[原创]粗估法，不可忽视！

粗估法，不可忽视！

撰文/大罕

 现实生活中充满着模糊现象，例如在马路上开汽车时，方向盘转一转，车子的行驶方向有相应的变化，这就是一个模糊现象.描述模糊现象的数学工具是模糊数学.

类似地，有的数学问题，并不需要精确计算，粗估（粗略地计算）就能解决问题.

粗估，比起精算来显然要容易得多.可是，人们总是把这个“克敌制胜”的武器置之高阁。所以，粗估法之难并不在于它本身，而难在自觉运用它！从这一点上讲，增强“粗估”意识，就是增强数学意识.

下面是一个需要粗估的例子，它是2005上海春考第12题.

    例1.已知函数f(x)=2^x+log₂x，数列{a_n}的通项公式是a_n =0.1n（n∈N^※），当|f(a_n)-2005|取得最小值时，n =              .

    分析：初看此题，感觉确实有点怪：给出的函数解析式中既有指数式又有对数式，而且此函数是复合型的，内层函数是等差数列，提出的任务也有点怪：某函数值f(a_n )与2005之差的绝对值的最小值！

    从目标出发吧：|f(a_n )-2005|＝|f(0.1n)-2005|=|2^0.1n+log₂(0.1n)-2005|，

    下面就要计算了。难道从n＝1开始，一个一个地往下算吗？非也！粗算一下吧：

    你知道2¹⁰=1024，2¹¹=2048吗？知道就好，加快了粗算的速度啊.

    2005是夹在2¹⁰与2¹¹之间的，即2¹⁰<2005<2¹¹.   

    2048很靠近2005啊！而且我们估计当n取其它值时|2^0.1n+log₂(0.1n)-2005|不会再小于这个距离了。这时可以大胆猜测了：n=110，即为所求！

    我们用粗估的方法，轻松地拿下这道题。

    但是，作为对该题的透彻研究，本文自然不满足于如上的分析.所以，以下我们再做深入的考察：

    当n=100时，2^0.1n＝2¹⁰=1024，而log₂(0.1n)＝log₂10=3.…，

     ∴|2^0.1n+log₂(0.1n)-2005|=|1024+(3.…)-2005|＝977.…，

    当n=110时，2^0.1n＝2¹¹=2048，而log₂(0.1n)＝log₂11=3.…，

     ∴|2^0.1n+log₂(0.1n)-2005|=|2048+(3.…)-2005|＝46.…，

    由此可见，当n=110时的|f(a₁₁₀)-2005|小于n=100时的|f(a₁₀₀)-2005|.于是，|f(a_n)-2005|取得最小值时，最有可能是n=110.

    以下考察1≤n<100,100110三种情形下|f(a_n )-2005|的取值.

    注意到指数函数y=2^0.1n=(2^0.1)ⁿ是增函数(∵2^0.1>1)，对数函数y=log₂(0.1n)也是增函数，

    当1≤n<100时，∵0.1≤0.1n<10，∴2^0.1<2^0.1n<2¹⁰，

    ∴2^0.1-2005<2^0.1n-2005<2¹⁰－2005<-981,

    同时，当1≤n<100时，∵0.1≤0.1n<10，∴-4<-log₂10＝log₂0.1≤log₂(0.1n)< log₂10<4，

    就有-42(0.1n)<4.

     ∴-2009<2^0.1-4-2005<2^0.1n +log₂(0.1n)-2005<2¹⁰+4－2005<-977,

     ∴977<|2^0.1n +log₂(0.1n)-2005|<2009,

    当然，|2^0.1n +log₂(0.1n)-2005|>977>46.….这就是说，当1≤n<100时|f(a_n )-2005|取得的值不是最小值.

    当100110时，用同样的方法，我们可以证明，|f(a_n )-2005|取得的值也不是最小值.

    据此，我们断定，当|f(a_n )-2005|取得最小值时，n =110.

    通过上述问题的解决，我们看到，粗估法确为一种有效的解题方法，值得特别注意.

我们在生活中，处理问题何不如此，当粗则粗，当细则细。粗估法是科学的方法，并不是粗糙的方法.

下面的一例甚为简单，可是，倘若粗糙处理，就会步入误区.

 例2.方程x²＝2^x 解的个数为             .

 分析：此题用图像法，在一个直角坐标系内画出函数y=x²和y＝2^x  的图像，看它们的有几个交点，交点个数就是此方程的解的个数。但是，如果画图过于粗略（或者粗心大意），很容易得出有2个交点的结论。事实上，它们有3个交点，图像如下：

 

 思考题：方程lg|x|=(|x|-2006)(|x|-2008)的解的个数是      .（答：6）

 

 

（春江花月夜）

 

 

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