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【知乎用户的回答(71票)】: ========================= 初次发文，很感谢这么多人点赞。 待我考完随机控制论和列维过程，定加详细修改和扩充内容。 同时也欢迎大家邀请我回答、讨论与分享概率论、随机分析、金融数学的理论问题。 我发文的目的：1、分享知识与见解；2、整理思路，整合认知，提高逻辑与表达。 ========================= 提问者说的这些我都学过，并在硕士阶段攻读其中若干领域。 『随机过程』是概率论的一个分支，一般来说是特指一个学科，而『Monte Carlo』是一种获得某种统计量、待求值或函数值的方法，二者不太具有明显的可比较性。 随机过程从概念上大致分为两种： 第一种我称之为应用随机过程，也是大家一般所说的随机过程，内容大致包括，Poisson process，renewal process，discrete time and continuous time Markov chain，basics of Brownian motion，以及他们的应用，比如 queue systems 等。 第二种是指随机过程一般理论：一般包括概率论的基本常识（probability space、convergence theory、limit theory、martingale theory）、随机过程的测度论基础，Markov process，stochastic integral, stochastic differential equations, semimartingale theory 尤其是后者等比较艰深的概念和问题； 其中入门的书籍有： Stochastic calculus for finance II, Steven Shreve Arbitrage theory in continuous time, Tomas Bjork 这两本是与金融交互讲的；另外一本稍微偏理论的随机分析入门书籍是： Stochastic differential equations, Bernt Oksendal 高阶数学研究生水平的书籍有： Stochastic integrals and differenrtial equations, Philip Protter Brownian motion and stochastic calculus, Karatzas, Shreve Brownian motion and continuous martingales, Revuz, Yor Limit theorems for stochastic processes, Protter, Shiryayev 当然，学习高级随机分析的书籍需要比较坚实的概率论基础，在此我推荐： Probability: theory and examples, Richard Durret Real analysis and probability, Dudley 特别地，我强烈推荐两本我当作参考文献的概率论书籍。一下两本书全面介绍了概率论基本理论，非常适合已经有一定测度背景的读者： Probability theory: a comprehensive course: Klenke Foundations of modern probability: Kallenberg 『数学金融』中涉及的随机过程应该主要涵盖上述第一类里的几乎所有内容和上述第二类里的stochastic integrals, SDE，semimartingale 等，其中最常用的是 Ito process 和 Levy process；这两类过程是特殊的 semimartingale；与衍生品定价的关系是，一般假设 underlying price process服从例如上述的某种过程，定价则是利用金融工具的复制等方法，无套利等概念，在关于特定金融市场的假设（假设很重要）下求得一个该金融工具的无套利价格，以及对应的复制（或超复制）策略。资产定价理论的研究则包括 arbitrage theory, pricing and hedging, control and optimization。此外还有，放宽基本假设的定价理论，比如加入 transaction cost, 或者考虑不同借贷利率等。 关于随机过程具体的应用是： Poisson process，compound Poisson process在金融数学中的应用之一是：在结构定价问题中，我们假设资产过程除了布朗运动驱动的部分之外，还有跳跃，而跳跃经常是由这两种过程模拟的；更一般地，我们还可以假设资产价格过程服从更一般地跳跃形式，比如 Levy process, affine process 或者 continuous state branching process；以上三种都是可以带 Levy-type jump 的。在模型的微分形式中，跳跃和布朗运动驱动的部分经常是线性存在的。 Renewal process，Levy process 经常被用于金融保险中的 Ruin 问题，鉴于这已经超越我的知识范畴，在此不详细讨论，一本可能的参考文献是： Introductory lectures on fluctuations of Levy processes, Kyprianou 除结构性定价问题之外，在金融控制问题中，一般也假设资产过程价格或者其他相关过程服从某种随机过程。比如在最简单的Merton problem中，我们假设资产价格服从多维几何布朗运动。又比如在 Jacod 和 Shiryayev 在1993年发表的关于 optimal dividend 的文章中，公司的价值服从一个带线性漂移的布朗运动减去一个左极限右连续的红利支付过程，然后用一个停时使其停止于价值首次为0的时刻。 随机过程在金融中也可以描述除了资产价格之外的过程。比如在著名数理金融学家 Darrel Duffie 写的关于 intensity based credit risk model 的文章中，假设 default intensity 服从 affine process。 关于 affine process，请参考 Affine process and applications in finance, Duffie, Filipovic, Schachermayer Transform analysis and asset pricing for Affine jump-diffusions, Duffie, Pan, Singleton 在KMV模型中，假设公司价值服从某个随机过程，比如几何布朗运动。以上这两种随机过程在信用风险中的应用均可以在 Darrel Duffie 的书 Credit Risk: Pricing, Measurement, and Management 中找到。 数学金融实务中，需要的概率学基础主要包括：概率论，应用随机过程，随机分析（基本内容一般包括 stochastic integral, SDE）； 如果是做金融数学学术，则额外还需要专攻以下方向中的一个或多个： Levy process, affine process, backward stochastic differential equations, semimartingale, stochastic control, stochastic differential games, stochastic PDE, 等。 除了概率论，金融相关的数学还涉及，偏微分方程（包括黏性解），控制论，数值分析，统计计量等。 Monte Carlo 最早是摩纳哥赌场的名字，笔者曾在七月造访。『Monte Carlo』算法一般是指，利用随机抽样的方法，获得一些随机系统的统计量或者参数。比如你有一颗硬币，你想知道掷出后获得正面得概率，那么你通过大量试验以后，可以利用获得正面的频率来估计。在金融的一个应用是，通过MC来模拟多条标的资产的价格走势，代入形式为求概率期望的定价公式就可以求出估计的期权价格的模拟值。此方法则是实现定价的MC方法。具体还有很多其他金融应用，比如求某一个风险度量下的风险值。 『机器学习』是一门学科也可以算是方法。我在这领域涉足不深，曾经学习的是主要基于数据、利用回归分析、贝叶斯理论等方法来做分类，模式识别，预测等问题。方法例如 adaboost，bagging prediction，random forest 等。假设你是银行数据分析师，你有客户的数据，比如年龄，性别，年收入等。如何根据这些数据来简单的构造一个信用分类法则是机器学习的一个简单应用。 【知乎用户的回答(2票)】: 随机过程是以时间为参数的随机变量，可以用来模拟随时间演化的市场。随机过程理论可以帮助我们理清相互依赖的随机过程（如标的资产和衍生品价格）之间的数学关系（如伊藤引理）。它是我们研究金融市场的基本数学工具。 Monte Carlo是摩纳哥著名赌城，同名数值算法意味着让电脑大量生成可能的随机过程样本，在这些样本中计算需要的量（如未来现金流的贴现值），并求期望。 机器学习是用系统的数学方法分析数据，并得出结论。 一般来说，我们用机器学习分析现有数据，用随机过程理论进行理论建模，在必要时使用Monte Carlo方法对模型做数值模拟。 【mathiqgalory的回答(2票)】: 打个比喻吧。随机过程好比模型，蒙特卡罗好比计算方法，机器学习是处理数据的方法。假设要研究一段随机过程，例如某个金融产品的价格过程。你可能会认为（依据金融知识和一些基本假设）它是属于某一类过程的（只余下一些参数要估计），比如认为它属于ou过程。然后利用收集到的数据（比如离散时间上的观测值）估计参数，这需要统计（机器学习）的方法。这个过程中还可能用到蒙特卡罗模拟来计算某个随机变量的期望。 【知乎用户的回答(0票)】: 1) Interest rate 2) loan/mortgage pricing 【陈无左的回答(0票)】: 随机过程是概率论的高级版。机器学习是统计学的山寨版。蒙特卡洛原本是计算物理/化学的发明，但上升到理论层面仍旧归入概率统计。所以这个问题在问概率和统计在金融的用场---那可大了。 首先所谓的火箭科学其实指随机控制，其主要数学就是随机过程。火箭科学被运用到衍生品定价后取得了巨大的成功。当然非衍生品也存在随机过程的应用，即时间序列。许多人会说时间序列算统计为主的方法。没错，但统计和概率本来就是解决同一类问题的两种尝试，且交织在一起。 蒙特卡洛是个计算方法，理论依据是大数定律（又称统计学基本定理），且又是一个概率和统计互相交织的例子。 机器学习imho是60%统计学+40%计算。它和统计学的区分在于强调应用实现。所以有点像在北大学理论力学和到清华学工程力学的感觉，一个强调把问题想清楚且保证正确，另一个强调把东西做出来可以派用场。 机器学习在金融的应用主要在估计那些不可直接测量的变量。比如波动率，未来股价，未来收益率，等等。 原文地址:知乎 |
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