 ３、５、７， ２Ｎ＝１４＝ １３、１１、９、７。 把上述基础表达式改写成抽象概念的表达式， 可以看到，在上下两行数字中，因为含有质因子Ｐ２的合数互相错位，所以，在Ｎ组和中，每Ｐ２（＝３）组和中必有、也只有Ｐ２－２（＝３－２＝１）组和是两个素数之和。 就是说，当Ｎ中不含有质因子Ｐ２时，在Ｎ组和中，两个素数之和的比值 Ｓ２＝（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）＝（１－１/２）（１－２/３）＝１/６。 因此有： Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ·Ｓ２＝７×１/６＝７/６。 Ｍ２Ｐ的实际值是２，即“１＋１３”和７＋７这２组和。 ｄ，当Ｎ＝８时，偶数２Ｎ＝１６，去掉偶数和之后的基础表达式如下： １、 ３、 ５、７， ２Ｎ＝１６＝ １５、１３、１１、９。 把上述基础表达式改写成抽象概念的表达式， 可以看到，在上下两行数字中，因为含有质因子Ｐ２的合数互相错位，所以，在Ｎ组和中，每Ｐ２（＝３）组和中必有、也只有Ｐ２－２（＝３－２＝１）组和是两个素数之和。 就是说，当Ｎ中不含有质因子Ｐ２时，在Ｎ组和中，大于Ｐ２的两个素数之和的比值 Ｓ２ ＝（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）＝（１－１/２）（１－２/３）＝１/６。 因此有：Ｍ２Ｐ的计算值 ＝ Ｎ·Ｓ２ ＝ ８×１/６ ＝ １又１/３。 Ｍ２Ｐ的实际值是１，即５＋１１这组和。此外，根据新定义，３＋１３是合数和。 ｅ，当Ｎ＝９时，偶数２Ｎ＝１８， Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ·Ｓ２＝９×１/３＝３。 Ｍ２Ｐ的实际值也是３，即“１＋１７”、５＋１３、７＋１１这３组和。 ｆ，当Ｎ＝１０时，偶数２Ｎ＝２０， Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ·Ｓ２＝１０×１/６＝１又２/３。 Ｍ２Ｐ的实际值是２，即“１＋１９”、７＋１３这２组和。 ｇ，Ｎ＝１１时，偶数２Ｎ＝２２， Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ·Ｓ２＝１１×１/６＝１又５/６。 Ｍ２Ｐ的实际值是２，即５＋１７、１１＋１１这２组和。 ｈ，当Ｎ＝１２时，偶数２Ｎ＝２４， Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ·Ｓ２＝１２×１/３＝４。 Ｍ２Ｐ的实际值是４，即“１＋２３”、５＋１９、７＋１７、１１＋１３这４组和。 表Ⅰ：Ｐ２（＝３）阶段。Ｎ值取值范围：５～１２。 ┌────┬────┬────────────┬──────┬───────┐ │ Ｎ值 │ ２Ｎ │ Ｍ２Ｐ计算值 │ Ｍ２Ｐ实际值 │ 实际误差 │ ├────┼────┼────────────┼──────┼───────┤ │ ５ │ １０ │ ５/６（谷值） １ │ －１/６ │ │★ ６ │ １２ │ ２ │ ２ │ ０ ｜ │ ７ │ １４ │ ７/６ │ ２ │ －５/６ │ │ ８ │ １６ │ １又１/３ │ １ │ １/３ │ │★ ９ │ １８ │ ３ │ ３ │ ０ ｜ │ １０ │ ２０ │ １又２/３ │ ２ │ －１/３ │ │ １１ │ ２２ │ １又５/６ │ ２ │ －１/６ │ │★１２ │ ２４ │ ４（峰值） ４ │ ０ ｜ └────┴────┴────────────┴──────┴───────┘ Ｂ，在ＰＫ＝Ｐ３（＝５）阶段，Ｎ的取值范围是１３～２４。在Ｐ３阶段，做为加数的Ｐ１＝２、Ｐ２＝３、Ｐ３＝５是合数，两个素数之和之中的两个素数必须全都是大于Ｐ３的质数。Ｓ３＝（１－１/Ｐ１）（１－ｔ/Ｐ２）（１－ｔ/Ｐ３）。其中，ｔ取值１或２，它随着Ｎ中含有的质因子中是否有和ｔ对应的因式中的质数来决定。 ａ，当Ｎ＝１３时，偶数２Ｎ＝２６， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝１３×（１/２）×（１/３）×（３/５）＝１又３/１０。 Ｍ２Ｐ的实际值是２，即７＋１９、１３＋１３这２组和。此外，根据新定义，３＋２３这组和是合数和。 ｂ，当Ｎ＝１４时，偶数２Ｎ＝２８， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝１４×（１/２）×（１/３）×（３/５）＝１又２/５。 Ｍ２Ｐ的实际值是１，即１１＋１７这组和。根据新定义，５＋２３这组和是合数和。 ｃ，当Ｎ＝１５时，偶数２Ｎ＝３０， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝１５×（１/２）×（２/３）×（４/５）＝４。 Ｍ２Ｐ的实际值是４，即“１＋２９”、７＋２３、１１＋１９、１３＋１７这４组和。 ｄ，当Ｎ＝１６时，偶数２Ｎ＝３２， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝１６×（１/２）×（１/３）×（３/５）＝１又３/５。 Ｍ２Ｐ的实际值是２，即“１＋３１”、１３＋１９这２组和。 ｅ，当Ｎ＝１７时，偶数２Ｎ＝３４， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝１７×（１/２）×（１/３）×（３/５）＝１又７/１０。 Ｍ２Ｐ的实际值是２，即１１＋２３、１７＋１７这２组和。 ｆ，当Ｎ＝１８时，偶数２Ｎ＝３６， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝１８×（１/２）×（２/３）×（３/５）＝３又３/５。 Ｍ２Ｐ的实际值是３，即７＋２９、１３＋２３、１７＋１９这３组和。 ｇ，当Ｎ＝１９时，偶数２Ｎ＝３８， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝１９×（１/２）×（１/３）×（３/５）＝１又９/１０。 Ｍ２Ｐ的实际值是３，即“１＋３７”、７＋３１、１９＋１９这３组和。 ｈ，当Ｎ＝２０时，偶数２Ｎ＝４０， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝２０×（１/２）×（１/３）×（４/５）＝２又２/３。 Ｍ２Ｐ的实际值是２，即１１＋２９、１７＋２３这２组和。 ｉ，当Ｎ＝２１时，偶数２Ｎ＝４２， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝２１×（１/２）×（２/３）×（３/５）＝４又１/５。 Ｍ２Ｐ的实际值是４，即“１＋４１”、１１＋３１、１３＋２９、１９＋２３这４组和。 ｊ，当Ｎ＝２２时，偶数２Ｎ＝４４， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝２２×（１/２）×（１/３）×（３/５）＝２又１/５。 Ｍ２Ｐ的实际值是４，即“１＋４３”、７＋３７、１３＋３１、１７＋２７这４组和。 ｋ，当Ｎ＝２３时，偶数２Ｎ＝４６， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝２３×（１/２）×（１/３）×（３/５）＝２又３/１０。 Ｍ２Ｐ的实际值是２，即１７＋２９、２３＋２３这２组和。 ｌ，当Ｎ＝２４时，偶数２Ｎ＝４８， Ｍ２Ｐ的计算值＝Ｎ·Ｓ３＝２４×（１/２）×（２/３）×（３/５）＝４又４/５。 Ｍ２Ｐ的实际值是５，即“１＋４７”、７＋４１、１１＋３７、１７＋３１、１９＋ ２９这５组和。 表Ⅱ：Ｐ３（＝５）阶段。Ｎ值取值范围：１３～２４。 ┌────┬────┬────────────┬──────┬───────┐ │ Ｎ值 │ ２Ｎ │ Ｍ２Ｐ计算值 │ Ｍ２Ｐ实际值 │ 实际误差 │ ├────┼────┼────────────┼──────┼───────┤ │ １３ │ ２６ │ １又３/１０（谷值） ２ │ －７/１０ │ │ １４ │ ２８ │ １又２/５ │ １ │ ２/５ | │★１５ │ ３０ │ ４ │ ４ │ ０ ｜ │ １６ │ ３２ │ １又３/５ │ ２ │ －２/５ │ │ １７ │ ３４ │ １又３/１０ │ ２ │ －３/１０ │ │ １８ │ ３６ │ ３又３/８ │ ３ │ ３/８ │ │ １９ │ ３８ │ １又９/１０ │ ３ │ －１/１０ │ │ ２０ │ ４０ │ ２又２/３ │ ２ │ ２/３ │ │ ２１ │ ４２ │ ４又１/５ │ ４ │ １/５ │ │ ２２ │ ４４ │ ２又１/５ │ ３ │ －４/５ │ │ ２３ │ ４６ │ ２又３/１０ │ ２ │ ３/１０ │ │ ２４ │ ４８ │ ４又４/５（峰值） ５ │ －１/５ │ └────┴────┴────────────┴──────┴───────┘ Ｃ，在ＰＫ＝Ｐ４（＝７）阶段，Ｎ的取值范围是２５～６０。在Ｐ４阶段，做为加数的Ｐ１＝２、Ｐ２＝３、Ｐ３＝５、Ｐ４＝７是合数，两个素数之和之中的两个素数必须全都是大于Ｐ４的质数。Ｓ４＝（１－１/Ｐ１）（１－ｔ/Ｐ２）（１－ｔ/Ｐ３）（１－ｔ/Ｐ４）。 表Ⅲ：Ｐ４（＝７）阶段。Ｎ值取值范围：２５～６０。 ┌────┬────┬────────────┬──────┬───────┐ │ Ｎ值 │ ２Ｎ │ Ｍ２Ｐ计算值 │ Ｍ２Ｐ实际值 │ 实际误差 │ ├────┼────┼────────────┼──────┼───────┤ │ ２５ │ ５０ │ ２又８/２１ ｜ ２ │ ８/２１ │ │ ２６ │ ５２ │ １又６/７（谷值） ２ │ －１/７ │ │ ２７ │ ５４ │ ５又１/７ │ ５ │ １/７ │ │ ２８ │ ５６ │ ２又２/５ │ ２ │ ２/５ │ │ ２９ │ ５８ │ ２又１/１４ │ ３ │ －１３/１４ │ │ ３０ │ ６０ │ ５又５/７ │ ６ │ －２/７ │ │ ３１ │ ６２ │ ２又３/１４ │ ３ │ －１１/１４ │ │ ３２ │ ６４ │ ２又２/７ │ ３ │ －５/７ ｜ ｜ ３３ ｜ ６６ ｜ ４又５/７ ｜ ４ ｜ ５/７ ｜ ｜ ３４ ｜ ６８ ｜ ２又３/７ ｜ ２ ｜ ３/７ ｜ │★３５ ｜ ７０ ｜ ４ ｜ ４ ｜ ０ ｜ │ ３６ │ ７２ │ ５又１/７ ｜ ６ ｜ －６/７│ │ ３７ │ ７４ │ ２又９/１４ ｜ ４ ｜ －１又５/１４│ │ ３８ │ ７６ │ ２又５/７ ｜ ３ ｜ －２/７│ │ ３９ │ ７８ │ ５又４/７ ｜ ５ ｜ ４/７│ │ ４０ │ ８０ │ ３又１７/２１ ｜ ４ ｜ －４/２１│ │ ４１ │ ８２ │ ２又１３/１４ ｜ ４ ｜ －１又１/１４│ │ ４２ │ ８４ │ ７又１/５ ｜ ８ ｜ －４/５│ │ ４３ │ ８６ │ ３又１/１４ ｜ ３ ｜ １/１４│ │ ４４ │ ８８ │ ３又１/７ ｜ ３ ｜ １/７│ │ ４５ │ ９０ │ ８又４/７ ｜ ９ ｜ －３/７│ │ ４６ │ ９２ │ ３又２/７ ｜ ３ ｜ ２/７│ │ ４７ │ ９４ │ ３又５/１４ ｜ ４ ｜ －９/１４│ │ ４８ │ ９６ │ ６又６/７ ｜ ６ ｜ ６/７│ │ ４９ │ ９８ │ ４又１/５ ｜ ４ ｜ １/５│ │ ５０ │１００ │ ４又１６/２１ ｜ ５ ｜ －５/２１│ │ ５１ │１０２ │ ７又２/７ ｜ ８ ｜ －５/７│ │ ５２ │１０４ │ ３又５/７ ｜ ４ ｜ －２/７│ │ ５３ │１０６ │ ３又１１/１４ ｜ ４ ｜ －３/１４│ │ ５４ │１０８ │ ７又５/７ ｜ ８ ｜ －２/７│ │ ５５ │１１０ │ ５又５/２１ ｜ ５ ｜ ５/２１│ │ ５６ │１１２ │ ４又４/５ ｜ ５ ｜ －１/５│ │ ５７ │１１４ │ ８又１/７ ｜ ９ ｜ －６/７│ │ ５８ │１１６ │ ４又１/７ ｜ ４ ｜ １/７│ │ ５９ │１１８ │ ４又３/１４ ｜ ５ ｜ －１１/１４│ │ ６０ │１２０ │ １１又３/７（峰值） １１ ｜ ３/７│ └────┴────┴────────────┴──────┴───────┘ Ｄ，在ＰＫ＝Ｐ５（＝１１）阶段，Ｎ的取值范围是６１～８４。在Ｐ５阶段，做为加数的Ｐ１＝２、Ｐ２＝３、Ｐ３＝５、Ｐ４＝７、Ｐ５＝１１是合数，两个素数之和之中的两个素数必须全都是大于Ｐ5的质数。Ｓ５＝（１－１/Ｐ１）（１－ｔ/Ｐ２）（１－ｔ/Ｐ３）（１－ｔ/Ｐ４）（１－ｔ/Ｐ5）。 表Ⅳ：Ｐ5（＝１１）阶段。Ｎ值取值范围：６１～８４。 ┌────┬────┬───────────┬─────── ┬ ──────┐ │ Ｎ值 │ ２Ｎ │ Ｍ２Ｐ计算值 │ Ｍ２Ｐ实际值 │ 实际误差 │ ├────┼────┼───────────┼─────── ┼ ──────┤ │ ６１ │ １２２│ ３又８７/１５４（谷值） ４ │－７３/１５４│ │ ６２ │ １２４│ ３又４８/７７ │ ４ │ －２９/７７│ │ ６３ │ １２６│ ８又４６/５５ │ １０ │－１又９/５５│ │ ６４ │ １２８│ ３又５７/７７ │ ４ │ －２０/７７│ │ ６５ │ １３０│ ５又５/７７ │ ６ │ －７２/７７│ │ ６６ │ １３２│ ８又４/７ │ ９ │ －３/７│ │ ６７ │ １３４│ ３又１４１/１５４ │ ４ │－１３/１５４│ │ ６８ │ １３６│ ３又７５/７７ │ ４ │ －２/７│ │ ６９ │ １３８│ ８又５/７７ │ ７ │ １又５/７７│ ··········································································· │★７７ ｜ １５４｜ ６ ｜ ６ ｜ ０｜ 从表Ⅰ、表Ⅱ、表Ⅲ、表Ⅳ中可以看到，计算值和实际值是很接近的，趋近于０。 ★★★ 下面，考察误差问题。这是哥德巴赫猜想问题的第二个难点。 麻雀虽小，五脏俱全。哥德巴赫猜想虽然只是一道简易的初等数学题（要说难，只是难在思想方法上），但却包含了唯物辩证法（思想方法）的全部内容。唯物辩证法（思想方法）的全部内容只有两个要点：第一，要学会 辩证地思维 ；第二，要学会 唯物地看问题 。 不会 辩证地思维 ，不懂得素数可以嬗变为合数，就不能发现哥德巴赫猜想的规律。这个规律，表现为计算公式Ｍ２Ｐ＝Ｎ·ＳＫ 之中的ＳＫ。其中，Ｍ２Ｐ表示两个素数之和的组数，即哥德巴赫猜想的个数，ＳＫ表示两个素数之和出现的频率（即规律）。不会 唯物地看问题 ，就解决不了上述计算公式的误差问题。而解决不了这个计算公式的误差问题，这个计算公式就不成立。就是说，哥德巴赫猜想问题的误差问题是对人们是否学会了唯物辩证地思维又是一次同样规格的考验。所不同的，和前面讲的在计算公式（规律）的问题上为摆脱形而上学思维习惯的束缚而强调要学会 辩证地思维 不一样，在误差问题上，是为了摆脱唯心主义辩证法思想方法（即合二而一的观点）的困扰而强调要 唯物地看问题 。 用合二而一的观点看问题，这个计算公式的误差只有一个。 用一分为二的观点看问题，这个计算公式的误差有两个。 这里，先讲一下计算公式的误差是怎样产生的。 在推出两个素数之和的组数（即哥德巴赫猜想的个数）Ｍ２Ｐ的出现频率ＳＫ时，没有产生分数余数问题，这是因为我们是在Ｚ组和中进行的，而Ｚ＝Ｐ１Ｐ２············ＰＫ，即Ｚ是Ｐ１、Ｐ２、············ 、ＰＫ的最小公倍数，Ｚ能被Ｐ１、Ｐ２、···········、ＰＫ整除，所以，没有分数余数问题。但在实际运用公式Ｍ２Ｐ＝Ｎ·ＳＫ进行计算时，因为Ｎ不能被Ｐｘ，Ｐｙ，Ｐｚ，············等ｎ个质因子整除，所以，就产生了一系列的分数余数。但就和只能说２个人、３个人，而不能说６/７个人一样，两个素数之和的组数（即哥德巴赫猜想的个数）Ｍ２Ｐ必须是整数值，因此，有分数余数，就产生了误差问题。 那么，此题的误差是什么？唯物主义辩证法思想方法（即一分为二的观点）和唯心主义辩证法思想方法（即合二而一的观点）的看法和结论是不一样的。 用合二而一的观点看问题，是把上述一系列分数余数的数值之总和当做了这个计算公式的误差。但这个误差是分数值（只有当Ｎ＝６、９、１２、１５、３５、７７这６个数值时是例外，见本文表Ⅰ、表Ⅱ、表Ⅲ、表Ⅳ），而两个素数之和的组数（即哥德巴赫猜想的个数）只能是整数值，不可能是分数值，因此，这个分数值的误差是思维之中的存在（用普通语言来讲，叫做思维之中的存在，用哲学语言来讲，叫做思维和存在的同一性），所以，我们把这个误差叫做思维形式的误差。由于在用合二而一的观点看问题时，是把思维形式的误差当做了客观的存在，即把思维形式的误差和存在形式的误差合二而一了，所以，用合二而一的观点看问题，这个公式的误差只有一个。 问：什么是思维形式的误差？ 答：我们是为了避开产生分数余数问题而在Ｎ组和的延长式Ｚ组和中得出两个素数之和的组数（即哥德巴赫猜想的个数）的计算公式Ｍ２Ｐ＝Ｎ·ＳＫ的。这个计算公式之中的ＳＫ是两个素数之和的出现频率，也叫做规律。这个计算公式是思想性质（辩证法思想）。但在运用这个计算公式时，因为递增１的匀变数Ｎ不能被Ｐｘ，Ｐｙ，Ｐｚ，············等ｎ个质因子整除，所以，就要产生分数余数。这些分数余数是思维的产物，并不存在于客观事物之中。因此，把一系列分数余数的数值之总和当做误差，就是思维形式的误差。 事物总是一分为二的。在用一分为二的观点看问题时，误差有两个：其一是思维形式的误差；其二是存在形式的误差。 问：什么是存在形式的误差？ 答：我们强调要学会 辩证地 思维，是为了避开分数余数问题而得出两个素数之和的组数（即哥德巴赫猜想的个数）的计算公式Ｍ２Ｐ＝ Ｎ·ＳＫ。其中的ＳＫ是在Ｚ组和中产生的，因为Ｚ是前Ｋ个质数的最小公倍数，即Ｚ能被前Ｋ个质数整除，所以不会产生分数余数问题。但在运用这个计算公式时，因为递增１的匀变数Ｎ不能被Ｐｘ，Ｐｙ， Ｐｚ，············等ｎ个质因子整除，所以就产生了误差。但把分数余数当做误差是错误的，因为无论是合数和，还是两个素数之和，其（实际）组数都是整数，因此，这个分数余数不是现实世界和现实事物的反映。现实事物是什么？从解题思路来看，就是从偶数２Ｎ所能写成的不同的Ｎ组两个自然数之和之中排除（减掉）所有的合数和，以便剩下两个素数之和。简言之，现实事物就是两个素数之和与合数和之间的对立关系。在偶数２Ｎ所能写成的不同的Ｎ组两个自然数之和之中，多排除（减掉）１组含有质因子Ｐｗ的合数和，就要少计算１组两个素数之和。相反，少排除（减掉）１组含有质因子Ｐｗ的合数和，就要多计算１组两个素数之和，就是说，计算的误差产生于合数和与两个素数之和的对立关系之中，而 这种对立关系就是误差的存在形式 ，我们应该按照客观世界和客观事物的本来面目来认识客观世界和客观事物，因此，我们只能在这种对立关系之中来考察误差的变化范围，用恩格斯的话来讲。就是“重新 唯物地 把我们头脑中的概念看做现实事物的反映”。和前面讲的把一系列分数余数的数值之总和当做误差不一样，那个误差叫做 思维形式的误差 ，而现在，我们是要在合数和与两个素数之和的对立关系之中来确定误差的变化范围，这个误差叫做 存在形式的误差 。在本文的解法中，讲的就是这个 存在形式的误差 。 问：既然计算公式Ｍ２Ｐ＝Ｎ·ＳＫ是从客观存在的现实中产生的，那么，在运用这个计算公式进行计算时所产生的一系列分数余数之总和为什么不是存在形式的误差，而是思维形式的误差？ 答：当我们在运用这个计算公式进行计算时，Ｎ值是一个匀变数。就是说，尽管计算公式是由客观存在的现实之中产生的，是唯物主义思想路线的产物，但在这个计算公式产生以后，它已经成形，变成了思维形式，而计算公式之中的Ｎ值由于是一个匀变数，表明客观事物依然是在不断地发生变化，所以，思维形式只能随着客观事物的变化而变化。因此，计算公式的误差不能从已经成形的计算公式的本身之中来产生，而是应该从依然是在变化着的客观事物之中产生，就是说，尽管Ｎ值在变化，已经成形的思维形式仍然是思维形式，变化着的客观事物仍然是存在形式，所以，在运用这个计算公式进行计算时所产生的一系列分数余数之总和不是存在形式的误差，而是思维形式的误差。 上面讲的一系列分数余数之总和是思维之中的存在。用普通语言来讲，叫做思维之中的存在，用哲学语言来讲，叫做思维和存在的同一性。其意义就是从思维出发、思维第一。而从思维出发、思维第一的思想路线是唯心主义思想路线， 唯物主义基本原理是： 不是意识决定存在，而是存在决定意识。 因此，在此题中，把一系列分数余数之总和当做误差，从哲学方面来讲，这是意识形态的颠倒，因其是把思维的产物当做了客观的存在，用恩格斯的话来讲，就是：“企图以思维和存在的同一性去证明任何思维产物的现实性”。 恩格斯说，“这种意识形态的颠倒是应该消除的。我们重新 唯物地 把我们头脑中的概念看做现实事物的反映，而不是把现实事物看做绝对概念的某一阶段的反映。”（粗体字和方框是笔者为了醒目而加的标记。） 因此，我们不能把一系列分数余数的数值之总和当做这个计算公式的误差。否则，就是犯了唯心主义（辩证法）思想方法的错误。 在本题中，思维形式的误差已经被包含在计算结果之中，因它（思维形式的误差）而使得计算结果和现实的实际情况（实际值）产生的正负差值叫做变化范围【即后面讲的 “±（Ｋ－ｍ）” 】 ，这个变化范围要由存在形式的误差来解决，即思维形式的误差要由存在形式的误差来决定，在哲学上，叫做存在决定意识（用存在形式的误差来说明计算值所产生的误差范围）。 成千上万的数学家以及数学爱好者尽管有人耗费了毕生精力，但由于不能摆脱从自我出发的唯心主义辩证法思想方法（即合二而一的观点）的困扰，使得他们陷入了困境。就和只隔着一捅就破的一层窗户纸但就是捅不破这层窗户纸一样，他们没有能力跨越“一步之遥”而到达现实世界。其原因，就是因为这“一步之遥”横跨主观和客观两个世界，而他们的思想方法却是从自我出发的唯心主义辩证法思想方法，是合二而一的观点，这种观点，把精神世界（主观意识）和物质世界（客观存在）合二而一，把思维的产物当做了客观世界的存在。因此，在他们看来，误差只有一个。他们把思维形式的误差和存在形式的误差合二而一、混为一谈。他们看不见存在形式的误差 ，因此，他们不能回到现实世界（客观世界）。 从（头脑之中的）思维形式 出发，是唯心主义思想路线，从（头脑之外的）存在形式出发，是唯物主义思想路线。唯心主义思想路线把变化无穷的分数余数（思想垃圾）当做了哥德巴赫猜想问题的误差，把思维的产物当做了客观的存在，把思维形式的误差和存在形式的误差（两种误差）合二而一，混为一谈，是混淆概念（等同于偷换概念）。唯物主义思想路线把存在形式的误差和思维形式的误差分开，把两种误差一分为二，摆脱了唯心主义辩证法思想方法（即合二而一的观点）的困扰，因而能够揭示“事物的本来的辩证法”，即找出两个素数之和的组数（即哥德巴赫猜想的个数）的变化范围（误差范围）。 应该指出，哥德巴赫猜想是初等数学问题，不是高等数学问题。 这样讲的理论根据是：因为和人数只能是整数一样，哥德巴赫猜想的个数（即两个素数之和的组数）也必须是整数。由此决定了此题的误差必须是存在形式的误差（因为思维形式的误差是分数），而由存在形式的误差又决定了Ｎ值只能是递增１的 匀变数 ，而由 Ｎ值是匀变数 又决定了哥德巴赫猜想只能是初等数学问题，而不可能是高等数学问题。 因此，无须先学好解析几何再来证明哥德巴赫猜想，也无须“应该有大学数学专业的毕业生的知识水平，并将已有的文献都看明白了”才能证明哥德巴赫猜想。认为哥德巴赫猜想是高等数学问题是没有根据的臆说和臆断，是理论脱离实际，因为连自己都不知道应该用什么方法才能证明哥德巴赫猜想，又何以知道“应该有大学数学专业的毕业生的知识水平，并将已有的文献都看明白了”才能证明哥德巴赫猜想？甚至，妄言“现在不是做这个证明的时候”，不知什么时候是时候？自己不行，就以为别人也不行？显然，此类言论自相矛盾，逻辑不通。为了让广大青少年知道哥德巴赫猜想问题的难度，以免浪费时间，初衷是好的，但若夹杂有出于维护既得利益和权威形象的用意，继续演出把思想垃圾当做科研成果的闹剧，因此而玩高深，秀学问，就会背离初衷而形成误导，甚至是扼杀科学。以权威的口气宣布“还不到解决的时候”，是要把哥德巴赫猜想问题打入冷宫。为什么要把哥德巴赫猜想问题打入冷宫？唯一的合理解释就是为了维护既得利益和权威形象，因为一旦有人破解了哥德巴赫猜想，就没有人再把思想垃圾当做科研成果了。笔者早在上一世纪八十年代就提出过本文中的解法（但不完全成熟），曾向有关部门和一些刊物寄出过几份文稿，但都被告之不是初等数学问题，让我搞好本职工作，令我报“果”无门。似乎哥德巴赫猜想问题只有数论专家才有能力来解决，但他们又没有这个能力，却垄断了解决此题的权力，关上了大门，把锲而不舍者和后继者全都拒之于大门之外。当时，曾有一刊物《潜科学》因无人审稿只刊登了笔者的文稿的标题以及姓名和住址，供刊外交流，编辑无奈，笔者也无奈。那个时代是笔耕邮寄的时代，信息沟通艰难，笔者唉叹无望，也就把兴趣转移了。一撂下就是二十多年，一直没有机会回顾。现在是网络时代，信息沟通快捷，有望结束哥德巴赫猜想问题的垄断局面和权威的封杀。今夏，笔者又学会了上网，得以重新关注哥德巴赫猜想问题，就又重操旧业，写出此文，并且加上了哲学思考。科学往往是挑战权威，因此，科学需要批判地思维。鉴于此，我写了两小段批判文字。我不相信官方权威能够封杀哥德巴赫猜想，我的文稿专家不审，唯一的办法就是专家路线走不通，改走群众路线，因为此题一个中学生就能解之，就是说，一个中学生就能看懂，所以，我采取多发形式，以便获得草根数学爱好者的广泛支持。 指导思想方面的问题解决了，哥德巴赫猜想问题也就可以迎刃而解了。 下面的叙述，就是重新 唯物地 从存在形式出发来考察误差问题。 假定实际值 ＞＝ 计算值，则有实际值－ 计算值 ＞＝ 误差；假定实际值 ＜＝ 计算值，则有实际值 － 计算值 ＜＝ 误差。这个误差就是上面讲的思维形式的误差，它是一系列分数余数之总和。根据 唯物主义基本原理：不是意识决定存在，而是存在决定意识 ，这个一系列分数余数之总和（意识）的变化范围要由此题的存在形式的误差（存在）来说明。笔者得出的结果是Ｋ－ｍ ＞ 误差 ＞ －（Ｋ－ｍ）。即Ｋ－ｍ ＞＝ 实际值－ 计算值 ＞＝ －（Ｋ－ｍ）。因此有：计算值 ＋（Ｋ－ｍ）＞＝ 实际值 ＞＝ 计算值－（Ｋ－ｍ）。 下面是思考误差范围的实际过程： 因为就和２＋２＋２＋２＋２＝２×５一样，代数和的表达方式是四则运算的低级形式，连乘积的表达方式是四则运算的高级形式，所以，对于等式 “ＳＫ ＝ 代数和的表达方式（即推导过程）＝ 连乘积的表达方式（即计算公式）” 来讲，既可以由代数和的表达方式推出连乘积的表达方式（即计算公式的推导过程），也可以由连乘积的表达方式推出代数和的表达方式（即把计算公式展开）。区别只在于一个是四则运算的低级表达方式，一个是四则运算的高级表达方式，而两者的意义完全相同。下面，我们利用这个等式关系式来说明问题。 因为ＰＫ阶段的基础表达式中的数字和自然数列中ＰＫ层次中的, 数字具有相同的性质，所以，我们利用了自然数列的ＰＫ层次（即把Ｎ组和延长至Ｚ组和）避开了分数余数问题而得出了ＰＫ阶段ＳＫ的简易表达式（即用连乘积的表达方式表达出来的计算公式）。但因为Ｚ是前Ｋ个质数的最小公倍数，可以被公式中前Ｋ个质数中的每一个质数整除而无分数余数，因此不会产生分数余数问题，而Ｎ不是前Ｋ个质数的公倍数，将产生分数余数，因此，在运用计算公式Ｍ２Ｐ ＝ Ｎ·ＳＫ时，就产生了误差问题。下面是求出公式的误差范围的方法。 前面讲了，把Ｋ－１个奇数质数分成两类：一类是Ｎ中含有的质因子，假定有ｍ个，用 Ｐａ，Ｐｂ，Ｐｃ，············ 来表示；另一类不是Ｎ中含有的质因子，假定此类质因子有ｎ个，用Ｐｘ，Ｐｙ，Ｐｚ，············ 来表示，则有１＋ｍ＋ｎ＝Ｋ。 因为Ｎ能被Ｐａ，Ｐｂ，Ｐｃ，············整除，即没有分数余数，所以，此类ｍ个因式不会产生误差问题。误差产生于含有质因子Ｐｘ，Ｐｙ，Ｐｚ，············的ｎ个因式中，因为Ｎ不能被这ｎ个质因子整除，产生分数余数，而产生分数余数，就产生了误差问题。但要用一分为二的观点明确概念：我们讲的误差，不是指分数余数的分数数值，而是指存在于分数余数之中的合数和与两个素数之和的对立关系之中的整数数值。就是说，此误差非彼误差，蔺相如司马相如名相如实不相如。如果把分数余数数值的那个误差当做两个素数之和的计算值之中的这个整数值的误差，把思维形式的误差和存在形式的误差合二而一、混为一谈，则是混淆概念（等同于偷换概念），其结果必然是思想混乱，误入迷途。 以Ｐｗ为通例。这里讲的Ｐｗ“泛指”ｎ个质因子之中的任意一个质因子。 当我们以Ｐｗ组和为一个单元，从基础表达式的第１组和起，把Ｎ组自然数和分成若干个单元之后，因为Ｎ不能被Ｐｗ整除，所以，将剩下不足一个单元的ｕ组和，即ｕ＜Ｐｗ。上面讲的若干个单元属于Ｎ/Ｐｗ的整数部分，ｕ组和属于Ｎ/Ｐｗ的分数余数部分，误差就产生在这个分数余数部分的ｕ组和之中。（切记不要把分数余数当做误差！！！否则，就是混淆概念，其结果必然是思想混乱，误入迷途。） 因为Ｎ中不含有质因子Ｐｗ，所以，基础表达式的上下两行数字中含有质因子Ｐｗ的合数互相错位，即每有Ｐｗ组和，其中必有、也只有２组含有质因子Ｐｗ的合数和，因此， ｔ＝２。因式（１－ｔ/Ｐｗ）＝（１－２/Ｐｗ）＝（Ｐｗ－２）/Ｐｗ。它的实际意义是每有Ｐｗ组和，就要排除（减掉）２组含有质因子Ｐｗ的合数和。就是说，把这２组和排斥在两个素数之和之外。 上面讲了，当Ｎ不能被Ｐｗ整除时，每有Ｐｗ组和，其中必有、也只有２组含有质因子Ｐｗ的合数和（被排斥在两个素数之和之外）。但因为上一行数字是自然数列，其中，含有质因子Ｐｗ的合数必定出现在以Ｐｗ的整数倍（含１倍，即把Ｐｗ当做合数）做为位置序数的位置上，就是说，由上一行数字中含有质因子Ｐｗ的合数做为加数所构成的１组含有质因子Ｐｗ的合数和只能出现在每一个单元的位置序数是Ｐｗ的位置上（即出现在每一个单元的最后１组和的位置上），不会出现在余数的ｕ组和之中（因为ｕ＜Ｐｗ），又因为余数ｕ是一个变数，在１，２，３，············ ，Ｐｗ－１的范围之内变化，而由下一行含有质因子Ｐｗ的合数做为加数所构成的另外１组含有质因子Ｐｗ的合数和可能出现在一个单元去掉最后１组和之后的Ｐｗ－１组和之中的任意１组和的位置上，但不一定出现在余数的ｕ组和之中（因为ｕ＜＝ Ｐｗ－１）。因此，有两种可能性：在余数部分的ｕ组和中，可能有１组含有质因子Ｐｗ的合数和，也可能没有（参看下面的例一、例二、例三之中的余数部分的变化状况）。 这里，有必要说明一下，当Ｎ值确定时，在连续的若干个单元之中（余数部分是一个残缺不全的单元的前面一部分），含有质因子Ｐｗ的合数在每一个单元之中所在的位置序数都是确定的，而且，在不同的各个单元之中，所在的位置序数完全相同。 例一，假定Ｐｗ＝Ｐ２＝３，我们以Ｎ＝１３、１４、１５、１６、１７、１８为例，来看一下Ｎ/Ｐｗ的余数部分的变化（状况）。 当Ｎ＝１３时，Ｎ/Ｐ２的余数部分是（横线表示该数字是含有质因子Ｐ２的合数） １０、１１、１２、１３、 １６、１５、１４、１３、 （注意：每一个单元之中有２组合数和。） ┃←第４个单元→┃←余数部分，ｕ＝１→┃ 当Ｎ＝１４时，Ｎ/Ｐ２的余数部分是 １０、１１、１２、１３、１４、 １８、１７、１６、１５、１４ （注意：每一个单元之中有２组合数和。） ┃←第４个单元→┃←余数部分，ｕ＝２→┃ 当Ｎ＝１５时，Ｎ/Ｐ２的余数是０，属于Ｎ中含有质因子ＰＫ的情况。 １０、１１、１２、１３、１４、１５、 ２０、１９、１８、１７、１６、１５、 （注意：每一个单元之中有１组合数和。） ┃ ←第４个单元→ ┃ ←第５个单元→ ┃←余数部分，ｕ＝０→┃ 当Ｎ＝１６时，Ｎ/Ｐ２的余数部分是 １０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、 ２２、２１、２０、１９、１８、１７、１６、 ┃←第４个单元→┃ ←第５个单元→ ┃←余数部分，ｕ＝１→┃ 当Ｎ＝１７时，Ｎ/Ｐ２的余数部分是 １０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、 ２４、２３、２２、２１、２０、１９、１８、１７、 ┃←第４个单元→┃ ←第５个单元→ ┃←余数部分，ｕ＝２→┃ 当Ｎ＝１８时，Ｎ/Ｐ２的余数是０，属于Ｎ中含有质因子ＰＫ的情况。 １０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８、 ２６、２５、２４、２３、２２、２１、２０、１９、１８、 ┃ ←第４个单元→ ┃ ←第５个单元→ ┃ ←第６个单元→ ┃←余数部分，ｕ＝０→┃ 例二，假定Ｐｗ＝Ｐ３＝５，我们以Ｎ＝１３、１４、１５、１６、１７、１８、１９、２０为例，来看一下Ｎ/Ｐｗ的余数部分的变化（状况）。 当Ｎ＝１３时，Ｎ/Ｐ３的余数部分是（横线表示该数字是含有质因子Ｐ３的合数） １、 ２、 ３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９、１０、１１、１２、１３、 ２５、２４、２３、２２、２１、２０、１９、１８、１７、１６、１５、１４、１３、 ┃ ← 第１个单元 → ┃ ← 第２个单元 → ┃←余数部分，ｕ＝３┃ 当Ｎ＝１４时，Ｎ/Ｐ３的余数部分是 ６、 ７、 ８、 ９、１０、１１、１２、１３、１４、 ２２、２１、２０、１９、１８、１７、１６、１５、１４、 ┃ ← 第２个单元 → ┃← 余数部分，ｕ＝４→┃ 当Ｎ＝１５时，Ｎ/Ｐ３的余数是０，属于Ｎ中含有质因子ＰＫ的情况。 ６、 ７、 ８、 ９、１０、１１、１２、１３、１４、１５、 ２４、２３、２２、２１、２０、１９、１８、１７、１６、１５、 ┃ ← 第２个单元 → ┃ ← 第３个单元 → ┃←余数部分，ｕ＝０┃ 当Ｎ＝１６时，Ｎ/Ｐ３的余数部分是 １１、１２、１３、１４、１５、１６、 ２１、２０、１９、１８、１７、１６、 ┃ ← 第３个单元 → ┃←余数部分，ｕ＝１→┃ 当Ｎ＝１７时，Ｎ/Ｐ３的余数部分是 １１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、 ２３、２２、２１、２０、１９、１８、１７、 ┃ ← 第３个单元 → ┃←余数部分，ｕ＝２→┃ 当Ｎ＝１８时，Ｎ/Ｐ３的余数部分是 １１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８ ２５、２４、２３、２２、２１、２０、１９、１８ ┃ ← 第３个单元 → ┃←余数部分，ｕ＝３→┃ 当Ｎ＝１９时，Ｎ/Ｐ３的余数部分是 １１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８、１９、 ２７、２６、２５、２４、２３、２２、２１、２０、１９、 ┃ ← 第３个单元 → ┃← 余数部分，ｕ＝４→┃ 当Ｎ＝２０时，Ｎ/Ｐ３的余数是０，属于Ｎ中含有质因子ＰＫ的情况。 １１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８、１９、２０、 ２９、２８、２７、２６、２５、２４、２３、２２、２１、２０、 ┃ ← 第３个单元 → ┃ ← 第４个单元 → ┃←余数部分,ｕ＝０┃ 例三，假定Ｐｗ＝Ｐ４＝７，我们以Ｎ＝２５、２６、２７、２８、２９、３０、３１、３２、３３为例，来看一下Ｎ/Ｐｗ的余数部分的变化（状况）。 当Ｎ＝２５时，Ｎ/Ｐ４的余数部分是（横线表示该数字是含有质因子Ｐ４的合数） １５、１６、１７、１８、１９、２０、２１、２２、２３、２４、２５、 ３５、３４、３３、３２、３１、３０、２９、２８、２７、２６、２５、 ┃ ← 第３个单元 → ┃← 余数部分 ，ｕ＝４→┃ 当Ｎ＝２６时，Ｎ/Ｐ４的余数部分是 １５、１６、１７、１８、１９、２０、２１、２２、２３、２４、２５、２６、 ３７、３６、３５、３４、３３、３２、３１、３０、２９、２８、２７、２６、 ┃ ← 第３个单元 → ┃ ← 余数部分，ｕ＝５→ ┃ 当Ｎ＝２７时，Ｎ/Ｐ４的余数部分是 １５、１６、１７、１８、１９、２０、２１、２２、２３、２４、２５、２６、２７、 ３９、３８、３７、３６、３５、３４、３３、３２、３１、３０、２９、２８、２７、 ┃ ← 第３个单元 → ┃ ← 余数部分，ｕ＝６ → ┃ 当Ｎ＝２８时，Ｎ/Ｐ４的余数是０，属于Ｎ中含有质因子ＰＫ的情况。 ２２、２３、２４、２５、２６、２７、２８、 ３４、３３、３２、３１、３０、２９、２８、 ┃ ← 第４个单元 → ┃← 余数部分，ｕ＝０→┃ 当Ｎ＝２９时，Ｎ/Ｐ４的余数部分是 ２２、２３、２４、２５、２６、２７、２８、２９、 ３６、３５、３４、３３、３２、３１、３０、２９、 ┃ ← 第４个单元 → ┃← 余数部分，ｕ＝１→┃ 当Ｎ＝３０时，Ｎ/Ｐ４的余数部分是 ２２、２３、２４、２５、２６、２７、２８、２９、３０、 ３８、３７、３６、３５、３４、３３、３２、３１、３０、 ┃ ← 第４个单元 → ┃← 余数部分，ｕ＝２→┃ 当Ｎ＝３１时，Ｎ/Ｐ４的余数部分是 ２２、２３、２４、２５、２６、２７、２８、２９、３０、３１、 ４０、３９、３８、３７、３６、３５、３４、３３、３２、３１、 ┃ ← 第４个单元 → ┃← 余数部分，ｕ＝３→┃ 当Ｎ＝３２时，Ｎ/Ｐ４的余数部分是 ２２、２３、２４、２５、２６、２７、２８、２９、３０、３１、３２、 ４２、４１、４０、３９、３８、３７、３６、３５、３４、３３、３２、 ┃ ← 第４个单元 → ┃← 余数部分，ｕ＝４→┃ 当Ｎ＝３３时，Ｎ/Ｐ４的余数部分是 ２２、２３、２４、２５、２６、２７、２８、２９、３０、３１、３２、３３、 ４４、４３、４２、４１、４０、３９、３８、３７、３６、３５、３４、３３、 ┃ ← 第４个单元 → ┃ ← 余数部分，ｕ＝５→ ┃ 上面的举例只是为了直观。无论Ｐｗ值怎样变化，在基础表达式的Ｎ组和中，把第１组和当做起点，从左往右，以连续的Ｐｗ组和为一个单元，在截取连续的若干个单元之后，假定剩余ｕ组和，即有ｕ＜Ｐｗ。在这ｕ组和中，可能有１组含有质因子Ｐｗ的合数和（上面例子中当Ｐｗ＝Ｐ２时的Ｎ＝１４、１７，当Ｐｗ＝Ｐ３时的Ｎ＝１３、１４、１８、１９，当Ｐｗ＝Ｐ４时的Ｎ＝２５、２６、２７、３２、３３），也可能没有（上面例子中当Ｐｗ＝Ｐ２时的Ｎ＝１３、１６，当Ｐｗ＝Ｐ３时的Ｎ＝１６、１７，当Ｐｗ＝Ｐ4时的Ｎ＝２９、３０、３１），但不会有２组含有质因子Ｐｗ的合数和，因为由上一行数字中含有质因子 Ｐｗ的合数做为加数所构成的１组含有质因子Ｐｗ的合数和出现在一个单元中的位置序数是最后１组和（第Ｐｗ组和，此时，ｕ＝０）的位置上，不会出现在＜Ｐｗ的余数部分的ｕ组和之中（上面例子中当Ｐｗ＝Ｐ２时的Ｎ＝１５、１８，当Ｐｗ＝Ｐ３时的Ｎ＝１５、 ２０，当Ｐｗ＝Ｐ４时的Ｎ＝２８，都是ｕ＝０的这种情况）。 上述两种可能性（在余数部分的ｕ组和中，可能有１组含有质因子Ｐｗ的合数和，也可能没有），对Ｍ２Ｐ的计算值的影响是： 在余数的ｕ组和之中没有这１组含有质因子Ｐｗ的合数和时，最大的可能性是在Ｍ２Ｐ的计算值中多排除（减掉）了１组含有质因子Ｐｗ的合数和〔在公式的推导过程中，即在代数和的表达方式中，我们排除的Ｎ/Ｐｗ的分数余数部分是ｕ／Ｐｗ组含有质因子Ｐｗ的合数和，（ｕ／Ｐｗ）＜１〕，而多排除（减掉）了１组含有质因子Ｐｗ的合数和就等于少计算了１组两个素数之和，因此，为了排除这种可能性（因多排除了１组含有质因子Ｐｗ的合数和而少计算了１组两个素数之和），就应该在Ｍ２Ｐ的计算值中加１（＝ ＋１）；相反的情况是，在余数的ｕ组和中包含有这１组含有质因子Ｐｗ的合数和时，最大的可能性是在Ｍ２Ｐ的计算值中少排除（减掉）了１组含有质因子Ｐｗ的合数和〔在公式的推导过程中，即在代数和的表达方式中，我们排除的Ｎ/Ｐｗ的分数余数部分是ｕ／Ｐｗ组含有质因子Ｐｗ的合数和，（ｕ／Ｐｗ）＜１〕，而少排除（减掉）了１组含有质因子Ｐｗ的合数和就等于多计算了１组两个素数之和，因此，为了排除这种可能性（因少排除了１组含有质因子Ｐｗ的合数和而多计算了１组两个素数之和），就应该在Ｍ２Ｐ的计算值中减１（＝ －１）。 对于ＳＫ中具有共性的ｎ（＝Ｋ－ｍ－１）个因式来讲，最大的可能性是在Ｍ２Ｐ的计算值中多排除（减掉）了（Ｋ－ｍ－１）组分别含有质因子Ｐｘ、Ｐｙ、Ｐｚ、············ 的合数和，而多排除（减掉）了这（Ｋ－ｍ－１）组合数和就等于少计算了（Ｋ－ｍ－１）组两个素数之和，因此，为了排除这种可能性〔因多排除（Ｋ－ｍ－１）组分别含有质因子 Ｐｘ、Ｐｙ、Ｐｚ、············ 的合数和而少计算了（Ｋ－ｍ－１）组两个素数之和〕，就应该在Ｍ２Ｐ的计算值中加上（Ｋ－ｍ－１）＝〔＋（Ｋ－ｍ－１）〕）。 相反的情况是：对于ＳＫ中具有共性的ｎ（＝Ｋ－ｍ－１）个因式来讲，最大的可能性是在Ｍ２Ｐ的计算值中少排除（减掉）了ｎ（＝Ｋ－ｍ－１）组分别含有质因子Ｐｘ 、 Ｐｙ、Ｐｚ、·········的合数和，而少排除（减掉）了这（Ｋ－ｍ－１）组合数和就等于多计算了（Ｋ－ｍ－１）组两个素数之和，因此，为了排除这种可能性〔因少排除（Ｋ－ｍ－１）组分别含有质因子Ｐｘ、Ｐｙ、Ｐｚ、············的合数和而多计算了（Ｋ－ｍ－１）组两个素数之和〕，就应该在Ｍ２Ｐ的计算值中减掉（Ｋ－ｍ－１）＝〔－（Ｋ－ｍ－１）〕。 综合以上所述可以得出，实际值的上限值是Ｍ２Ｐ＋（Ｋ－ｍ－１），下限值是 Ｍ２Ｐ－（Ｋ－ｍ－１），即理论误差 ＝ Ｋ－ｍ－１。但这个理论误差需要加以修正。一方面，因为第１组和“１＋（２Ｎ－１）”肯定不是两个素数之和，但在考察过程中，有时是把它当做两个素数之和来考察的，有时又把它当做合数和来考察，因此，在实际值的下限值中，应该再减掉１（排除因第１组和的特殊性而多计算了１组两个素数之和的可能性），而做为下限值的理论误差，则是在理论误差中加上１〔因为－理论误差－１＝－（理论误差＋１）〕，即修正后的理论误差＝（Ｋ－ｍ－１）＋１ ＝ Ｋ－ｍ。另一方面，因为计算值不是整数，在实际值的下限值中，可以把余数省略，但在实际值的上限值中，就应该把余数进位为１，因此，在实际值的上限值中，应该再加上１（计算值的余数省略），即上限值的理论误差 ＝（Ｋ－ｍ－１）＋１ ＝ Ｋ－ｍ。就是说，无论是上限值，还是下限值，修正后的理论误差都是（Ｋ－ｍ），但其中的两个“＋１”的意义不一样，在下限值中，它的意义是排除（减掉）把第１组和“１＋（２Ｎ－１）”当做１组两个素数之和来计算的可能性，在上限值中，它的意义是把计算值的余数进位为１。这里，无论是上限值，还是下限值，Ｍ２Ｐ的计算值都是取其整数部分，余数部分省略。 对于Ｎ·（１－１/Ｐ１）来讲，因为Ｎ组和是偶数２Ｎ的Ｎ组和，而偶数２Ｎ可以被 Ｐ１整除（表现为上下两行数字中含有质因子Ｐ１的合数相对，构成１组含有质因子Ｐ１的合数和，即偶数和），所以，（１－１/Ｐ１）应该归类于没有分数余数问题的ｍ个因式之中，而没有分数余数问题，就是没有误差问题。至于当Ｎ为奇数时除以Ｐ１要产生１/２的余数将溶入计算值的余数部分，或省略，或进位１，视误差的下限值和上限值的两种情况来决定，如上所述。 公式ＳＫ的表现形式是Ｋ个因式的连乘积，根据公式ＳＫ的推导过程（解题思路），根据等式“ＳＫ ＝ 代数和的表达方式（推导过程）＝ 连乘积的表达方式（计算公式）”可以知道，这个连乘积形式的实际意义是把所有含有质因子从Ｐ１到ＰＫ的合数和全都排除掉，确保被排除（减掉）的合数和只被排除（减掉）１次，既没有遗漏，也没有被重复计算。此外，没有其它的意义。 就是说，我们所讲的误差只和ＳＫ中因式的实际意义以及因式的个数的多少（即Ｋ值的大小）有关，而与ＳＫ的表现形式即和ＳＫ的连乘积的表达方式无关。而误差，不是产生在计算公式中，而是产生在不足一个单元的ｕ组和之中，如上所述。既然误差产生于不足一个单元的ｕ组和中，那么，从存在形式出发，我们在考察计算公式的误差时，就应该考察在不足一个单元的ｕ组和中有没有１组由下一行中含有质因子Ｐw的合数构成的合数和，如果有，那么，就有可能少了１组两个素数之和，如果没有，那么，就有可能多了１组两个素数之和，对于具有共性的（Ｋ－ｍ－１）个奇数质因子来讲，每一个质因子都存在这种情况，因此，误差就是有可能多计算或少计算了（Ｋ－ｍ－１）组两个素数之和，不过如此而已。此外，再把ｕ＝０（即Ｎ中含有质因子Ｐａ，Ｐｂ，Ｐｃ，············）和第１组和的特殊情况考虑进去，因此有， Ｍ２Ｐ的计算值 ＋（Ｋ－ｍ）＞＝ Ｍ２Ｐ的实际值 ＞＝ Ｍ２Ｐ的计算值 －（Ｋ－ｍ）。 至此，我们只要证明实际值的下限值，即Ｍ２Ｐ的计算值－（Ｋ－ｍ）≥ １就可以证明哥德巴赫猜想真。但是，还需要提出几个概念来完成这个任务。另外，还需要加以说明，我们是为了证明哥德巴赫猜想而考察任一大偶数２Ｎ能写成多少组两个素数之和的变化规律，但在实际上却完全相反，确切地讲，哥德巴赫猜想问题是在考察任一大偶数２Ｎ能写成多少组两个素数之和的变化规律时的副产品。下面，在总结中阐述这个规律（即哥德巴赫猜想的个数的规律）的一些特征并提出相关的概念。 一，任一大偶数２Ｎ能写成多少组两个素数之和（用Ｍ２Ｐ表示）是可以计算的，这个计算公式是：Ｍ２Ｐ ＝ Ｎ·ＳＫ。 其中，ＳＫ ＝（１－１/Ｐ１）（１－ｔ/Ｐ２）（１－ｔ/Ｐ３）·············（１－ｔ/ＰＫ－１）（１－ｔ/ＰＫ）。 二，ＳＫ的意义是两个素数之和在Ｎ组和中出现的频率（比值）。它是一个变量。这个变量之中又包含有两个变量。其一，ｔ这个变量通过因式影响ＳＫ值的大小，其二，因式个数数量也是变量，这个变量表明，大偶数２Ｎ能写成多少组两个素数之和（哥德巴赫猜想个数）呈现出阶段性的变化，是一个无止境地由低级阶段（Ｐ１阶段、Ｐ２阶段）上升到高级阶段（大于ＰＫ阶段）的不断发展变化的过程。此外，因式个数这个变量也影响ＳＫ值的大小。 三，ＰＫ的值和Ｎ值的关系式是：ＰＫ2 ＝ ２Ｎ－１。（此关系仅限于哥德巴赫猜想问题，在自然数列的ＰＫ层次中没有这种关系） 四，在ＰＫ阶段Ｎ值的取值范围是：（ＰＫ＋１2＋１〕/２ ＞ Ｎ ＞＝（ＰＫ2＋１）/２。 五，当Ｎ中含有质因子ＰＫ时（除Ｐ１＝２以外），在ＳＫ的表达式中，对应的因式是：（１－ｔ/ＰＫ）＝（１－１/ＰＫ）＝（ＰＫ－１）/ＰＫ。它的意义是在Ｎ组和中，每有连续的ＰＫ组和就要排除（减掉）１组含有质因子ＰＫ的合数和（因为在横式中，在连续的 ＰＫ组和中，含有质因子ＰＫ的合数上下相对，构成１组含有质因子ＰＫ的合数和）。 当Ｎ中不含有质因子ＰＫ时，在ＳＫ的表达式中，对应的因式是：（１－ｔ/ＰＫ）＝（１－２/ＰＫ）＝（ＰＫ－２）/ＰＫ。它的意义是在Ｎ组和中，每有连续的ＰＫ组和就要排除（减掉）２组含有质因子ＰＫ的合数和（因为在横式中，在连续的ＰＫ组和中，含有质因子ＰＫ的合数上下错位，构成２组含有质因子ＰＫ的合数和）。 六，根据新定义，在ＰＫ阶段，由前Ｋ个质数做为加数所构成的两个自然数之和都是合数和。就是说，在ＰＫ阶段（前提条件），两个素数之和之中的的两个素数必须全都是大于ＰＫ的质数（真素数）。 例如，同样是由质数７构成的两个自然数之和，７＋４１就是两个素数之和，而７＋ ４３就是合数和。因为７＋４１属于Ｐ３（＝５）阶段，７是（不能被前３个质数整除的）素数，７＋４３属于Ｐ４（＝７）阶段，７是（能被前４个质数整除的）合数。 ★ 从哲学方面讲， 辩证法的基本原理是：一切两极对立都是相对的。 例如，在上述实例中，判定７这个数是素数，还是合数，要看前提条件，即要看在哪一个阶段。在Ｐ３阶段（２，３，５是合数），７是不能被前３个质数整除的素数，所以，７＋４１就是两个素数之和；在Ｐ４阶段，７是能被前４个质数整除的合数（由素数嬗变为合数），所以，７＋４３是合数和。在Ｐ４阶段，前４个质数２，３，５，７全都嬗变为合数。就是说，说７是素数，只具有相对意义（一切两极对立都是相对的）。认定７一成不变地永远是素数，具有“固定性和绝对意义”，就是形而上学思维方式，说明了认定７永远是素数的人没有学会辩证地思维。在哥德巴赫猜想问题中，低级阶段中的每一个素数在未来的高级阶段中都要先后相继地嬗变为合数，相反，（尚未出现的）高级阶段中的每一个合数在低级阶段中都要嬗变为素数（但没有在Ｎ组和中出现，只存在于思维之中的Ｎ组和的延长式之中），没有这种辩证地思维的能力，就不能在无穷无尽的表面的偶然性中剥离出必然性的规律，因此，面对哥德巴赫猜想问题就会因束手无策而感到绝望。绝大多数数学家认为哥德巴赫猜想问题不能用初等数学方法来解决，原因就在于这些数学家没有摆脱形而上学思维习惯的束缚。 七，为了确定实际值的变化范围，我们确定了理论误差＝ Ｋ－ｍ。就是说，实际值的上限值是“计算值 ＋ 理论误差”，实际值的下限值是“计算值 － 理论误差”。 Ｍ２Ｐ的计算值 ＋（Ｋ－ｍ）＞＝ Ｍ２Ｐ的实际值 ＞＝ Ｍ２Ｐ的计算值 －（Ｋ－ｍ）。 其中，（Ｋ－ｍ）是〔（Ｋ－ｍ－１）＋１〕之结果，Ｋ表示ＰＫ阶段的前Ｋ个质数的个数，ｍ表示Ｎ中含有 ＜＝ ＰＫ的不相同的奇数质因子的个数，在上限值中，理论误差之中的“＋１”的意义是计算值的余数进位为１（按：计算值只取整数部分），在下限值中，理论误差之中的“＋１”的意义是排除第１组和被当做两个素数之和来计算的可能性。 实际上，计算值和实际值相当接近，因为在计算值中，Ｎ除以前Ｋ个质数的Ｋ个余数既没有当做０而舍弃，也没有当做１而计值，而是按照其分数余数值的实际大小计值在Ｍ２Ｐ的计算值之中，因此，实际误差趋向于０。 八，以Ｎ值为横坐标，以Ｍ２Ｐ值为纵坐标，画出图像。这个图像，就是直观的Ｎ组和中含有的两个素数之和有多少组的走势图。从这个走势图中可以看到，计算值的连线和实际值的连线都是忽高忽低的折线，尤其是峰值和谷值的升降起落即走势完全一致（但不完全重合）。这两条折线是近于重合的两条总体上呈现阶段性的上升趋势，而且是上下起落的变化完全一致的两条折线。 我们所说的总体上呈现阶段性的上升趋势，这个阶段性表现为一个数值平台。这个数值平台，就是某一阶段Ｍ２Ｐ值的理论最低值〔下面再讲〕。这里，Ｎ值确定在一定的取值范围之内，例如，在ＰＫ阶段，Ｎ值的取值范围确定在（ＰＫ2＋１）/２～〔（ＰＫ＋１2＋１〕/２－１〕的范围之内。从走势图中看，在这个取值范围之内，所有的偶数２Ｎ所能写成的两个素数之和的组数Ｍ２Ｐ全都处在这个数值平台之上，即全都大于某一阶段的理论最低值。随着由低级阶段（Ｐ２阶段）上升到高级阶段（大于ＰＫ阶段），理论最低值呈现出总体上的上升趋势，即数值平台（可以在相应的阶段画出理论最低值的横线）呈现阶梯式上升趋势，越来越高。 九，从走势图中可以看到： 谷值一般出现在Ｎ为质数时，或出现在Ｎ中含有的质因子较少，其值较大时。 峰值一般出现在Ｎ中含有的不同的质因子较多，而且，其值较小时。 十，依次把Ｎ值 ＝ 前２个、３个、４个、５个、············奇数质数之乘积时偶数２Ｎ所能写成的两个素数之和的组数叫做第２、第３、第４、第５、············高峰值（第１高峰值空缺）。当Ｎ＝１５（３×５）、１０５（３×５×７）、１１５５（３×５×７×１１）、１５０１５（３×５×７×１１×１３）、············ 时，其Ｍ２Ｐ值都是高于此前所有峰值的高峰值。 ● 第２高峰值： 当Ｎ＝１５时，ＰＫ＝Ｐ３＝５，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１５×（１－１/２）（１－１/３）（１－１/５）＝４（因式下面画横线是为了让读者注意因式中的ｔ＝１），理论误差 ＝Ｋ－ｍ（ｍ表示Ｎ中含有＜＝ＰＫ的不同的奇数质因子的个数）＝３－２＝１，实际值的上限值 ＝ 计算值＋理论误差 ＝４＋１＝５，下限值 ＝ 计算值 － 理论误差 ＝４－１＝３。 就是说，当Ｎ＝１５时，我们可以断定偶数２Ｎ＝３０至少可以写成３组两个素数之和，最多不会超过５组。 【验证】实际上，偶数２Ｎ＝３０可以写成以下３组两个素数之和：７＋２３，１１＋１９，１３＋１７。我们做出的判断正确。 ● 第３高峰值： 当Ｎ＝１０５时，ＰＫ＝Ｐ６＝１３，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１０５×（１－１/２）（１－１/３）（１－１/５）（１－１/７）（１－２/１１）（１－２/１３）＝１６（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝６－３＝３，实际值的上限值＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝１６＋３＝１９，下限值 ＝ 计算值 － 理论误差 ＝１６－３＝１３。 就是说，当Ｎ＝１０５时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２１０至少可以写成１３组两个素数之和，最多不会超过１９组。 【验证】实际上，偶数２Ｎ＝２１０可以写成以下１９组两个素数之和：１１＋１９９，１３＋１９７，１７＋１９３，１９＋１９１，２９＋１８１，３１＋１７９，３７＋１７３，４３＋１６７，４７＋１６３，５３＋１５７，５９＋１５１，６１＋１４９，７１＋１３９，７３＋１３７，７９＋１３１，８３＋１２７，９７＋１１３，１０１＋１０９，１０３＋１０７。我们做出的判断正确。 ● 第４高峰值： 当Ｎ＝１１５５时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１５５×（１－１/２）（１－１/３）（１－１/５）（１－１/７）（１－１/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝１０４（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝１５ －５＝１０，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝１０４＋１０＝１１４，下限值＝ 计算值－ 理论误差 ＝１０４－１０＝９４。 就是说，当Ｎ＝１１５５时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３１０至少可以写成９４组两个素数之和，最多不会超过１１４组。【有待验证】 ● 第５高峰值： 当Ｎ＝１５０１５时，ＰＫ＝Ｐ４０＝１７３，Ｍ２Ｐ的计算值＝１５０１５×（１－１/２）（１－１/３）（１－１/５）（１－１/７）（１－１/１１）（１－１/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）（１－２/５３）（１－２/５９）（１－２/６１）（１－２/６７）（１－２/７１）（１－２/７３）（１－２/７９）（１－２/８３）（１－２/８９）（１－２/９７）（１－２/１０１）（１－２/１０３）（１－２/１０７）（１－２/１０９）（１－２/１１３）（１－２/１２７）（１－２/１３１）（１－２/１３７）（１－２/１３９）（１－２/１４９）（１－２/１５１）（１－２/１５７）（１－２/１６３）（１－２/１６７）（１－２/１７３）＝８８５（余数省略），理论误差＝Ｋ－ｍ＝４０－６＝３４，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝８８５＋３４＝９１９，下限值 ＝ 计算值－ 理论误差 ＝８８５－３４＝８５１。 就是说，当Ｎ＝１５０１５时，我们可以断定偶数２Ｎ＝３００３０至少可以写成 ８５１组两个素数之和，最多不会超过９１９组。【有待验证】 表Ⅴ：高峰值。Ｎ中依次递增的含有质因子３、５、７、１１、１３、１７、······ ┌─────┬─────┬───────┬───────────┬─────┐ │ Ｎ值 │ ２Ｎ │ Ｍ２Ｐ计算值 │ Ｍ２Ｐ实际值（范围） │ 理论误差 │ ├─────┼─────┼───────┼───────────┼─────┤ │ １５│ ３０│ ４│ ３│ １│ │ １０５│ ２１０│ １６│ １９│ ３│ │ １１５５│ ２３１０│ １０４│ （９４～１１４）│ １０│ │１５０１５│３００３０│ ８８５│ （８５１～９１９）│ ３４│ └─────┴─────┴───────┴───────────┴─────┘ 只要计算能力允许，我们就可以计算出任一大偶数２Ｎ能写成多少组两个素数之和的上限值和下限值，从而确定任一大偶数２Ｎ能写成多少组两个素数之和的变化范围。 例１：当Ｎ＝１１５２时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１５２×（１－１/２）（１－１/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝５８（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝ １５－１＝１４，实际值的上限值＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝５８＋１４＝７２，下限值＝ 计算值 － 理论误差 ＝５８－１４＝４４。 就是说，当Ｎ＝１１５２时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３０４至少可以写成４４组两个素数之和，最多不会超过７２组。【有待验证】 例２：当Ｎ＝１１５３时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１５３×（１－１/２）（１－２/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝２９（余数省略），理论误差＝Ｋ－ｍ＝ １５－０＝１５，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝２９＋１５＝４４，下限值＝ 计算值 －理论误差 ＝２９－１５＝１４。 就是说，当Ｎ＝１１５３时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３０６至少可以写成１４组两个素数之和，最多不会超过４４组。【有待验证】 例３：当Ｎ＝１１５４时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１５４×（１－１/２）（１－２/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝２９（余数省略），理论误差＝Ｋ－ｍ＝ １５－０＝１５，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝２９＋１５＝４４，下限值＝ 计算值 －理论误差 ＝２９－１５＝１４。 就是说，当Ｎ＝１１５４时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３０８至少可以写成１４组两个素数之和，最多不会超过４４组。【有待验证】 例４：当Ｎ＝１１５６时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１５６×（１－１/２）（１－２/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－１/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝３１（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝ １５－１＝１４，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝３１＋１４＝４５，下限值＝ 计算值 －理论误差 ＝３１－１４＝１７。 就是说，当Ｎ＝１１５６时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３１２至少可以写成１７组两个素数之和，最多不会超过４５组。【有待验证】 例５：当Ｎ＝１１５７时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１５７×（１－１/２）（１－２/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－１/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝３２（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝ １５－１＝１４，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝３２＋１４＝４６，下限值＝ 计算值 －理论误差 ＝３２－１４＝１８。 就是说，当Ｎ＝１１５７时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３１４至少可以写成１８组两个素数之和，最多不会超过４６组。【有待验证】 例６：当Ｎ＝１１５８时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１５８×（１－１/２）（１－１/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝６２（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝ １５－１＝１４，实际值的上限值＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝６２＋１４＝７６，下限值＝ 计算值 － 理论误差 ＝６２－１４＝４８。 就是说，当Ｎ＝１１５８时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３１６至少可以写成４８组两个素数之和，最多不会超过７６组。【有待验证】 例７：当Ｎ＝１１５９时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１５９×（１－１/２）（１－２/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－１/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝３１（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝ １５－１＝１４，实际值的上限值＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝３１＋１４＝４５，下限值＝ 计算值 － 理论误差 ＝３１－１４＝１７。 就是说，当Ｎ＝１１５８时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３１６至少可以写成１７组两个素数之和，最多不会超过４５组。【有待验证】 例８：当Ｎ＝１１６０时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１６０×（１－１/２）（１－２/３）（１－１/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－１/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝４０（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝ １５－２＝１３，实际值的上限值＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝４０＋１３＝５３，下限值＝ 计算值 － 理论误差 ＝４０－１３＝２７。 就是说，当Ｎ＝１１６０时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３２０至少可以写成２７组两个素数之和，最多不会超过５３组。【有待验证】 例９：当Ｎ＝１１６１时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１６１×（１－１/２）（１－１/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－１/４３）（１－２/４７）＝６０（余数省略），理论误差＝Ｋ－ｍ＝ １５－２＝１３，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝６０＋１３＝７３，下限值＝ 计算值 －理论误差 ＝６０－１３＝４７。 就是说，当Ｎ＝１１６１时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３２２至少可以写成４７组两个素数之和，最多不会超过７３组。【有待验证】 例１０：当Ｎ＝１１６２时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值＝１１６２×（１－１/２）（１－２/３）（１－２/５）（１－１/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝３５（余数省略），理论误差 ＝Ｋ－ｍ＝ １５－１＝１４，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝３５＋１４＝４９，下限值＝ 计算值 －理论误差 ＝３５－１４＝２１。 就是说，当Ｎ＝１１６２时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３２４至少可以写成２１组两个素数之和，最多不会超过４９组。【有待验证】 例１１：当Ｎ＝１１６３时，ＰＫ＝Ｐ１５＝４７，Ｍ２Ｐ的计算值 ＝１１６３×（１－１/２）（１－２/３）（１－２/５）（１－２/７）（１－２/１１）（１－２/１３）（１－２/１７）（１－２/１９）（１－２/２３）（１－２/２９）（１－２/３１）（１－２/３７）（１－２/４１）（１－２/４３）（１－２/４７）＝２９（余数省略），理论误差＝Ｋ－ｍ＝ １５－０＝１５，实际值的上限值 ＝ 计算值 ＋ 理论误差 ＝２９＋１５＝４４，下限值＝ 计算值 －理论误差 ＝２９－１５＝１４。 就是说，当Ｎ＝１１６３时，我们可以断定偶数２Ｎ＝２３２６至少可以写成１４组两个素数之和，最多不会超过４４组。【有待验证】 表Ⅵ：Ｐ１５（＝４７）阶段（片断）。Ｎ值取值范围：１１０５～１４０４。 ┌────┬────┬─────────┬────────┬────────┐ │ Ｎ值 │ ２Ｎ │ Ｍ２Ｐ计算值 │Ｍ２Ｐ实际值（范围） 理论误差 │ ├────┼────┼─────────┼────────┼────────┤ │１１５２│２３０４│ ５８ │ ４４～７２ │ １４（ｍ＝１）│ │１１５３│２３０６│ ２９ │ １４～４４ │ １５（ｍ＝０）│ │１１５４│２３０８│ ２９ │ １４～４４ │ １５（ｍ＝０）│ │１１５５│２３１０│★１０４（高峰值）│★９４～１１４ │ １０（ｍ＝５）│ │１１５６│２３１２│ ３１ │ １７～４５ │ １４（ｍ＝１）│ │１１５７│２３１４│ ３２ │ １８～４６ │ １４（ｍ＝１）│ │１１５８│２３１６│ ６２ │ ４８～７６ │ １４（ｍ＝１）│ │１１５９│２３１８│ ３１ │ １７～４５ │ １４（ｍ＝１）│ │１１６０│２３２０│ ４０ │ ２７～５３ │ １３（ｍ＝２）│ │１１６１│２３２２│ ６０ │ ４７～７３ │ １３（ｍ＝２）│ │１１６２│２３２４│ ３５ │ ２１～４９ │ １４（ｍ＝１）│ │１１６３│２３２６│ ２９ │ １４～４４ │ １５（ｍ＝０）│ 笔者在上一世纪八十年代曾经花费了大量的时间把Ｎ＝５２００，即偶数２Ｎ＝ １０４００以内的两个素数之和的计算值和实际值都求出来了（用首尾相互连接的长长的两个牛皮纸条，以２ｃｍ的间距划上竖线，一正一反地按格位位置顺序只写质数，再用错位法就能够方便快捷地求出（数出）每一个偶数２Ｎ的“Ｍ２Ｐ的实际值”），以之验证过下面公式的正确性，遗憾的是，因世事变故，底稿全丢失了。数据可以补救，但在这里无法利用了。 Ｍ２Ｐ的计算值 ＋（Ｋ－ｍ）＞＝ Ｍ２Ｐ的实际值 ＞＝ Ｍ２Ｐ的计算值 －（Ｋ－ｍ）。 十一，为了证明哥德巴赫猜想真，下面提出Ｍ２Ｐ的理论最低值和理论下限值两个概念。 什么叫Ｍ２Ｐ的理论最低值？ 在ＰＫ阶段，Ｎ取值是该阶段Ｎ的取值范围之内的最低值 ＝（ＰＫ2＋１）/２，ＳＫ的（Ｋ－１）个含有奇数质因子的因式之中的变量ｔ全都 ＝２，这样计算出来的Ｍ２Ｐ的计算值叫做（ＰＫ阶段的）理论最低值（因为各项取值都是最低值）。 按：计算（ＰＫ阶段的）理论最低值时，Ｎ值不一定是质数。例如，在ＰＫ＝Ｐ４（＝７）阶段，Ｎ的取值是（Ｐ４2＋１）/２＝２５＝Ｐ３2＝５2。但在计算过程中，ＳＫ的表现形式却是Ｎ中不含有质因子Ｐ３＝５，即因式（１－ｔ/Ｐ３）之中的ｔ≠１。（Ｋ－１）个因式中的ｔ全都 ＝２。 ＰＫ阶段Ｍ２Ｐ的理论最低值 ＝〔（ＰＫ2＋１）/２〕·（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）（１－２/Ｐ３）·············（１－２/ＰＫ）。 理论最低值和谷值是两个不同的概念，后者是实际最低值。相对而言，前者（理论最低值）具有必然性和确定性，有规律可循，后者（谷值）具有偶然性和不确定性，无规律可循。而且，理论最低值＜＝谷值（实际最低值）。 例如，在Ｐ４（＝７）阶段，谷值（实际最低值）是２６×（１/２）（１/３）（３/５）（５/７）＝１又６/７，理论最低值是２５×（１/２）（１/３）（３/５）（５/７）＝１又１１/１４。理论最低值略小于实际最低值。 在Ｐ２阶段，理论最低值 ＝５×（１－１/２）（１－２/３）＝５/６。 在Ｐ３阶段，理论最低值 ＝１３×（１/２）（１/３）（３/５）＝１又３/１０。 在Ｐ４阶段，理论最低值 ＝２５×（１/２）（１/３）（３/５）（５/７）＝１又１１/ １４。 在Ｐ５阶段，理论最低值 ＝６１×（１/２）（１/３）（３/５）（５/７）（９/１１）＝ ３又８７/１５４。 在Ｐ６阶段，理论最低值 ＝８５×（１/２）（１/３）（３/５）（５/７）（９/１１）（１ １/１３）＝４又３７/１８２。 在Ｐ７阶段，理论最低值 ＝１４５×（１/２）（１/３）（３/５）（５/７）（９/１１） （１１/１３）（１５/１７）＝６又１０１１/３０９４。 在Ｐ８阶段，理论最低值 ＝１８１×（１/２）（１/３）（３/５）（５/７）（９/１１） （１１/１３）（１５/１７）（１７/１９）＝７又２２９/３４５８。 ··········································································· 在Ｐ１５（＝４７）阶段，理论最低值 ＝〔（４７2＋１）/２〕·（１/２）（１/３）（３/ ５）（５/７）（９/１１）（１１/１３）（１５/１７）（１７/１９）（２１/２３）（２７/２９）（２９/３１）（３５/３７）（３９/４１）（４１/４３）（４５/４７）＝２８（取整数值）。 ··········································································· 在ＰＫ阶段，理论最低值 ＝〔（ＰＫ2＋１）/２〕·｛（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）（１－２/Ｐ３）············（１－２/ＰＫ＋１）（１－２/ＰＫ）｝ 十二，为了证明哥德巴赫猜想真，有必要改写理论最低值的表达式（使之简化），因此，需要利用奇数非质数和表达奇数非质数的Ｈｅ的概念： 除了偶数２，其余的质数都是奇数。在奇数数列中，去掉１和所有的质数之后，剩下的全是奇数非质数。我们把剩下的奇数非质数称之为奇数非质数数列，并用Ｆｅ表示第ｅ个奇数非质数，因此有：Ｆ１＝９，Ｆ２＝１５，Ｆ３＝２１，Ｆ４＝２５，Ｆ５＝２７，Ｆ６＝３３，Ｆ７＝３５，Ｆ８＝３９，Ｆ９＝４５，············· ，Ｆｅ，············ 。 其中，Ｆｅ表示＜ＰＫ的最大的奇数非质数。 下面，在公式的推导过程中画横线的因式是奇数非质数的因式。 在ＰＫ阶段，理论最低值 ＝〔（ＰＫ2＋１）/２〕·｛（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）（１－２/Ｐ３）············（１－２/ＰＫ＋１）（１－２/ＰＫ）｝ ＝〔（ＰＫ2＋１）/２〕·〔（１－１/Ｐ１）（１－２/Ｐ２）（１－２/Ｐ３）（１－２/Ｐ４）（１－２/Ｆ１）（１－２/Ｐ５）（１－２/Ｐ６）（１－２/Ｆ２）（１－２/Ｐ７）（１－２/Ｐ８）（１－２/Ｆ３）（１－２/Ｐ９）（１－２/Ｆ４）（１－２/Ｆ５）（１－２/Ｐ１０）（１－２/ Ｐ１１）（１－２/Ｆ６）（１－２/Ｆ７）（１－２/Ｐ１２）············（１－２/ＰＫ）〕/〔（１－２/Ｆ１）（１－２/Ｆ２）（１－２/Ｆ３）（１－２/Ｆ４）（１－２/Ｆ５）（１－２/Ｆ６）（１－２/Ｆ７）············（１－２/Ｆｅ）〕 ＝〔（ＰＫ2＋１）/２〕·〔（１/２）·（１/３）·（３/５）·（５/７）·（７/９）·（９/１１）·（１１/１３）·（１３/１５）·（１５/１７）·（１７/１９）·（１９/２１）·（２１/２３）·（２３/２５）·（２５/２７）·（２７/２９）·（２９/３１）·（３１/３３）·（３３/３５）·（３５/３７）············（１－２/ＰＫ）〕·〔１/（１－２/Ｆ１）〕·〔１/（１－２/Ｆ２）〕·〔１/（１－２/Ｆ３）〕·〔１/（１－２/Ｆ４）〕·〔１/（１－２/Ｆ５）〕·〔１/（１－２/Ｆ６）〕·〔１/（１－２/Ｆ７）〕············〔１/（１－２/Ｆｅ）〕 ＝〔（ＰＫ2＋１）/２〕·〔（１/２）·（１/ＰＫ）〕·〔１/（１－２/Ｆ１）〕·〔１/（１－２/Ｆ２）〕·〔１/（１－２/Ｆ３）〕·〔１/（１－２/Ｆ４）〕·〔１/（１－２/Ｆ５）〕·〔１/（１－２/Ｆ６）〕·〔１/（１－２/Ｆ７）〕············〔１/（１－２/Ｆｅ）〕 用Ｑ表示（＝）〔１/（１－２/Ｈ１）〕·〔１/（１－２/Ｈ２）〕·〔１/（１－２/Ｈ３）〕·〔１/（１－２/Ｈ４）〕·〔１/（１－２/Ｈ５）〕·〔１/（１－２/Ｈ６）〕·〔１/（１－２/ Ｈ７）〕············〔１/（１－２/Ｈｅ）〕，即有 ＰＫ阶段的理论最低值 ＝〔（ＰＫ2＋１）/２〕·〔（１/２）·（１/ＰＫ）〕·Ｑ ＝（Ｑ/４）·ＰＫ＋〔Ｑ/（４ＰＫ）〕 ＞（Ｑ/４）·ＰＫ。 在上面的推导过程中，把〔Ｑ/（４ＰＫ）〕舍弃了，因为和（Ｑ/４）·ＰＫ相比，〔Ｑ/（４ＰＫ）〕是一个微小的数值，可以忽略不计。 根据上式（理论最低值的简化式）计算出来的理论最低值略微小于前面计算出来的理论最低值，因为在上式的推导过程中有舍弃〔把〔Ｑ/（４ＰＫ）〕舍弃了〕。 十三，理论最低值是计算值，因此，需要考虑因计算而产生的误差问题。前面已经讲过，理论误差 ＝ Ｋ－ｍ。一方面，因为理论最低值的Ｋ－１个因式中的ｔ全都 ＝２，据此确定ｍ，应该是ｍ＝０，另一方面，取误差的最大值（确保哥德巴赫猜想真），所以，ｍ应该取最小值，即ｍ＝０，即理论误差＝ Ｋ，因此， ＰＫ阶段的理论下限值 ＝ ＰＫ阶段的理论最低值－Ｋ＝（Ｑ/４）·ＰＫ－Ｋ，即 ＰＫ阶段的理论下限值 ＝（Ｑ/４）·ＰＫ－Ｋ。 说明：理论最低值和理论下限值是两个不同的概念，区别在于，理论最低值不是界定值（因为是计算值，有误差），理论下限值是界定值（排除了误差）。 因为实际值＞理论最低值＞理论下限值，所以，根据理论下限值的公式，我们可以做出以下判断： 当ＰＫ＝Ｐ２（＝３）时，Ｑ＝１，理论下限值 ＝ （１/４）·３－２＝负值， 当ＰＫ＝Ｐ３（＝５）时，Ｑ＝１，理论下限值 ＝ （１/４）·５－３＝负值， 当ＰＫ＝Ｐ４（＝７）时，Ｑ＝１，理论下限值 ＝ （１/４）·７－４＝负值， 当ＰＫ＝Ｐ５（＝１１）时，Ｆｅ＝９，Ｑ＝９/７，理论下限值 ＝ （９/２８）·１１－５＝ 负值， 当ＰＫ＝Ｐ６（＝１３）时，Ｆｅ＝９，Ｑ＝９/７，理论下限值 ＝（９/２８）·１３－６＝ 负值， 当ＰＫ＝Ｐ７（＝１７）时，Ｆｅ＝１５，Ｑ＝（９/７）·（１５/１３）＝１３５/９１，理论下限值 ＝（１３５/３６４）·１７－７＝ 负值， 当ＰＫ＝Ｐ８（＝１９）时，Ｆｅ＝１５，Ｑ＝（９/７）·（１５/１３）＝１３５/９１，理论下限值 ＝（１３５/３６４）·１９－８＝ 负值， 在前８个（＝Ｋ个）阶段，理论下限值都是负值，这是因为在公式“Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ· ＳＫ”中，ＳＫ其实是平均值，计算值和实际值的实际误差本来极小，而且是以０为轴心，上下波动，而我们现在用的公式“ＰＫ阶段的理论最低值 ＝（Ｑ/４）·ＰＫ”是公式 “Ｍ２Ｐ的计算值 ＝Ｎ· ＳＫ”的演变，其计算值和实际值的实际误差也同样极小。我们只是出于证明哥德巴赫猜想的需要，才宽打窄用地在理论误差中添加了减掉足额的Ｋ＝ “－Ｋ”，因而使得理论下限值比计算值要小，这个差值就是Ｋ。而在初始阶段，计算值也小，当计算值小于差值Ｋ时，就表现为负值。但这并不妨碍证明哥德巴赫猜想真，因为在初始阶段，即当Ｎ＜４２１时，我们可以直接把其中的任意一个偶数２Ｎ写成两个素数之和。而当Ｎ＞＝４２１时，偶数２Ｎ能否写成两个素数之和以及至少能写成多少组两个素数之和，就可以纳入我们的考察结果之中了。（当Ｎ＞＝４２１时，尽管Ｋ值也在增大，但计算值远比Ｋ值增值速度要快。到了一定阶段，相对而言，Ｋ值可以忽略不计）。这里，我们所说的考察结果，是指任一大偶数２Ｎ能写成多少组两个素数之和有规律可循，这个规律，就是Ｍ２Ｐ的计算公式。而且，利用这个计算公式，我们可以界定任一大偶数２Ｎ能写成多少组两个素数之和的变化范围（上限值和下限值）。而要证明哥德巴赫猜想，只要证明这个界定的下限值＞１就可以了。 当ＰＫ＝Ｐ９（＝２３）时，Ｈｅ＝２１，Ｑ＝（９/７）·（１５/１３）（２１/１９）＝２８３５/１７２９，理论下限值＝（２８３５/６９１６）·２３－９＞０。 实际上，当ＰＫ＝Ｐ９（＝２３）时，理论下限值 ＞０，据此，就可以断定：当Ｎ取值在２６５～４２０的范围之内时，所有的偶数２Ｎ都可以写成两个素数之和了。而对于 Ｎ＜２６５的偶数２Ｎ来讲，我们可以直接把其中的任意一个偶数２Ｎ写成两个素数之和。我们把界限定在Ｎ＜４２１而没有定在Ｎ＜２６５，是为了充分保证哥德巴赫猜想真。 当ＰＫ＝Ｐ１０（＝２９）时，Ｆｅ＝Ｆ５＝２７（Ｆｅ表示小于ＰＫ的最大的奇数非质数），Ｑ＝〔１/（１－２/Ｆ１）〕·〔１/（１－２/Ｆ２）〕·〔１/（１－２/Ｆ３）〕〔１/（１－２/Ｆ４）〕〔１/（１－２/Ｆ５）〕＝（９/７）·（１５/１３）·（２１/１９）·（２５/２３）·（２７/２５），理论下限值 ＝ （Ｑ/４）·ＰＫ－１０＝１３（取整数值）－１０＝３，据此，我们可以断定：当Ｎ取值在４２１～４８０的范围之内时，所有的偶数２Ｎ至少都可以写成３组两个素数之和。 当ＰＫ＝Ｐ１１（＝３１）时，Ｆｅ＝Ｆ５＝２７，Ｑ＝（９/７）·（１５/１３）·（２１/１９）·（２５/２３）·（２７/２５），理论下限值 ＝ （Ｑ/４）·ＰＫ－１１＝１４（取整数值）－１１＝３，据此，我们可以断定：当Ｎ取值在４８１～６８４的范围之内时，所有的偶数２Ｎ至少都可以写成３组两个素数之和。 当ＰＫ＝Ｐ１２（＝３７）时，Ｆｅ＝Ｆ７＝３５，Ｑ＝（９/７）·（１５/１３）·（２１/１９）·（２５/２３）·（２７/２５）·（３３/３１）·（３５/３３），理论下限值 ＝ （Ｑ/４）·ＰＫ－１２＝２０（取整数值）－１２＝８，据此，我们可以断定：当Ｎ取值在６８５～８４０的范围之内时，所有的偶数２Ｎ至少都可以写成８组两个素数之和。 在公式“ＰＫ阶段的理论下限值 ＝（Ｑ/４）·ＰＫ－Ｋ”中，ＰＫ的系数是（Ｑ/４），因为Ｑ是一系列假分数的乘积＝（９/７）·（１５/１３）·（２１/１９）············〔Ｆｅ/（Ｆｅ－２）〕，所以，随着ＰＫ的增大，Ｆｅ（小于ＰＫ的最大的奇数非质数）的值也随之而增大，Ｑ的值也是一个越来越大的数值。因此，ＰＫ的系数（Ｑ/４）的值也将随着ＰＫ的增大而越来越大，当ＰＫ＝Ｐ１２＝３７时（此时的Ｆｅ＝Ｆ７＝３５），Ｑ＝（９/７）·（１５/１３）·（２１/１９）·（２５/２３）·（２７/２５）·（３３/３１）·（３５/３３）＝３８２７２５/１７６１１１＞２。就是说，从Ｐ１２阶段以后（含Ｐ１２阶段），永远有Ｑ＞２（因为Ｑ的值是一连串的假分数的乘积，只能是越来越大），当ＰＫ＝Ｐ３１＝１２７时（此时的Ｆｅ＝Ｆ３３＝１２５），Ｑ＝（９/７）·（１５/１３）·（２１/１９）············（１２１/１１９）·（１２３/１２１）·（１２５/１２３）＞４，就是说，从Ｐ３１阶段以后（含 Ｐ３１阶段），永远有Ｑ＞４（因为Ｑ的值是一连串的假分数的乘积，只能是越来越大）。 当Ｑ＞２时，ＰＫ的系数是（Ｑ/４）＞１/２。于是有：ＰＫ阶段的理论下限值 ＝（Ｑ/４）·ＰＫ－Ｋ＞ＰＫ/２－Ｋ。其中，Ｋ是递增１的数值，而除了偶数２，其余的质数都是奇数，即ＰＫ是递增值 ＞＝ ２的数值，ＰＫ/２是递增值 ＞＝ １的数值，因此，从Ｐ１２阶段以后（含Ｐ１２阶段），因为ＰＫ/２－Ｋ是一个越来越大的数值，而已知Ｐ１２阶段理论下限值 ＞８，所以，永远有理论下限值大于８，即任一大偶数２Ｎ至少都可以写成８组两个素数之和。 实际上，只有孪生质数的差值是２，而随着Ｎ值的增大，两对孪生质数之间的间隔也越来越大，即ＰＫ/２的平均递增值要远远大于Ｋ的递增值（＝１），因此，根据ＰＫ阶段的理论下限值 ＞ＰＫ/２－Ｋ可以知道，当ＰＫ ＞＝ Ｐ１２时，即当Ｎ值 ＞＝（３７2＋１）/２＝６８５时，任一大偶数２Ｎ不仅至少可以写成１组两个素数之和，而且，能写成的两个素数之和的组数越来越多。并且，将随着Ｎ值的增大而增多。 当Ｑ＞４时，ＰＫ的系数是（Ｑ/４）＞１。于是有：ＰＫ阶段的理论下限值 ＞（Ｑ/４）·ＰＫ－Ｋ＞ＰＫ－Ｋ。其中，ＰＫ是递增值 ＞＝ ２的数值，但只有孪生质数的差值是２，从平均递增值方面来讲，ＰＫ是一个迅速增大的数值，而Ｋ是一个递增１的数值，因此，从Ｐ３１阶段以后（含Ｐ３１阶段），即当Ｎ＞＝（１２７2＋１）/２＝８０６５时，理论下限值永远＞１，即永远有任一大偶数２Ｎ至少都可以写成１组两个素数之和。而对理论下限值＞ＰＫ－Ｋ的解读远不止于此，只因我们在这里是为了证明哥德巴赫猜想真，所以，只讲理论下限值永远 ＞１就可以了。 因为Ｑ是一系列假分数的乘积，所以，Ｑ是一个随着Ｎ值和ＰＫ的值增大而增大的数值， 当ＰＫ ＞＝ Ｐ１２时，Ｑ＞２， 当ＰＫ ＞＝ Ｐ２０时，Ｑ＞３， 当ＰＫ ＞＝ Ｐ３１时，Ｑ＞４， 当ＰＫ ＞＝ Ｐ３８时，Ｑ＞５， ······················· ， 就是说，ＰＫ的系数是（Ｑ/４），因为Ｑ可以无限增大，所以，（Ｑ/４）的值也可以无限增大，同时，ＰＫ自身的值也可以无限增大，在公式“ＰＫ阶段的理论下限值 ＝ （Ｑ/４）·ＰＫ－Ｋ”中，和“（Ｑ/４）·ＰＫ”相比，“Ｋ”值也是一个微小的数值，因此，ＰＫ阶段的理论下限值将是一个可以无限增大的数值，即当Ｎ值充分大时，偶数２Ｎ能写成的两个素数之和有多少组的数值也将无限增大。 把上面讲的内容概括一下，当Ｎ＜４２１时，我们可以直接把其中的任意一个偶数２Ｎ写成两个素数之和；当Ｎ＞＝４２１时，即当ＰＫ＝Ｐ１０＝２９时，所有的偶数２Ｎ至少都可以写成３组两个素数之和；当Ｎ＞＝６８５时，即当ＰＫ＝Ｐ１２＝３７时，所有的偶数２Ｎ至少都可以写成８组两个素数之和；从Ｐ１２阶段以后，即当Ｎ＞＝６８５时，永远有理论下限值＞ＰＫ/２－Ｋ；从Ｐ３１阶段以后，即当Ｎ＞＝８０６５时，永远有理论下限值＞ＰＫ－Ｋ，而ＰＫ/２－Ｋ和ＰＫ－Ｋ都是越来越大的数值（一个质数自身的数值ＰＫ及其平均递增值远远大于其排列顺序的序数值Ｋ及其递增值１，更何况ＰＫ的系数Ｑ/４也在无限增大）。因此，我们可以 绰绰有余地 得出结论： 任一大偶数２Ｎ至少都可以写成１组两个素数之和，即哥德巴赫猜想真。 十四，这个结论适用于充分大的大偶数２Ｎ。这里，又要强调要学会唯物辩证地思维。说“充分大是一个界线”，这样讲是对的。但要讲“大于这个界线的数则为充分大，在数学中，这个界线有时可以算出来，有时算不出来。”就欠妥了。因为这个界线不是固定不变的，否定这个界线的存在是唯心主义，把这个界线看做是固定不变的是形而上学。这个界线存在于充分大和任意大的对立（唯物主义）关系（辩证法）之中。这是唯物（充分大和任意大两个概念的对立性）辩证法（充分大和任意大两个概念的同一性）的思想方法。说“可以算出来”，是走了 绝对对立 的形而上学思维方式的极端（即把界线看做是固定不变的），说“算不出来”，是走了 绝对同一 的唯心主义辩证法思想方法的极端（因为这个界线不存在“算”的问题，说“算不出来”是因看不到可变的界线而否定了界线的存在）。对于唯物辩证地思维来讲，就和无限和有限是既对立（ 相对对立 的唯物主义）又同一（相对同一 的辩证法）一样，充分大和任意大两个概念有区别（ 相对对立 的唯物主义），但又同一 （ 相对同一 的辩证法）。可以这样讲，因为质数无穷，所以，对于（有限的）任意大的大偶数２Ｎ来讲，必定有与之对应的无须确定其具体数值的质数ＰＫ和ＰＫ＋１存在，使得我们可以确定与之对应的（ＰＫ＋１2＋１〕/２ ＞ Ｎ ＞＝〔（ＰＫ2＋１）/２〕范围之内的任意大的大偶数２Ｎ至少可以写成１组两个素数之和（即上述哥德巴赫猜想真的结论），而（无限的）充分大的大偶数２Ｎ是无数个（有限的）任意大的大偶数２Ｎ之总和（两个概念的同一性），因此，哥德巴赫猜想对于充分大的大偶数２Ｎ来讲也成立（绝对真理是无数相对真理之总和）。 十五，解决哥德巴赫猜想问题的数学意义是改正了数学有史以来基本理论中的上千年的理论错误，明确了素数和合数两个基本概念的含义，澄清了基本概念之中的思想混乱，将有利于数论研究。数学之外的意义是人们通过解决哥德巴赫猜想问题有助于学习和掌握（马克思主义）唯物辩证法思想方法，而（马克思主义）唯物辩证法思想方法是思想劳动的工具，可以用于改造自然界和人类社会。数学之外的意义要大于其自身的数学意义。 没有（马克思主义）唯物辩证法思想方法，就不能解决哥德巴赫猜想问题，而通过解决哥德巴赫猜想问题（的启发），又可以普及和推广（马克思主义）唯物辩证法思想方法。 总结 哥德巴赫猜想问题是由于人们的形而上学思维方式（绝对对立的观点）和唯心主义辩证法思想方法（合二而一的观点）而把简单的问题复杂化了，而且，复杂得离奇，竟然把思想垃圾当做了科研成果（出于维护既得利益之考虑，承认科研成果是思想垃圾需要勇气和时间。但时间不会太长，连罗马教皇都不得不在真理面前低头，何况现在有了思维科学，就是马克思主义哲学，容不得把思想垃圾当做科研成果的历史闹剧的局面长期存在）。唯物主义辩证法思想方法（一分为二的观点）可以厘清思路，化解复杂，回归简单。简单到了这种地步： 由于用唯物辩证法思想方法（＝“过人的思维能力”）认识到了在ＰＫ阶段，前Ｋ个质数由素数嬗变为合数，所以，在偶数２Ｎ所能写成的不同的Ｎ组两个自然数之和之中有多少组合数和是可以用公式来计算的（因为数理合一了），因此，Ｎ组和中有多少组两个素数之和也可以用公式来计算（＝Ｎ－合数和的组数），而且，根据两个素数之和与合数和的对立关系（多计算１组合数和就等于少计算了１组两个素数之和，反之，少计算１组合数和就等于多计算了１组两个素数之和），可以确定计算值和实际值的误差范围是在“±（Ｋ－ｍ）”之间，其中，ｍ表示Ｎ中含有的＜＝ ＰＫ 的不同的奇数质因子的个数。哇塞，问题就是这么简单，被渲染得神乎其神的哥德巴赫猜想问题原来是一道一个普通的中学生也能解决的初等数学题！ 从哥德巴赫猜想问题的产生到得以解决的二百多年的艰难历程中可以得出结论： 科学的劲敌是我们自己头脑中的形而上学思维方式（绝对对立的观点）和唯心主义辩证法思想方法（绝对同一的观点，即合二而一的观点）。就是说，科学需要批判地思维。 科学是辩证思维方式（相对对立的观点）和唯物主义辩证法思想方法（相对同一的观点，即一分为二的观点）的产物。 正如列宁所说：“遵循着马克思的理论的道路前进，我们将愈来愈接近客观真理；而遵循着任何其他的道路前进，除了混乱和谬误之外，我们什么也得不到。” ２０１１年１０月初完稿于北京西山，此前文稿作废。撰稿人：齐克家。手机：１３２６０２５０６５０。 地址：北京市海淀区台头村２８号。邮编：１００１９４。信箱：３８６７２１１９＠ｑｑ．ｃｏｍ 弯老师：你好！ 你在回信中坦率地讲“我是赞成传统定义的。你的理论我不太了解。”对于你能回信，并且这样坦率，我很高兴。这里，我把我的想法讲一下，也是便于你对我的理论能够进一步有所了解。 我认为，传统定义把素数和合数看做是绝对对立，又把素数和质数混为一谈，都是错误的。这是人们的形而上学思维方式造成的。世界上没有不变的事物，数字也一样，是可变的。因此，人们应该用可变的观点看问题，这就叫做辩证地思维。相反，用不变的观点看问题，就叫做形而上学思维方式。因为客观世界不是静止的，而是处在不断的变化之中，所以，用静止的、不变的观点即形而上学思维方式看问题，就不能正确认识客观世界、不能正确认识客观事物。但由于人们身边的事物处在相对静止的状态，例如，山脉、树木、甚至人，在相对较短的时间内看不到它的变化，所以，人们养成了形而上学思维习惯。这种思维习惯把相对静止状态的事物看做是绝对不变的事物，即把身边的一切事物都看做是绝对不变的。传统的定义就是这样形成的。但由于老师是这样讲的，书本上也是这样写的，千百年来因循守旧，没有人产生过疑问，也没有人质疑过，所以，一直延误到现在。我是北京公交的退休职工，业余爱好哲学。通过对哲学的研究，我发现了数学有史以来上千年的理论错误，即素数和合数的定义是错误的，是形而上学思维方式的产物。传统的定义就因为这个错误而导致数理分裂（一个质数的２倍、３倍、４倍、５倍、６倍、············都是合数，但它的１倍却是素数），哥德巴赫猜想问题也因此错误而无解。数理分裂表明了传统的定义不科学，违反了“事物的本来的辩证法”。我重新定义了素数和合数。根据新定义，不仅一个质数的２倍、３倍、４倍、５倍、６倍、············都是合数，它的１倍也是合数，由此可见，新定义是科学的，因为数理合一了。而哥德巴赫猜想问题也因数理合一而可以迎刃而解。我论证了哥德巴赫猜想问题是初等数学问题，不是高等数学问题（见文稿）。因此，对于业余数学爱好者来讲，只要具有中学生的文化水平就能解之。有的数论专家说什么必须“先学好解析几何再来证明哥德巴赫猜想”，说什么“应该有大学数学专业的毕业生的知识水平，并将已有的文献都看明白了”才能证明哥德巴赫猜想。甚至说，“连这么大的一个天才（指２００６年数学菲尔茨奖获得者之一的陶哲轩）都没有做出来，所以，我劝大家不要做这件事，现在不是做这个证明的时候”云云。（见《科学时报》２００９年７月２日Ａ３版面）。这样讲，是想当然，是毫无根据的臆想、臆说、臆测和臆断，其结果，只能是把哥德巴赫猜想问题打入冷宫，封杀哥德巴赫猜想问题。而数论专家之所以这样讲，怕是不愿意看到别人破解哥德巴赫猜想，其原因，我不想在此多讲了。 解决哥德巴赫猜想问题是我研究哲学的结果，可以说是意外结果。这句话，是我在给通讯员罗海峰的一封信中讲的。 下面，把此题的两个要点讲一下。 第一个要点问题是素数和合数是怎样产生的，及其意义。 在人类历史的进程中，由于生产力的提高，社会财富的积累，出现了分配的需要。一定数量的财富（或其它东西），能不能平均分成若干份，就成了人们思考的问题。能够平均分开的数量，叫做合数，分不开的数量，就叫做素数。因此，就其意义来讲，能够分开的数，是合成数。合成数也叫做复合数，简单地称之为合数。分不开的数，是单纯数。单纯数也叫做单一数。简单地称之为素数。质数的意义是数的本质，质数没有对立的概念，只有质数和非质数的区别。而素数有对立的概念，素数和合数是对立的概念。在现在的数学理论中，是错误地把质数和非质数的区别当做了素数和合数的定义。 举例来讲，如果把一定数量的东西分成一份，等同于分不开，此时，即当除数是只有一个１时（以此为前提条件），在自然数列中，所有的自然数都是素数（都是分不开的数，分成一份，等同于分不开）。就是说，素数的存在是有条件的，这个条件，就是看有几个除数，用现实生活中的语言来讲，就是看有几个人来分，或分成多少份。当除数有３个，分别是１、２、３时（以此为前提条件），此时,２和３是分得开的数（２能分成两份，３能分成３份），所以，此时的２和３都是合数，而５、７、１１都是分不开的数（这３个数同样都是既不能分成两份，也不能分成３份）,所以,此时的５、７、１１都是素数。而当条件变成除数更多了时，比如，前１１个自然数都是除数时，此时，５、７、１１都变成能够分得开的数，即此时的５、７、１１全都变成合数了。这里，只是简单地讲一下，文稿中讲得比较详细，可以看一下。 第二个要点问题是我的解法，这里，只是简单地讲一下． 任一大偶数２Ｎ都可以写成不同的Ｎ组两个自然数之和，用上下相对的两个自然数表示其中的１组和，则有如下表达式（下面称之为基础表达式，或称之为横式）： １， ２， ３， ············ ，Ｎ－１， Ｎ， ２Ｎ ＝ ２Ｎ－１ ，２Ｎ－２，２Ｎ－３， ············ ，Ｎ＋１， Ｎ。 在这Ｎ组和中，由于数理合一，所以，有多少组合数和（在两个加数中，只要至少有一个加数是合数，就把这组和称之为合数和）是可以计算的。用Ｎ组和减去可以计算的合数和的组数，就是两个素数之和的组数，即哥德巴赫猜想的个数。 文稿中所说的“代数和的形式”的具体内容是：用Ｎ减去所有只含有一个质因子的合数和的组数，再加上只含有两个不同的质因子的合数和的组数（因为此前的计算有重复），再减去只含有三个不同的质因子的合数和的组数（因为此前的计算有重复），············，最后一项是加上或减去ｋ个质因子的合数和的组数（因为此前的计算有重复），最后一项之前的符号是负１（－１）的ｋ次方（ｋ表示不同的质因子的个数）。在加上或减去若干个不同的质因子的合数和的组数时，又包含有多种情况，即文中所讲的把Ｋ－１个奇数质数分成两类：一类是Ｎ中含有的质因子，假定有ｍ个，另一类不是Ｎ中含有的质因子，假定此类质因子有ｎ个，则有１＋ｍ＋ｎ＝Ｋ。上述的若干个之中包括由１，ｍ和ｎ三个部分所构成的各种组合形式。这个“代数和的形式”是因式连乘积形式的公式的推导过程，在推导过程中，需要运用排列组合运算符号，运算的结果就是因式连乘积形式的公式。我这里是用语言文字来叙述，没有用数学表达方式来表达“代数和的形式”，是因为电脑操作上的技术原因，特此说明。 | 
