李冶的天元术

 西方数学史上较为系统引进数学符号者是法国数学家韦达(F.Vieta，1540-1603)，而我国数学符号化的尝试和引进始于13世纪李冶(1192-1279)“天元术”，其创建标志着中国代数学进入了“半数学符号”发展阶段。

1. 李冶的《测圆海镜》

北宋蒋周在其《益古集》中最早创立了“天元”概念。后有李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等著作均对“天元术”进行了一定阐述。如在《如积释锁》中，已明确可用19个汉字表示未知数的正9次幂至负9次幂：

即以“人”字表示常数，人以上九字表示未知数的各正数次幂，人以下九字表示未知数的各负数次幂。易见在中国古代数学中，未知数在分母上同在分子上一样自然，因而就认为整式方程和分式方程就没有本质区别。

李冶是河北省栾城县(今石家庄栾城县)人，被誉为“宋元数学四大家”之一。于1230年考中词赋科进士，出任钧州知事，为官清廉正直。1232年因钧州城被蒙古军队攻破，北渡黄河避难，定居于崞山(今山西崞县)之桐川，随后展开系列科学研究活动。不仅博览群书，且善于去粗取精，批判性接受前人知识，“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深。” 在科学实践中逐渐认识到，“数术虽居六艺之末，而施之人事，则最为切务。”李冶在数学、文学、历史、天文、哲学、医学等诸多方面均有创新，其中最了不起者是对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，给出一套简明实用的天元术程序，并于1248年撰写而成《测圆海镜》，此乃对一元高次方程和分式方程理论研究的卓越贡献，比西方早了300多年。

《测圆海镜》共分12卷，其以洞渊九容为基础，讨论了在各种条件下用天元术求圆径问题。全书以卷一圆城图式为出发点，以一个直角三角形及其内切圆为基础，通过若干互相平行或垂直的直线，构造成16个直角三角形。卷二到十二为一系列实际应用问题，题目均为已知某些形状的三角形边长，求其内切圆半径，共有170道题。该书基本上构成了一个演绎逻辑体系，各卷问题的解法均可在以天元术为基础工具上推导而来。《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学宏作，但因其内容较为精深乃至一般人难以读懂，致使“天元术”传播较为缓慢。李冶也意识到这一点，后又编撰了《益古演段》，力求深入浅出，以让更多人了解“天元术”。

                   

 图1 李冶雕像                图2 《测圆海镜》书影                          

2. 天元术和分式方程

所谓天元术，就是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”相当于今“设x为某某”，但由于我国古代计算工具为算筹，因而其写法有些不同。我们是根据已知条件列出两个相等的代数式，然后通过化简、合并同类项，得出等式一端为零的方程。而按照李冶记法，因方程各项系数均为筹算数码，需在常数项旁记一“太”字（或在一次项旁记一“元”字），“太”或“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂。

图3 天元术(1

 

而如图4所示方程，则为(第一行算筹数码1上的斜杠表示负数)

此为《测圆海镜》第7卷第2题，该题给出5种解法，列分式方程是其中一种方法。由此可知李冶已懂得用方程两边同乘一个整式的方法，把分式方程转化为整式方程。而这种计数方法对于天元术却是十分方便的, 只需将分式方程中表示未知数一次项系数的 “元” 字向下移动两行即可，如图5所示，方程则变为

一旦方程列出后，李冶再按增乘开方法(我国古代求高次方程的一般方法)求其正实根。资料表明：李冶所给化分式方程为整式方程的方法，超过了同期代数学较为发达的印度和阿拉伯的研究水平。