陶哲轩的Career advice

数学不仅是分数、考试和方法。作为一个大学生，需要重视成绩和考试，这些考试经常更强调记住技术和理论，而不是对实际概念的理解，或是智力以及直觉。然而，当你进入研究所学习之后，你会发现一种更高层次的学习（另外更重要的是——做）数学，它要求的能力超过仅仅会记忆和学习，或摹仿一个已有的论证或处理过的例子。这经常要求你抛弃（或至少修改）很多大学时期的学习习惯；比起简单的关注于智力测试如考试，更多的需要主动地学习和实践来提高你自己的理解。同样，在大学及以下的阶段主要教授成熟和优美的数学理论，大部分是几十年或几百年以前做出的，而在研究生阶段你将开始接触前沿，正在发展的东西——它也许会与你在大学时习惯的东西显著不同，同时更有趣。
2.数学不仅是严格和证明。对大学生，老师经常首先以非正规、直观的方式教授数学（比如按照斜率和面积的方式描述导数和积分），然后才说到要恰当的处理这些东西，需要一种精确和正式的多的方式来处理和思考这个问题（比如使用epsilon delta来描述导数）。知道如何严密的思考当然极其重要，因为这给了你避免很多常犯错误的规范，同时消除很多误解。不幸的是，这无意中使得“模糊的”或“直觉的”思考（例如启发性的推理，从例子中判断性的推断，或其他背景如物理的类比）因为“非严格”而遭到轻视。人们时常最终放弃开始的直觉，而只能从正式的层面上处理数学。严格的要点并非消灭全部的直觉；而是应该被用来消灭有害的直觉，同时澄清和提高好的直觉。只有结合严格的形式化和好的直觉，人们才可以处理复杂的数学问题；人们需要前者来正确的处理细节，后者来正确处理大的图像。缺乏其中一者，你将费尽时间的踉跄于黑暗之中（可能有教育意义，但是得不偿失）。所以当你完全适应了严格的数学思维，你应该重新尝试在这个问题上使用直觉，并且使用新的思维技能来测试和提炼这些直觉而不是抛弃他们。理想的情况是每个启发性的论证都能自然的暗示它对应的严格证明，反之亦然。
3.努力工作。只依赖于聪明在最后时刻完成事情也许会暂时有效，但总体说来在研究生以及更高层次上这不会有用。为了在数学上达到一定水准，你不仅需要思考，还需要读和写大量的东西。与舆论相反，数学突破不仅（或主要）靠天才的“我发现了！”瞬间的推动，而实际上很大程度是辛勤工作的产物。当然这些工作由经验和直觉指引。困难经常在细节之中，如果你觉得理解了一个数学领域，那你应该已经阅读了所有相关的文献，至少写出了这个领域状况的概要，并且最终写出这个主题的完整和详细的处理方法。如果你可以仅仅构思出主要的思路而让次要的凡人来补充细节，那就太舒服了，但是，相信我，数学中决无此事。经验表明只有细心集合了大量细节和其他论据（或至少证明思路）以支持你的“主要的思路” 的文章才值得人们花时间关注。如果创造者都不愿意干这个，那么很可能没人会愿意做。
4.享受工作。某方面上这是上一条的推论。如果你不喜欢你的工作，那就很难投入足够的精力，从长期看持续投入精力是必要的。只因为时髦而从事一个领域远不如从事你喜欢的数学领域。
5.不要依据热门或闻名程度而作职业决定。进入一个领域或一个系只因为它热门并非好主意，关注领域中最著名的问题（或数学家），只因为他们的名气亦非良策——坦白说，就数学整体而言没有那么著名或者热门的东西，也不值得把追求这些当作你的首要目标。任何热门都很可能竞争激烈，只有拥有最坚实基础（特别的，大量领域中不那么热门方面的经验）的人能够有所成就。未解的著名问题几乎不可能“ab nihilo”解决。你需要先花很多时间在简单的（同时不著名）模型问题上，获取一些技术，直觉，中间结论，背景，和文献，从而找到有效的方法剔除无效的方法，然后才可能有机会解决领域内真正的大问题。（有时候，有些著名问题较容易的解决了，那只是因为拥有适当工具的合适的人以前没有注意到这个问题，但是对于研究很透彻的问题一般不会这样——尤其是那些已经有很多“不行”理论和反例的问题，这些理论和反例完全排除了一些着手的策略。）因为类似的原因，你绝不应该以得奖或受到赏识为从事数学的主要原因。从长期来看，更好的方式是去做好的数学和对你的领域有所贡献，最终奖励和赏识自然会来的（实至名归）。
6.学习和再学习你的领域。数学研究中（包括你选择的专业）学无止境。例如我仍然在学习基础调和分析中的惊人之处，而我写出此领域的论文已经十年之久了。只因为你知道一条基本引理X及其证明，你不应低估这条引理的价值——你能找到替代证明吗？你知道为何需要那些假设？已有了哪种推广，或是作为猜想的推广，抑或推广的思路？对某些应用，X是否有较弱的或是简单的形式？X在模型例子中起到何种作用？何时适合使用X？X能解决何种问题，而对哪些无能为力？在其他领域有哪些相似的引理？X是否可以归入一个更广泛的纲领？对你的领域作讲演尤其有用，或者写下讲稿或其他的说明材料，即使只为你个人服务。通过内心的速记，你最终能够吸收即使是很难的结果，这不仅是你能够轻松使用它们，而且可以省下精力来学习更多的东西。
7.不要害怕学习你的领域外的东西。人们普遍有数学恐惧症。不幸的是，有时专业数学家也有数学恐惧症（及其远房亲戚——数学势利）。如果为了在你的问题中取得进展需要学习其他数学领域，这是件好事——你将拓宽掌握的数学领域，同时你的工作将变得更有吸引力，不论是对你领域内的人还是对其他领域的人。如果一个数学领域很活跃，那就值得去了解它为何如此引人，人们都在做些什么问题，有些什么牛或者令人惊讶的见解（insight）、现象、结果。那样的话，如果你碰到了类似的问题、障碍或现象，你就知道从哪去找解决方法。
8.了解你的工具的局限性。数学教育（和研究论文）很自然的倾向于关注有效的技术。但是同等重要的是，知道你的工具何时失效，从而避免在从开始就注定失败的方法上浪费时间，转而寻找解决问题的新手段（或寻找新问题）。因而，知道一些反例，或容易分析的典型状况，就非常重要，同样重要的是知道你的工具能够处理的障碍和没希望解决的障碍。同样，你也应知道在什么情况下其他方法可以替代你选择的工具，而各种方法之间的优劣各是什么。如果你把最喜欢的工具视为一种“魔杖”，一点就把问题神奇的给解了，可你却没有别的解法或其他方法来理解这个解答，这就表示你需要更好的理解这种工具（及其局限性）。
9.了解其他数学工具的能力。这是上一条的推论。当听报告或读论文时，你会发现，有一些你感兴趣的问题是用你不熟悉的工具解决的，而你有的工具好像对这些问题无能为力。这时候，你一方面应该考虑你的方法是否确实能够解决类似的问题，另一方面应该了解那种工具为何有效——例如，寻找那种工具有不凡效力的最简单例子。一旦你比较了新旧工具间各自的长处和不足，以后当新工具可能有效的时候你就能想起它来。如果做了足够的练习，你就将把它永久装入你的口袋。
10.默问自己问题——并且解答它们！你学数学的时候，不论从书还是报告中，通常只看到最后结果——非常聪明、优美无暇的表述了一个数学主题。然而，发现新数学的过程远为凌乱，充满朝着幼稚的、徒劳的或没有意义的方向的追寻。虽然我们更愿意忽略这些失败的探索，但实际上它们是人们获得更深理解必经的过程，并且（通过排除的过程）最终对准正确道路前进。所以你不要怕问自己“愚蠢的”问题，质疑一个领域的传统观念。偶尔回答这些问题会带来惊人的结论，但更多会说明传统观念存在的道理，这也很值得了解。例如，对某个标准的引理，你可以问去掉某个假设会发生什么，或试图加强结论；如果经常用方法X证明一个简单的结论，你可以看看是否用方法Y替代证明；新的证明也许没有原来的漂亮，或根本不行，但却可以反映X和Y相对的能力，这也许有助于证明不那么标准的引理。
11.怀疑你自己的工作。如果你出乎意料不费力气的解了一个问题，而且你也不明就里，那你应该以怀疑的眼光来分析这个解法。特别的，这个方法也许能够证明更强的结论，而这个结论已知是错误的，那就说明此方法有问题。类似的，当你想去证明某个很强的断言，你也许应该先去找一下反例；不论是找到一个，这就节约了大量时间也许还有发表它的价值，还是遇到了一些障碍，这会提示你需要做什么来证明这个断言（特别的，它可以“找到需要消灭的敌人”）。实际上，你也应该用这种怀疑主义对待其他数学断言；至少它们有助于你理解为什么这个断言成立和它有多强。
12.有远见Think ahead。人们很容易陷入工作中的细节而忘记正在做的工作的目的；所以人们应该常常停下来回想为什么自己在追求这个特定的目标。例如，如果你正试图证明一条引理，问问你自己——如果证出来的话，那可以怎么用这条引理呢？引理的哪个部分对你最重要？较弱的引理是否足够？引理是否有更简单的形式？是否值得尝试去掉引理中的一个假设，应用中这条假设是否难以满足？通常，在证明引理之前，你并不准确清楚引理的具体描述，但是即使还没证明所有的细节，你也应该能从引理的形式中了解一些有关引理具体描述的东西。这些问题可以帮助你在花费过多时间证明引理前先把引理陈述为最优形式，从而更有效的利用时间。类似的原则也可应用到更小的尺度（如证明小的断言，或做冗长的计算）和更大的尺度（如证明一个定理，解一个问题，或探索一个研究目标）。
13.参加报告和会议，包括那些不与你的工作直接相关的。现代科学更多的是协作行为而不是个体行为。你需要知道其他领域的发展状况，和其他数学家的兴趣所在；这经常带给你的工作有价值的观点（perspectives?）。你还需要知道那些领域内和相邻领域的名人，并且向同事们介绍你自己。这样当你发现自己的工作与其他领域有新的联系时，或者需要同其他数学家合作时，就能够有所准备。是的，有人可以用多年时间独自解决一个大问题——但他必须先与其他数学家讨论，学习所有解决这些问题所必需的技术、直觉和其他背景。不要期望能够100%理解任何报告，尤其是你不熟悉的领域；只要你学到了一些东西，没有白白费力，那么下回你去听那个领域的报告就会理解更多。（One can always bring some of your own work to quietly work on once one is no longer getting much out of the talk.）？
14.到不同的地方学习。到与大学时不同的地方读研究生是个好主意，同样做博士后也应该到另一个地方。即使最好的数学系也有弱点，所以到不同的数学系会扩展你的知识并且使你经历不同的数学文化。此外，换学校会帮助你完成从大学生到研究生或从研究生到博士后的心理转变。
15.与你的导师交流。这是不言自明的——导师对你的状况非常了解，并且是指导你的最佳人选。如果情况变成你躲着导师或是导师躲着你，那就非常糟糕了。特别的，你要注意导师的时间表，同时导师也应该注意你的时间表，和你正在干什么；若你想放长假要事先通知导师。如果导师不在，你应该经常与其他数学家讨论数学问题，最好是有经验的数学家。
16.主动。另一方面，你不应该只依靠导师；如果你想学、做或写些东西，尽管去做（虽然有时其他东西更优先，如写论文，会暂时更重要）。查阅图书馆和互联网，与其他研究生或教员讨论，自己读论文和书，等等。
17.有耐心。任何给你的问题一般都需要几个月的时间才能有令人满意的进展。虽然有些简单问题几周内就能解，但这只是特例。因而几个月没什么进展是很正常的；可是通过耐心的去掉不好的进攻方向，你把东西都准备好了，所以当突破出现的时候，就可以很快推断这个问题。在有些情况，你（或者这个数学领域）只是还没准备好处理这个问题；有时放开这个问题（但不是完全忘掉），增进一些其他相关问题的技能，过些年再回到原来的问题经常是最佳策略。顺便说一句，多数问题主要靠这种耐心、深入思考来解决；数学中极少有那种“找到了”的瞬间，所以不要因为你没有碰到这种事而灰心（我就没碰到过）。
18.有灵活性。数学研究本质上不可预测——如果我们预先知道答案是什么和怎么去做的话，那就不叫研究了！所以人们会被带到不可预测的方向，最后有时你会发现更有趣的新问题或数学领域。因而，虽然人们应该有长期目标，但却不应该过于死板，这些目标应该不断随新进展而更新。一个推论是你不应该只因为一个研究员而做职业决定（如去哪个大学），因为那个研究员可能会转走，或者你的兴趣会改变。另一个推论是你不应该在有可行方案之前宣布你要解决一个有名的问题，因为如果那个问题比预期更难的话你就很难优雅的放弃那个问题而转入其他多产的方向。这点在基金申请中同样重要；说你想解决著名问题X或你想发展或使用著名理论Y并不能打动基金审批者，除非你有相应的计划（例如一些较容易的未解问题作为中间目标milestones）以及一套被证实的进展纪录a proven track record of progress。
19.敬业。认真负起你的职责；在朋友间轻率没有问题，但对同事确是烦人，尤其是那些忙于类似职责的人。写文章也要认真负责；你的文章将永远记载在期刊上，而且一些今天看起来聪明的东西也许会在以后极大的使你难堪。敢于下断言是好的，但是过于self-promoting或喜欢竞争一般来说会起副作用；如果你的工作好，这会不言自明，并且最好把你的精力用来创造新数学而不是用来与老的数学争辩。不要觉得研究中的挫折（如文章被拒，或发现了一个错误）是针对个人的；一般会有针对这些问题的建设性的解决方法，从而使你成为更好的数学家，并且避免这类问题。在文章中大度的确认别人的工作、致谢和处理署名顺序（但要保证归属正确）。写作的语气要客观和专业；要尽量避免个人看法（例如一个问题、文章或作者的重要性），如果有必要的话要清楚标出来是个人看法。在你的个人主页上，把个人的东西与职业的东西分开；同事们会访问你的主页来下载论文、预印本、联系方式和简历，同时可能对你的业余爱好和opinions并不感兴趣。（相反的，朋友们可能对你的研究不感兴趣。）
20.为你的听众着想。这主要针对论文，但也适用于报告和seminars。另一方面，数学中最重要的事情是正确地得到结果。然而，你也需要真诚地努力去与你的听众交流这些结果。讲解得好也很困难——有时几乎与做好研究一样难——而有人也许觉得只要证明了结果，他们并没有义务去解释它。而这种态度会毫无疑义的激怒潜在的最强的支持者或你工作的developers，最终带来副作用。所以，你应该认真思考诸如论文的逻辑结构、符号的选取和布局，以及在引言以及其他章节里的启发性的、不正式的、motivational和总体的概括性的材料。理想的情况下，文章中的每一部分，读者应该知道直接的目标是什么，长期目标是什么，核心论断和关键步骤会在哪里证明，符号、引理和其他引进的东西与这些目标关系何在，明白这些论证上下文的含义。（简单说来，一篇好的论文应该告诉读者“为什么”和“在哪里”而不仅是“如何”和“什么”。）现实中人们往往达不到这些目标，但仍有一些不需损害结果就能增加文章可读性的方法。有时候可以把论文搁到一边一段时间，直到你忘掉那些细节，然后从新的角度（更接近你的典型听众）重新读它；这样经常可以使有意义的结果显现出来从而可以很容易的写出来。
21.不要过早的沉迷于一个“大的问题”或“大的理论”。这是数学中的一个十分危险的职业病——一个人集中注意力于一个领域中的一个非常难的问题（或一个大一统的理论），排斥其他数学活动，而这时他还没真正准备好（既包括数学知识也包括他的事业方面）投入如此多的研究时间。当他开始忽略其他任务（比如写和发表“次要的”结论），希望最终解决主要问题或建立革命性的新理论这种“大回报”来补偿其他方面的缺乏进展，这就是一个强烈的信号表明他应该重新平衡要优先考虑的事了。虽然人们像上面所说的那种着迷的方式解决了一些主要的问题，提出了一些重要的理论，但这种成功仅出现在数学家能够a.已经证明在这个领域可以写出重要论文, 并且b.工作有保障（例如终身职位）。如果你还不具备a和b，或者你的思路仍有明显不确定性的部分（或你的大理论还没有明确的和惊人的应用），我强烈建议一种更平衡的方式：记着这个大问题或理论，有时间想想它们，但是把大部分时间花在更可行的“触手可得的果子上”，这能够增长你的经验，数学能力，和表明你已经准备好进攻更艰巨的目标的信用。
22.演讲与论文不同。做好的演讲是很难的，尤其是刚开始职业生涯时。人们应该避免把演讲当成论文这种普遍的错误，放入很多细节、技术和形式化。（尤其报告决不应该只是一些研究论文的直接拼凑！）除了非常熟悉你的工作的人，这种演讲几乎不可能听得懂，尤其是（与阅读论文不同）听众很难想起四五张幻灯片之前定义的符号和做出的注解。与之相反，演讲应该从更高的层面上和非书面的概观来补足论文中的内容，尤其是对那种更正规和标准的论证；这使你能够引导听众的注意力到更有趣和重要的部分上去，你可以更细致的描述这些部分。一个好的报告应该对“非专家”友好，可以在最初的几分钟讲一些基本的例子或背景，从而他们不至于一开始就完全迷惑了。实际上，即使是专家也会愿意听到对背景材料的回顾；即使这些材料都是旧的，但是有时你会有一种新的视角，这就有意义了。同时，如果你把背景材料部分组织合理，你对新材料的处理就可以更加容易和自然地被听众接受。一个特别有效的方法是在讲新定理Y的证明之前先回顾标准定理X的Y形式的证明，然后证明Y的时候只需要使用重复证明X的步骤，同时做一些关键改变，我们要把这些关键点突出出来。（当然，如果可以的话，你应该把X的证明留在黑板或者屏幕上。）这样经常效果更好，甚至可以更快，比起为了节约时间跳过X的证明而直接开始证明Y的方法。
23.使用废纸篓。不是每个想法都会带来成功，也不是每个第一份草稿就能构成最终草稿的一个好模板。即使对最好的数学家也是如此。有些时候事情就不像最初计划的方向发展，你需要缩减计划，调整计划，或放弃计划；有时你发现一个耗费了你的很多时间的引理对这篇论文没有什么作用，需要不情愿的删掉，或者放到以后的论文中去；也有时你发现写了一半的论文的结构不好，需要重新来写。（说实话，对一些我最自豪的论文，因为一次或多次重写，使得你几乎从中完全看不出最初的草稿。）你必须明白什么时候要有耐心和持之以恒，什么时候应该注重实效；在死胡同中顽固的不停工作不是使用时间的有效方式，同时如果把你工作中最后一点的一点鸡肋都发表出来，那就很难达到你对自己作品所期望的质量。当然，数字时代保存自己全部的工作更加容易，你也应该在大修论文之前备份一份这篇论文。甚至使人尴尬的错误工作（我也有一些这种错误的工作，幸运的是在发表之前就被发现了）也应该保存起来，因为你不可能知道是否能从中挽救出一些东西，同时记录下错误有助于避免以后再犯。
24.写下你完成的工作。在早期职业生涯有许多次，我读到、听说或者偶然发现一些精巧的数学技巧或论证，并且以为自己完全理解了，所以不需要把它记录下来；但是一段时间，比如6个月以后，当真正需要这个技巧的时候，我却完全推不出来了。终于我下定决心记录下（在电脑上更合适）所有遇到的有趣论证的概略——不需要达到出版水平，但是详细到使我可以安全的忘掉细节，并且在需要的时候可以从概略中容易的复原论证。我建议你也这样做，因为这样做你就可以永远找到这个论证，除了这个显而易见的好处外还有其他几个好处。首先，你可以练习数学写作，包括技术层面（比如学习使用TeX）和如何陈述才能使人容易理解。其次，这可以检验你是否只是从表面上懂得了这个论证。再次，这样可以减少要记忆的东西；你不再需要记住论证的精确细节，从而可以将记忆力用于学习新的问题。最后，你写的东西可能最终有助于以后写的论文、讲稿或研究计划。
25.公开你的工作。随着万维网，尤其是arXiv之类的预印本服务器的出现，人们没有借口不把自己的预印本放在网上，使得对你工作感兴趣的人可以找到它。（大部分期刊也在网上可见，但是鉴于出版往往会比预印本晚以年来计算的时间，把预印本放上网仍然有好处。）特别的，你的工作将出现在那个领域搜索引擎的结果中（我曾经这样遇到过很多篇有趣的论文）。这将有助于提升你和你的工作在同事中的知名度，并且可能带来未来的合作，或其他学者在你的工作之上继续研究（同时引用你的论文）。你可能会担心公开自己的工作，可能会给这个领域带来太多的竞争，但是如果其他人对这个领域有如此之大的兴趣的话，这种竞争迟早会到来的，而公开自己的工作至少可以带来优先权（提交给arXiv之类的服务器，预印本有可靠的时间戳）和be acknowledged in citations。当然，如果可能的话，你应该使预印本达到可以发表的质量，虽然这条要求不像对于要发表的论文那么重要，因为可以很方便的更新预印本。至于是否将预印本email到本领域的其他专家，我只会在他肯定会感兴趣的情况下这样做（例如，它解决了他们提出的某个猜想）。否则，他可能太忙（或者已经对这个问题不感兴趣了），所以不能详细的读你的文章，或者偶然的，他会当你在推销，或者认为你自高自大。大多数情况下，在网上公开你的文章已经足够了；好几条途径可以使你的工作为人所知（如审稿过程、会议、word-of-mouth、预印本邮件列表），而积极推销论文一般没有什么额外的好处。数学不仅是分数、考试和方法。作为一个大学生，需要重视成绩和考试，这些考试经常更强调记住技术和理论，而不是对实际概念的理解，或是智力以及直觉。然而，当你进入研究所学习之后，你会发现一种更高层次的学习（另外更重要的是——做）数学，它要求的能力超过仅仅会记忆和学习，或摹仿一个已有的论证或处理过的例子。这经常要求你抛弃（或至少修改）很多大学时期的学习习惯；比起简单的关注于智力测试如考试，更多的需要主动地学习和实践来提高你自己的理解。同样，在大学及以下的阶段主要教授成熟和优美的数学理论，大部分是几十年或几百年以前做出的，而在研究生阶段你将开始接触前沿，正在发展的东西——它也许会与你在大学时习惯的东西显著不同，同时更有趣。
2.数学不仅是严格和证明。对大学生，老师经常首先以非正规、直观的方式教授数学（比如按照斜率和面积的方式描述导数和积分），然后才说到要恰当的处理这些东西，需要一种精确和正式的多的方式来处理和思考这个问题（比如使用epsilon delta来描述导数）。知道如何严密的思考当然极其重要，因为这给了你避免很多常犯错误的规范，同时消除很多误解。不幸的是，这无意中使得“模糊的”或“直觉的”思考（例如启发性的推理，从例子中判断性的推断，或其他背景如物理的类比）因为“非严格”而遭到轻视。人们时常最终放弃开始的直觉，而只能从正式的层面上处理数学。严格的要点并非消灭全部的直觉；而是应该被用来消灭有害的直觉，同时澄清和提高好的直觉。只有结合严格的形式化和好的直觉，人们才可以处理复杂的数学问题；人们需要前者来正确的处理细节，后者来正确处理大的图像。缺乏其中一者，你将费尽时间的踉跄于黑暗之中（可能有教育意义，但是得不偿失）。所以当你完全适应了严格的数学思维，你应该重新尝试在这个问题上使用直觉，并且使用新的思维技能来测试和提炼这些直觉而不是抛弃他们。理想的情况是每个启发性的论证都能自然的暗示它对应的严格证明，反之亦然。
3.努力工作。只依赖于聪明在最后时刻完成事情也许会暂时有效，但总体说来在研究生以及更高层次上这不会有用。为了在数学上达到一定水准，你不仅需要思考，还需要读和写大量的东西。与舆论相反，数学突破不仅（或主要）靠天才的“我发现了！”瞬间的推动，而实际上很大程度是辛勤工作的产物。当然这些工作由经验和直觉指引。困难经常在细节之中，如果你觉得理解了一个数学领域，那你应该已经阅读了所有相关的文献，至少写出了这个领域状况的概要，并且最终写出这个主题的完整和详细的处理方法。如果你可以仅仅构思出主要的思路而让次要的凡人来补充细节，那就太舒服了，但是，相信我，数学中决无此事。经验表明只有细心集合了大量细节和其他论据（或至少证明思路）以支持你的“主要的思路” 的文章才值得人们花时间关注。如果创造者都不愿意干这个，那么很可能没人会愿意做。
4.享受工作。某方面上这是上一条的推论。如果你不喜欢你的工作，那就很难投入足够的精力，从长期看持续投入精力是必要的。只因为时髦而从事一个领域远不如从事你喜欢的数学领域。
5.不要依据热门或闻名程度而作职业决定。进入一个领域或一个系只因为它热门并非好主意，关注领域中最著名的问题（或数学家），只因为他们的名气亦非良策——坦白说，就数学整体而言没有那么著名或者热门的东西，也不值得把追求这些当作你的首要目标。任何热门都很可能竞争激烈，只有拥有最坚实基础（特别的，大量领域中不那么热门方面的经验）的人能够有所成就。未解的著名问题几乎不可能“ab nihilo”解决。你需要先花很多时间在简单的（同时不著名）模型问题上，获取一些技术，直觉，中间结论，背景，和文献，从而找到有效的方法剔除无效的方法，然后才可能有机会解决领域内真正的大问题。（有时候，有些著名问题较容易的解决了，那只是因为拥有适当工具的合适的人以前没有注意到这个问题，但是对于研究很透彻的问题一般不会这样——尤其是那些已经有很多“不行”理论和反例的问题，这些理论和反例完全排除了一些着手的策略。）因为类似的原因，你绝不应该以得奖或受到赏识为从事数学的主要原因。从长期来看，更好的方式是去做好的数学和对你的领域有所贡献，最终奖励和赏识自然会来的（实至名归）。
6.学习和再学习你的领域。数学研究中（包括你选择的专业）学无止境。例如我仍然在学习基础调和分析中的惊人之处，而我写出此领域的论文已经十年之久了。只因为你知道一条基本引理X及其证明，你不应低估这条引理的价值——你能找到替代证明吗？你知道为何需要那些假设？已有了哪种推广，或是作为猜想的推广，抑或推广的思路？对某些应用，X是否有较弱的或是简单的形式？X在模型例子中起到何种作用？何时适合使用X？X能解决何种问题，而对哪些无能为力？在其他领域有哪些相似的引理？X是否可以归入一个更广泛的纲领？对你的领域作讲演尤其有用，或者写下讲稿或其他的说明材料，即使只为你个人服务。通过内心的速记，你最终能够吸收即使是很难的结果，这不仅是你能够轻松使用它们，而且可以省下精力来学习更多的东西。
7.不要害怕学习你的领域外的东西。人们普遍有数学恐惧症。不幸的是，有时专业数学家也有数学恐惧症（及其远房亲戚——数学势利）。如果为了在你的问题中取得进展需要学习其他数学领域，这是件好事——你将拓宽掌握的数学领域，同时你的工作将变得更有吸引力，不论是对你领域内的人还是对其他领域的人。如果一个数学领域很活跃，那就值得去了解它为何如此引人，人们都在做些什么问题，有些什么牛或者令人惊讶的见解（insight）、现象、结果。那样的话，如果你碰到了类似的问题、障碍或现象，你就知道从哪去找解决方法。
8.了解你的工具的局限性。数学教育（和研究论文）很自然的倾向于关注有效的技术。但是同等重要的是，知道你的工具何时失效，从而避免在从开始就注定失败的方法上浪费时间，转而寻找解决问题的新手段（或寻找新问题）。因而，知道一些反例，或容易分析的典型状况，就非常重要，同样重要的是知道你的工具能够处理的障碍和没希望解决的障碍。同样，你也应知道在什么情况下其他方法可以替代你选择的工具，而各种方法之间的优劣各是什么。如果你把最喜欢的工具视为一种“魔杖”，一点就把问题神奇的给解了，可你却没有别的解法或其他方法来理解这个解答，这就表示你需要更好的理解这种工具（及其局限性）。
9.了解其他数学工具的能力。这是上一条的推论。当听报告或读论文时，你会发现，有一些你感兴趣的问题是用你不熟悉的工具解决的，而你有的工具好像对这些问题无能为力。这时候，你一方面应该考虑你的方法是否确实能够解决类似的问题，另一方面应该了解那种工具为何有效——例如，寻找那种工具有不凡效力的最简单例子。一旦你比较了新旧工具间各自的长处和不足，以后当新工具可能有效的时候你就能想起它来。如果做了足够的练习，你就将把它永久装入你的口袋。
10.默问自己问题——并且解答它们！你学数学的时候，不论从书还是报告中，通常只看到最后结果——非常聪明、优美无暇的表述了一个数学主题。然而，发现新数学的过程远为凌乱，充满朝着幼稚的、徒劳的或没有意义的方向的追寻。虽然我们更愿意忽略这些失败的探索，但实际上它们是人们获得更深理解必经的过程，并且（通过排除的过程）最终对准正确道路前进。所以你不要怕问自己“愚蠢的”问题，质疑一个领域的传统观念。偶尔回答这些问题会带来惊人的结论，但更多会说明传统观念存在的道理，这也很值得了解。例如，对某个标准的引理，你可以问去掉某个假设会发生什么，或试图加强结论；如果经常用方法X证明一个简单的结论，你可以看看是否用方法Y替代证明；新的证明也许没有原来的漂亮，或根本不行，但却可以反映X和Y相对的能力，这也许有助于证明不那么标准的引理。
11.怀疑你自己的工作。如果你出乎意料不费力气的解了一个问题，而且你也不明就里，那你应该以怀疑的眼光来分析这个解法。特别的，这个方法也许能够证明更强的结论，而这个结论已知是错误的，那就说明此方法有问题。类似的，当你想去证明某个很强的断言，你也许应该先去找一下反例；不论是找到一个，这就节约了大量时间也许还有发表它的价值，还是遇到了一些障碍，这会提示你需要做什么来证明这个断言（特别的，它可以“找到需要消灭的敌人”）。实际上，你也应该用这种怀疑主义对待其他数学断言；至少它们有助于你理解为什么这个断言成立和它有多强。
12.有远见Think ahead。人们很容易陷入工作中的细节而忘记正在做的工作的目的；所以人们应该常常停下来回想为什么自己在追求这个特定的目标。例如，如果你正试图证明一条引理，问问你自己——如果证出来的话，那可以怎么用这条引理呢？引理的哪个部分对你最重要？较弱的引理是否足够？引理是否有更简单的形式？是否值得尝试去掉引理中的一个假设，应用中这条假设是否难以满足？通常，在证明引理之前，你并不准确清楚引理的具体描述，但是即使还没证明所有的细节，你也应该能从引理的形式中了解一些有关引理具体描述的东西。这些问题可以帮助你在花费过多时间证明引理前先把引理陈述为最优形式，从而更有效的利用时间。类似的原则也可应用到更小的尺度（如证明小的断言，或做冗长的计算）和更大的尺度（如证明一个定理，解一个问题，或探索一个研究目标）。
13.参加报告和会议，包括那些不与你的工作直接相关的。现代科学更多的是协作行为而不是个体行为。你需要知道其他领域的发展状况，和其他数学家的兴趣所在；这经常带给你的工作有价值的观点（perspectives?）。你还需要知道那些领域内和相邻领域的名人，并且向同事们介绍你自己。这样当你发现自己的工作与其他领域有新的联系时，或者需要同其他数学家合作时，就能够有所准备。是的，有人可以用多年时间独自解决一个大问题——但他必须先与其他数学家讨论，学习所有解决这些问题所必需的技术、直觉和其他背景。不要期望能够100%理解任何报告，尤其是你不熟悉的领域；只要你学到了一些东西，没有白白费力，那么下回你去听那个领域的报告就会理解更多。（One can always bring some of your own work to quietly work on once one is no longer getting much out of the talk.）？
14.到不同的地方学习。到与大学时不同的地方读研究生是个好主意，同样做博士后也应该到另一个地方。即使最好的数学系也有弱点，所以到不同的数学系会扩展你的知识并且使你经历不同的数学文化。此外，换学校会帮助你完成从大学生到研究生或从研究生到博士后的心理转变。
15.与你的导师交流。这是不言自明的——导师对你的状况非常了解，并且是指导你的最佳人选。如果情况变成你躲着导师或是导师躲着你，那就非常糟糕了。特别的，你要注意导师的时间表，同时导师也应该注意你的时间表，和你正在干什么；若你想放长假要事先通知导师。如果导师不在，你应该经常与其他数学家讨论数学问题，最好是有经验的数学家。
16.主动。另一方面，你不应该只依靠导师；如果你想学、做或写些东西，尽管去做（虽然有时其他东西更优先，如写论文，会暂时更重要）。查阅图书馆和互联网，与其他研究生或教员讨论，自己读论文和书，等等。
17.有耐心。任何给你的问题一般都需要几个月的时间才能有令人满意的进展。虽然有些简单问题几周内就能解，但这只是特例。因而几个月没什么进展是很正常的；可是通过耐心的去掉不好的进攻方向，你把东西都准备好了，所以当突破出现的时候，就可以很快推断这个问题。在有些情况，你（或者这个数学领域）只是还没准备好处理这个问题；有时放开这个问题（但不是完全忘掉），增进一些其他相关问题的技能，过些年再回到原来的问题经常是最佳策略。顺便说一句，多数问题主要靠这种耐心、深入思考来解决；数学中极少有那种“找到了”的瞬间，所以不要因为你没有碰到这种事而灰心（我就没碰到过）。
18.有灵活性。数学研究本质上不可预测——如果我们预先知道答案是什么和怎么去做的话，那就不叫研究了！所以人们会被带到不可预测的方向，最后有时你会发现更有趣的新问题或数学领域。因而，虽然人们应该有长期目标，但却不应该过于死板，这些目标应该不断随新进展而更新。一个推论是你不应该只因为一个研究员而做职业决定（如去哪个大学），因为那个研究员可能会转走，或者你的兴趣会改变。另一个推论是你不应该在有可行方案之前宣布你要解决一个有名的问题，因为如果那个问题比预期更难的话你就很难优雅的放弃那个问题而转入其他多产的方向。这点在基金申请中同样重要；说你想解决著名问题X或你想发展或使用著名理论Y并不能打动基金审批者，除非你有相应的计划（例如一些较容易的未解问题作为中间目标milestones）以及一套被证实的进展纪录a proven track record of progress。
19.敬业。认真负起你的职责；在朋友间轻率没有问题，但对同事确是烦人，尤其是那些忙于类似职责的人。写文章也要认真负责；你的文章将永远记载在期刊上，而且一些今天看起来聪明的东西也许会在以后极大的使你难堪。敢于下断言是好的，但是过于self-promoting或喜欢竞争一般来说会起副作用；如果你的工作好，这会不言自明，并且最好把你的精力用来创造新数学而不是用来与老的数学争辩。不要觉得研究中的挫折（如文章被拒，或发现了一个错误）是针对个人的；一般会有针对这些问题的建设性的解决方法，从而使你成为更好的数学家，并且避免这类问题。在文章中大度的确认别人的工作、致谢和处理署名顺序（但要保证归属正确）。写作的语气要客观和专业；要尽量避免个人看法（例如一个问题、文章或作者的重要性），如果有必要的话要清楚标出来是个人看法。在你的个人主页上，把个人的东西与职业的东西分开；同事们会访问你的主页来下载论文、预印本、联系方式和简历，同时可能对你的业余爱好和opinions并不感兴趣。（相反的，朋友们可能对你的研究不感兴趣。）
20.为你的听众着想。这主要针对论文，但也适用于报告和seminars。另一方面，数学中最重要的事情是正确地得到结果。然而，你也需要真诚地努力去与你的听众交流这些结果。讲解得好也很困难——有时几乎与做好研究一样难——而有人也许觉得只要证明了结果，他们并没有义务去解释它。而这种态度会毫无疑义的激怒潜在的最强的支持者或你工作的developers，最终带来副作用。所以，你应该认真思考诸如论文的逻辑结构、符号的选取和布局，以及在引言以及其他章节里的启发性的、不正式的、motivational和总体的概括性的材料。理想的情况下，文章中的每一部分，读者应该知道直接的目标是什么，长期目标是什么，核心论断和关键步骤会在哪里证明，符号、引理和其他引进的东西与这些目标关系何在，明白这些论证上下文的含义。（简单说来，一篇好的论文应该告诉读者“为什么”和“在哪里”而不仅是“如何”和“什么”。）现实中人们往往达不到这些目标，但仍有一些不需损害结果就能增加文章可读性的方法。有时候可以把论文搁到一边一段时间，直到你忘掉那些细节，然后从新的角度（更接近你的典型听众）重新读它；这样经常可以使有意义的结果显现出来从而可以很容易的写出来。
21.不要过早的沉迷于一个“大的问题”或“大的理论”。这是数学中的一个十分危险的职业病——一个人集中注意力于一个领域中的一个非常难的问题（或一个大一统的理论），排斥其他数学活动，而这时他还没真正准备好（既包括数学知识也包括他的事业方面）投入如此多的研究时间。当他开始忽略其他任务（比如写和发表“次要的”结论），希望最终解决主要问题或建立革命性的新理论这种“大回报”来补偿其他方面的缺乏进展，这就是一个强烈的信号表明他应该重新平衡要优先考虑的事了。虽然人们像上面所说的那种着迷的方式解决了一些主要的问题，提出了一些重要的理论，但这种成功仅出现在数学家能够a.已经证明在这个领域可以写出重要论文, 并且b.工作有保障（例如终身职位）。如果你还不具备a和b，或者你的思路仍有明显不确定性的部分（或你的大理论还没有明确的和惊人的应用），我强烈建议一种更平衡的方式：记着这个大问题或理论，有时间想想它们，但是把大部分时间花在更可行的“触手可得的果子上”，这能够增长你的经验，数学能力，和表明你已经准备好进攻更艰巨的目标的信用。
22.演讲与论文不同。做好的演讲是很难的，尤其是刚开始职业生涯时。人们应该避免把演讲当成论文这种普遍的错误，放入很多细节、技术和形式化。（尤其报告决不应该只是一些研究论文的直接拼凑！）除了非常熟悉你的工作的人，这种演讲几乎不可能听得懂，尤其是（与阅读论文不同）听众很难想起四五张幻灯片之前定义的符号和做出的注解。与之相反，演讲应该从更高的层面上和非书面的概观来补足论文中的内容，尤其是对那种更正规和标准的论证；这使你能够引导听众的注意力到更有趣和重要的部分上去，你可以更细致的描述这些部分。一个好的报告应该对“非专家”友好，可以在最初的几分钟讲一些基本的例子或背景，从而他们不至于一开始就完全迷惑了。实际上，即使是专家也会愿意听到对背景材料的回顾；即使这些材料都是旧的，但是有时你会有一种新的视角，这就有意义了。同时，如果你把背景材料部分组织合理，你对新材料的处理就可以更加容易和自然地被听众接受。一个特别有效的方法是在讲新定理Y的证明之前先回顾标准定理X的Y形式的证明，然后证明Y的时候只需要使用重复证明X的步骤，同时做一些关键改变，我们要把这些关键点突出出来。（当然，如果可以的话，你应该把X的证明留在黑板或者屏幕上。）这样经常效果更好，甚至可以更快，比起为了节约时间跳过X的证明而直接开始证明Y的方法。
23.使用废纸篓。不是每个想法都会带来成功，也不是每个第一份草稿就能构成最终草稿的一个好模板。即使对最好的数学家也是如此。有些时候事情就不像最初计划的方向发展，你需要缩减计划，调整计划，或放弃计划；有时你发现一个耗费了你的很多时间的引理对这篇论文没有什么作用，需要不情愿的删掉，或者放到以后的论文中去；也有时你发现写了一半的论文的结构不好，需要重新来写。（说实话，对一些我最自豪的论文，因为一次或多次重写，使得你几乎从中完全看不出最初的草稿。）你必须明白什么时候要有耐心和持之以恒，什么时候应该注重实效；在死胡同中顽固的不停工作不是使用时间的有效方式，同时如果把你工作中最后一点的一点鸡肋都发表出来，那就很难达到你对自己作品所期望的质量。当然，数字时代保存自己全部的工作更加容易，你也应该在大修论文之前备份一份这篇论文。甚至使人尴尬的错误工作（我也有一些这种错误的工作，幸运的是在发表之前就被发现了）也应该保存起来，因为你不可能知道是否能从中挽救出一些东西，同时记录下错误有助于避免以后再犯。
24.写下你完成的工作。在早期职业生涯有许多次，我读到、听说或者偶然发现一些精巧的数学技巧或论证，并且以为自己完全理解了，所以不需要把它记录下来；但是一段时间，比如6个月以后，当真正需要这个技巧的时候，我却完全推不出来了。终于我下定决心记录下（在电脑上更合适）所有遇到的有趣论证的概略——不需要达到出版水平，但是详细到使我可以安全的忘掉细节，并且在需要的时候可以从概略中容易的复原论证。我建议你也这样做，因为这样做你就可以永远找到这个论证，除了这个显而易见的好处外还有其他几个好处。首先，你可以练习数学写作，包括技术层面（比如学习使用TeX）和如何陈述才能使人容易理解。其次，这可以检验你是否只是从表面上懂得了这个论证。再次，这样可以减少要记忆的东西；你不再需要记住论证的精确细节，从而可以将记忆力用于学习新的问题。最后，你写的东西可能最终有助于以后写的论文、讲稿或研究计划。
25.公开你的工作。随着万维网，尤其是arXiv之类的预印本服务器的出现，人们没有借口不把自己的预印本放在网上，使得对你工作感兴趣的人可以找到它。（大部分期刊也在网上可见，但是鉴于出版往往会比预印本晚以年来计算的时间，把预印本放上网仍然有好处。）特别的，你的工作将出现在那个领域搜索引擎的结果中（我曾经这样遇到过很多篇有趣的论文）。这将有助于提升你和你的工作在同事中的知名度，并且可能带来未来的合作，或其他学者在你的工作之上继续研究（同时引用你的论文）。你可能会担心公开自己的工作，可能会给这个领域带来太多的竞争，但是如果其他人对这个领域有如此之大的兴趣的话，这种竞争迟早会到来的，而公开自己的工作至少可以带来优先权（提交给arXiv之类的服务器，预印本有可靠的时间戳）和be acknowledged in citations。当然，如果可能的话，你应该使预印本达到可以发表的质量，虽然这条要求不像对于要发表的论文那么重要，因为可以很方便的更新预印本。至于是否将预印本email到本领域的其他专家，我只会在他肯定会感兴趣的情况下这样做（例如，它解决了他们提出的某个猜想）。否则，他可能太忙（或者已经对这个问题不感兴趣了），所以不能详细的读你的文章，或者偶然的，他会当你在推销，或者认为你自高自大。大多数情况下，在网上公开你的文章已经足够了；好几条途径可以使你的工作为人所知（如审稿过程、会议、word-of-mouth、预印本邮件列表），而积极推销论文一般没有什么额外的好处。