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钟云霄
 迷上了'混沌’世界我第一次听到“混沌”这个名词，是1981年在武汉一次《非平衡统计物理》讨论会上，听郝柏林先生的讲解。他的讲解，引起我极大兴趣，回校后在给学生开《非平衡统计物理》选修课时加上了'混沌’一章。后来在美国读物理博士学位的我的小女儿，寄给我们厚厚地一摞James Gleick的《CHAOS》的翻译稿，这是一本很有趣味的通俗科学书。我的老伴，胡济民院士为翻译稿写了序言，与科普出版社联系，准备出版。正在编辑经过努力准备出版时，同一本书的译稿已经在另一出版社捷足先登出版了，只好作罢。但要写一本通俗的、有关'混沌’的书，一直萦回在我老伴的脑海，一直到他染病离开了人世。为了完成老伴的遗愿，也为了不辜负我小女儿的辛苦劳动。我准备在有生之年，完成这任务。 混沌被认为二十世纪物理学的第三次革命，另外两次是相对论与量子力学。从牛顿力学，发展到相对论、量子力学，不管是学物理的人，还是其他人，都比较有明确的概念。但从二十世纪60年代才提上日程的'混沌’，却远非如此。也有不少这方面的书籍或文章，但有的专业性很强，起点很高，不是学理论物理的读者就会给繁琐的数学与理论物理基础堵在门外。有的是通俗科学书，但往往偏重趣味性与故事性，使读者知其然而不知其所以然。一本既通俗，又有一定科学理论的书，使有一定数学水平的读者能了解'混沌’到底是怎么一回事，是迫切需要的。 2010年3月，我的小书《混沌与分形——浅说》，终于由北京大学出版社出版。这是一本浅说，也就是只要有高中水平的读者就能看懂。书还颇受欢迎，2012年1月还第二次印刷，重印了一次。 什么是混沌？什么是分形？说白了，其实就是一个非线性的问题。 在科学上，科学家们要把所碰到的科学问题用数学表达出来，这数学表达式常常是线性的，也就是说把变量与应变量画在图上是直线关系，把非线性部分忽略了，这样就抓住了主要规律。例如，在中学物理以及大学普通物理里讲单摆，一上来就忽略了单摆运动的非线性部分，这样单摆的运动规律就非常简单。要是不忽略非线性部分，那就复杂极了。 很多事物是可以忽略非线性部分的，但有些是无法忽略非线性的，如气象问题。要用方程式来描述一个气团的运动，就无法忽略非线性部分。当然，这样一个非线性的气团运动方程式，要是没有现代计算机，气象学家们是无法解出的。有了计算机，可以把气团的运动方程式让计算机用数字方法来求解。 在用计算机解气团的方程式时出现了著名的“蝴蝶效应”。 什么是蝴蝶效应呢？一般解线性方程式时，最后的结果由初始条件决定，一定的初始条件就应该有一定的结果，初始条件微小的差别。最后结果也应该是差别很小的。但是，非线性的方程式却出现了意外的混乱，初始条件小小的一点差别，却引起了巨大差距的结果。当时的气象学家用很形象的话说：“蝴蝶在西双版纳扇了一下翅膀，可以让纽约发生一场风暴。”这种无法预测的现象就被称为“混沌”，实际也就是混乱的意思。 科学家们是不甘心这种混乱的，要找出“混沌”的规律来。为了找出非线性系统的规律，用了一个最简单的模型，称为“非线性麻雀”。意思是：麻雀虽小，五脏俱全，解剖一个小麻雀，可以获得混沌的知识。 这个非线性麻雀就是“虫口模型”，是一个生物群体的生态问题。例如研究一群草原上的兔子问题吧，在什么条件下，兔子会一年比一年多？什么条件下兔子会一年比一年少？初看起来，父母多当然子女多，第一年兔子多，第二年的兔子也应该多；但又与草原的环境、气候、提供的食物等有关。若兔子太多了，供兔子生活的草料不够了，兔子没有吃的东西，就要饿死，兔子数会逐年减少。考虑了影响兔子数的各种因素，把兔子数目的变化写成一个方程式，就是一个非线性的方程式。 用计算机很容易计算出历年的兔子数的变化来。那些影响兔子的因素（食物、气候等等）是用一个参量来表示的，科学家们感兴趣的是这个参量如何影响兔子数的变化，不同的参数得出不同的规律，有些参数能致使兔子的数目不变，或在两个数之间变化，或在四个、八个数之间变化，等等。 混沌并不是杂乱无章，它是有它自己的规律的。 科学家又把“虫口模型”的方程式做了一些数学上的变换。把变量改换成“复变数”。也就是换成“一个实数加一个虚数”。这样可以在复平面（以实数为横坐标，以虚数为纵坐标的平面）上画出其变化的图形。图1就是虫口模型在复平面上按一定的规律画出的图。 在图1中有两个长方形，在计算机上将这两个长方形区域放大，就是图2与图3。
图2右上角的图就是箭头的下图的放大，图3右边的图就是左边的边缘部分的放大。假如在画图时，自己规定了某种涂色的规律，则可以得出彩色的图。用不同的非线性方程式，可以得出各种不同的漂亮图形。这种图形只能让计算机按指定的规律画出，人手是画不出来的。这种图案称为Mandelbrot集。下图为Mandelbrot集举例。
 这种美丽的图形称为分形。芒德布罗（Mandelbrot）为分形几何的创始人。 混沌与分形是密切联系着的。分形只是出现混沌的非线性方程式在复数平面上的表现而已。 简单的分形可以用纸笔就能画出。 如图4所示，将一三角形，分成四个小三角形，将中间一个三角形挖去，成为三个连在一起的小三角形，继续不断地这样做，就会得出一个图案，这是指数为1.58496的分形。
如图5所示，一段直线，分成四等分，将中间的两条鼓上来成为60度的尖角，接着在每一条短的直线上继续这样做，就会得出一条漂亮的花线，这条花线称为考赫(Koch)曲线，它的指数为：1.2618。
如图6所示，是在一个正方形边上，分别栽上四个角，继续栽下去，就成为一个美丽的考赫岛。这个考赫岛的指数为：1.5。
在大自然中，处处都是分形。山不是立方体，云不是球，树不是三角形，海岸线、河流不是直线与园。 在各种自然与人文科学中，人们也到处碰到分形。地下的石油构造是分形，地震的发生规律是分形，污染大气的微粒是分形，飞行器在大气中磨损的表面是分形，经济收入分布曲线是分形。 1994年，Peter出版了《分形市场分析：混沌理论在投资与经济学上的应用》（Fractal market analysis：Applying Chaos Theory to Investment and Economics ）一书中提出不能用概率论的方法来看待市场的运动规律，而应该用分形的理论，用分形的理论来解释股票市场的恐慌和崩溃现象。 任何从实践中得出的一条不规则的曲线，可以用分形的方法求出这条曲线的维数（也就是指数）来。 有一位很想在炒股中发财的朋友，知道我对分形略知一二，建议我去炒股发财。我大笑，告诉他我是一个教师，只会懂一点皮毛后在学生面前吹吹牛，对哪一种实际分形都没有深入研究。炒股发财，劝他千万别干，每个想走这条路发财的人最后一定是倒大霉的。
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