1．正确理解“三维目标”
在参赛选手提供的教学设计中，教学目标的表述不尽一致。许多老师采用了“三维目标”分别阐述的方式呈现目标。
例1 “二元一次不等式表示平面区域”的教学目标。
知识与技能：
(1)理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判定方法；
(2)能做出二元一次不等式表示的平面区域。
过程与方法：
(1)增强学生数形结合的思想；
(2)理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度价值观：
(1)通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；
(2)体会数学的应用价值；
(3)体会由一般到特殊、由特殊到一般的思想。
例2 “基本不等式”的教学目标。
知识技能：要求学生探索基本不等式的证明过程，了解其几何意义，会解决简单的最值问题。
过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式，体会数形结合思想方法。
情感态度价值观：通过不同角度探究，培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神。
上述两例，从积极的方面看，老师们已经注意到教学目标必须反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。但这样的表述，除了目标分类不准确、表达不确切（如把“由一般到特殊、由特殊到一般”的逻辑思考方法不恰当地归入情感领域，把“培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神”这样的“放之四海而皆准”的目标作为一堂课的目标。）等“技术性”问题外，最大的问题是混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。
“三维目标”是课程目标而不是课堂教学目标。“三个维度”具有内在统一性，都指向人的发展，它们交融互进。“知识与技能”只有在学生独立思考、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度与价值观”只有伴随着学生对数学知识技能的反思、批判与运用，才能得到升华；“过程与方法”只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。
“三维目标”是中学课程目标的整体设计思路，反映了一个学习过程中的三个心理维度，但不是教学目标的维度。在制定教学目标时简单地套用“三个维度”将使课堂不堪重负。
教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑高中阶段的数学教学目的、内容特点和学生情况来确定。课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在的，而是要具体而扎实地把数学课程内容传递给学生，要以数学知识教学为载体来促进学生的发展，这样才能真正实现“数学育人”。
因此，一堂数学课的教学目标，应当是以数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育。只有在正确理解教学内容的基础上，才能制定出恰当的教学目标。
例3 “基本不等式”的教学目标——正确理解内容的基础上。
在制定教学目标时我们首先应思考：为什么把 ≤ （a,b≥0）叫做“基本不等式”？如何理解“基本”二字？我认为，这一不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化。这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量。这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。
认真仔细地分析教材的编写意图，也是理解内容的一个方面。“人教A版”通过赵爽弦图引入对基本不等式的研究，并在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生讨论基本不等式的几何意义，从而理解为什么把基本不等式叫做“算术平均数与几何平均数的关系”。教科书引导学生经历了如下过程。
首先，以“探究”引出问题，经过抽象得到赵爽弦图，并且从图中的面积关系得到不等式a2+b2≥2ab及其等号成立的条件，再进一步地作变形（在a，b＞0的条件下用， 分别代换a，b）得到基本不等式；
其次，用分析法给出代数证明[如果用综合法，要从(－ )2≥0开始，思路不自然]，因为不难，所以让学生填空；
第三，以“探究”引导学生对基本不等式作几何解释，使学生有机会数形结合地进一步认识基本不等式。
因为基本不等式很重要，但只给代数证明非常乏味，所以教科书构建了上述过程，这是与以往教材有很大区别的地方。
基于上述内容理解，可以确定“基本不等式”的教学目标：
(1)借助弦图、实际问题，经历基本不等式模型的猜想过程，提高观察能力，数学抽象能力；
(2)探索基本不等式的证明方法，掌握基本不等式的代数结构及其使用条件；
(3)会用基本不等式解决简单的实际问题（注重建模过程）。
这样的目标对教学有真正的定向作用，在课堂教学中紧紧围绕目标展开教学，就能使课堂做到高效。
2. 围绕概念的核心展开教学
一段时间以来，大家对数学教学的有效性开展了大量研究。如果在网上以“有效教学”为关键词搜索，那么有效教学的论文数以万计，还有许多理论专著，有效教学研究可谓一片繁荣。然而，与之形成鲜明对照的是课堂教学的低效甚至无效。看来，“有效教学”的研究也有“无效”之虞。到底怎样才能实现课堂教学的有效性？我认为，只有围绕数学概念的核心展开教学，在概念的本质和数学思想方法的理解上给予点拨、讲解，让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，这样才能实现有效教学。因为概念的核心、思想方法是不容易把握的，这是教师发挥主导作用的重点所在；具体细节正好是锻炼学生应用概念解决问题的机会，是促进学生理解概念的平台。那种事无巨细、包打天下的做法，要把所有细节、变化都在课堂上讲完练完的企图，最终只能把关键、重点、核心淹没在细节的海洋中，不仅教学效果不佳，而且导致学生负担沉重。
例4 “三角函数诱导公式”的核心。
以往我们从“三角恒等变形”的角度理解三角函数诱导公式，把它当成是“将任意角的三角函数转化成锐角三角函数”的工具。教学中，因为诱导公式太多，学生记不住，老师们又将之进一步概括成为“奇变偶不变，符号看象限”。实践表明，教学效果总不尽如人意。什么原因呢？
我认为，主要原因在于这样的教学没有抓住“诱导公式”的核心。“其实，x＝cost和y＝sint是单位圆的自然的动态（解析）描述。由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述。”诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述，它是三角函数的一条性质——对称性。围绕“对称性”这一核心展开教学，就可以实现诱导公式教学的以简驭繁。
例如，学生在问题“如果任意角α的引导下，可以容易地得到：β＝2kπ+π+α。由于α的终边、β的终边与单位圆的交点关于原点对称，因此sinβ＝sin(2kπ+π+α)＝sin(π+α)＝－sinα。的终边与任意角β的终边关于原点对称，那么它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？”
类似的，在问题“如果αx轴对称，它们有什么关系？它们的三角函数又有什么关系？关于y轴、或关于直线y=x、或关于直线y=－x对称呢？”的引导下，可以容易地得到其他诱导公式。的终边与β的终边关于
总之，三角函数诱导公式教学的三个要点是：
依据——三角函数的定义；
思想方法——变换（旋转、对称）；
工具——单位圆。
3.把引导学生提出问题作为重要教学内容
虽然老师们已经意识到，课堂教学中必须注意教师主导取向的讲授式与学生自主取向的活动式的结合，而且注意使用“问题引导学习”的教学，但学生只有回答老师提问的机会而没有提出问题的机会的做法仍需要进一步改进。教师要给学生以提问的示范，目的是使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”。要把引导学生提问，使学生在独立思考后提出有质量的数学问题作为学生活动的重要内容。那种“构建模型我来干，你要做的就是算”的做法，挤压了学生独立思考的空间，剥夺了学生实质性思考的机会。
如何实现“让学生提问”呢？我认为，如果注意“先行组织者”的使用，在研究方法上多加指导，给学生提供类比的对象和方法，就能使学生自己提问。
例5 如何判定两个平面平行——通过类比提出问题。
指导思想：类比两条直线平行的判定，提出两个平面平行的判定的猜想，再给出证明。
问题1 前面我们已经得到了一些判定两个平面平行的方法，请你回顾已有的两个平面平行的判定定理，你能说说得到这些判定定理的思想方法吗？
——定义法（由于两个平面上的点是无穷的，因此“没有公共点”不容易说清楚，不好用）；
——化归为直线与平面平行（由平面α内的两条相交直线与平面β平行得到α∥β，实际上利用了“两条相交直线确定一个平面”，应用了化未知为已知的思想，降维的方法）。
先行组织者：从前面学习直线、平面位置关系的判定可知，判定方法不唯一。你有没有想过别的判定方法？在研究问题时，类比、推广、特殊化等是获得研究成果的常用方法。
问题2 类比两条直线相互平行的判定，能否得到一些猜想？
学生可能得到：
类比“同一平面内，直线a，b同时平行于直线c，则a∥b”，猜想“如果平面α，β 同时平行于平面 γ，则α∥β”。通过证明可得这一命题是正确的。
类比“同一平面内，直线a，b同时垂直于直线c，则a∥b”，猜想“如果平面α，β 同时垂直于平面 γ，则α∥β”。通过举反例，发现这一命题是错误的。教师可进一步提示：将其中的若干条直线换为平面再试试？可得“如果平面α，β 同时垂直于直线c，则α∥β”，这是一个正确的命题。
另外，还可以通过类比“两条直线与第三条直线相交，同位角（内错角）相等，或同旁内角互补，则两直线平行”，得出一些判定两个平面平行的判定方法。
4.
“概念+数学思想方法”PK“题型+技巧”
在我们的数学课堂中，解题教学历来是重点、核心。教师常常把注意力集中在“题型”及其技巧上，许多老师分不清技巧与思想方法的界限，错误地把技巧当成思想方法，而且往往把技巧直接告诉学生，再让学生通过模仿训练记住技巧，而对技巧的来龙去脉则语焉不详特别是对蕴含于数学知识中的数学思想方法教学，因其是一种潜移默化、润物无声的“慢工”，被有些老师判为“不实惠”而得不到应有的渗透、提炼和概括。结果是在稍有变化的情境中，因为没有数学思想方法的支撑，“特技”失灵，“动作”变形，灵活应用数学知识解决问题的能力成为“泡影”。在“能力立意”的高考中出现“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的结局就不足为奇了。
实际上，技巧往往是“可以意会不可言传”的，是不可复制的，而且掌握技巧需要付出大量时间、精力的代价，这是得不偿失的。大众数学教育是普及性的，目的是培养公民的基本数学素养，就像平时锻炼身体不需要专业运动技巧一样，并不需要太多高超的解题技巧，教学时也很难用富有启发性的语言予以传授。因此，技巧，雕虫小技也，不足道也！概念及其蕴含的思想方法才是根本大法！我们要强调数学知识及其蕴含的思想方法教学的重要性，无知者无能，在对数学知识没有基本理解时就进行解题训练是盲目的，也是注定低效的。解题训练应针对概念的理解和应用，要让学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯。另外，解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的，因此要加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。
例6 如何讲“比较1.70.3与0.93.1的大小”。
这是教科书为了巩固指数函数的性质而设置的一个练习。在此之前有两个小题为“比较1.72.5和1.73，0.8－0.1和0.8－0.2的大小。”由于这两个小题可以通过直接构造一个指数函数，并利用指数函数的单调性做出判断，因此比较简单。但本小题的底数、指数都不同，无法构造一个指数函数而直接得解，于是有的老师就说：“这类题目就是要找一个中间量来比大小，这个量一般是1……”这样的讲解，离开了指数函数的概念和性质，使这个“中间量 1”成为一个“从天而降”的神秘物，变得无依无靠、不可琢磨。
实际上，我们完全可以从指数函数的性质中找到思路，形成解题的突破口：对于任意指数函数y=ax（a＞0，a≠1），它们都有一个共性a0=1，这就是“中间量1”的来源。因此，引导学生回到概念去，回到基本原理去，不仅能找到解题思路，而且能使思考过程更合理、更高效。
5. 怎样进行“思维的教学”
众所周知，数学是思维的科学，数学是思维的体操。数学教学的核心任务之一是要培养学生的思维能力，使学生在掌握数学基础知识的过程中，学会感知、观察、归纳、类比、想象、抽象、概括、推理、证明和反思等逻辑思考的基本方法。从课堂教学现状看，许多老师还没有掌握“思维的教学”的基本方法，不能有效地抓住“思维的教学”的时机。
思维发展心理学的研究表明，概括是人们掌握概念的直接前提；概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；概括是科学研究的关键机制；学习和应用知识的过程也是概括的过程；数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学思维能力训练的基础；概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。因此，“思维的教学”的基本方法是以数学知识的发生发展过程为载体，为学生的概括活动搭建平台，千方百计地给学生提供概括的机会，锻炼学生的概括能力，使学生学会概括。特别要注意在概括的关键环节上放手让学生自主活动。
例7 “二元一次不等式表示平面区域”的概括活动。
本课有两个关键环节：一是获得“同侧同号”的猜想；二是获得证明猜想的方法[过点P(x0 ，y0 )作x轴的垂线，交直线Ax+By+C=0于Q(x1 ，y1 )，通过比较y0 ，y1 的大小而得]。
引导学生猜想“同侧同号”时，许多老师先让学生在平面上任意找几个点，将坐标代入Ax+By+C，观察取值符号与点的位置的关系，然后再用信息技术演示。这是一个很好的设计，但老师在实施过程中，不是用“在取值符号与点的位置的关系上，同学们发现什么规律了吗？”引导学生自己得出结论，而是说：“同学们发现没有，在直线Ax+By+C=0同侧的点，坐标代入Ax+By+C后取值的符号相同？这就是‘同侧同号’。”貌似“引导发现”，实则“包办代替”，剥夺了学生独立思考、发现规律的机会。
在证明“同侧同号”时，老师让学生先自己独立证明，再全班交流。这样安排也是好的。问题是：许多学生不是自己独立想出证明方法，而是通过看书，看“懂了”说出来的。这时该怎样进行“思维的教学”呢？该如何引导学生的思维呢？许多老师的做法是：（面向全体学生）他说的对不对？大家听懂了吗？在学生回答“对”“懂了”以后，结束证明，进入解题训练。显然，这样做达不到“思维的教学”的目的。
我认为，在学生说出“过点P(x0 ，y0 )作垂直于x轴的垂线，交直线Ax+By+C=0于Q(x1 ，y1 )……”以后，必须追问一下：你是怎么想到的？这样才能把学生的“似懂非懂”暴露出来，从而把学生的思维引向深入，产生实质性思考。
实际上，这一方法的正确性容易理解，但思想比较深刻，因为它要把两个看上去没有关联的对象联系起来，要有较强的“坐标法”思想和化归能力。这是一个“不是做不到，而是想不到”的方法。从思维过程看，要思考：如何建立点P(x0 ，y0 )与直线Ax+By+C=0的联系？如何用代数语言（不等式）把点P(x0 ,y0 )在直线Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”、“左下方”、“右上方”等图形语言表达出来？引导学生思维的深入也正是在这几个点上：
如图，“点P(x0 ，y0 )在直线l：Ax+By+C=0的左上方”，如何用坐标将这种位置关系表示出来？
如果学生想不出来，可以进一步提问：点P在直线l的左边（上方），图形上如何表示？这时学生就可能想到“过点P作x轴的平行线交直线l于Q(x1 ，y1 )，则有x0＜x1 。”
顺便提及，要搞好“思维的教学”，关键是教师自己先要理解好数学内容的本质，教师自己要成为善于思考者。
6. 如何进行课堂小结
从本次活动中发现，课堂小结问题还有进一步研究的必要。许多老师在小结时的第一个问题是“通过今天的学习，你有哪些收获？”这样的问题过于宽泛，学生的回答往往是“使我知道了数学与现实生活是紧密联系的”，“数学是有趣的”，“数学奇妙无穷的”，“我学会了数形结合思想”……大话、空话、套话甚至是假话满天飞，这种没有以本课内容为载体的“收获”是虚无飘渺的。
我们认为，小结的主要任务是归纳本课内容，提炼思想方法，总结学习经验。要提高小结环节的教学立意，应当围绕本课的内容及其反应的数学思想方法，以知识的发生发展过程为线索展开，通过小结使学生头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构（包括相关知识的联系）。特别是，要把认识数学对象的“基本套路”、解决问题的“基本思路”等纳入其中。另外，在总结“学到了什么”的同时，还要总结“哪些地方没有学好、没学会”。
例8 “直线的倾斜角与斜率”的小结。
解析几何是方法论。本课内容是解析几何的起始课，具有“统领全局”的作用．因此，本课的小结应体现出这一地位，让学生能从“方法论”的高度体验坐标法的真谛。具体有如下几个方面：
(1)以倾斜角（形）与斜率（数）的相互关联为载体，概括用坐标法研究几何问题的基本思想，让学生体会在直角坐标系下“以数论形”的基本过程和方法；
(2)总结以直角坐标系为“参照系”确定一条直线的几何要素与平面几何中确定直线的条件的差异，让学生体会借助坐标系讨论几何问题的基本方法（坐标系给出了一个“基准”）；
(3)归纳“倾斜角—斜率—斜率公式的坐标表示”的研究过程，使学生掌握用代数方法刻画直线斜率的方法，特别是让学生说明分四种情况讨论的必要性以及将它们归结为一个公式的过程；
(4)借助过两点的直线斜率公式，明确斜率存在的条件。
从更深层次考虑，上述做法更本质的是“数学育人”．数学课堂应始终把育人目标放在首位，当然要将它融入知识的教学中．本课承担着让学生初步体会坐标法思想的重任，直线是最简单的几何图形，倾斜角与斜率是简单但能很好地反映解析几何“用代数的方法刻画几何对象”的载体，因此，本课的教学必须要有“交代问题背景、引入研究方法、构建研究蓝图”的大气．要让学生感受到坐标法的基本特点，体会到用坐标法研究几何问题的基本套路，进而提高提出问题、研究问题的能力，这样才算充分挖掘了本课内容的育人资源，才算体现了倾斜角与斜率概念的教学价值．
7. 充分认识教材在教学中的地位
当前，教师误解“用教材教”“创造性地使用教材”的课改理念，不下功夫深入研读教材，在没有准确理解教材编写意图的情况下就随意地删减、补充或更改教材内容，有的甚至轻率地脱离教材进行教学，以那些粗制滥造的教辅资料为依据进行教学。这样做的结果是使教学失去基本依据，数学课堂变得没有章法。这种做法，只考虑“应试”而不顾学生的可持续发展，不重视教材，不要求学生精心阅读课本，把大部分时间花费在做教辅资料的题目上，已经导致学生会解题但不会提问，会模仿解题技巧而不会读书、不会独立思考。因此，这种局面必须引起我们的高度警觉，并下大力气扭转。作为优秀教师，应当注意到：
第一，一定要正确理解“用教材教”“创造性地使用教材”的内涵。这是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡“脱离教材”搞教学。
第二，教材的“基础性”与高考的“选拔性”确有一定的目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应放在帮助学生熟练掌握教材内容上。
第三，理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”。了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等都是教师的基本功。
第四，要仔细分析教材编写意图。教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的。因此，在处理教材时，内容顺序的调整要十分小心（否则容易导致教学目标的偏离），例子可以根据学生基础和当地教学环境替换，但所换的例子要反映教科书的意图，要能承载书上例子的教学任务。
三、结束语：把教研作为一种生活方式
本项活动在我国中学数学教育界具有很大影响力，已成为研究课堂教学问题，探讨课堂教学规律，提高课堂教学质量和效益，促进教师专业化发展的重要平台。“重在参与，重在过程，重在交流，重在研究”的活动宗旨深入人心。我们欣喜地看到，本项活动模式上不断创新，质量不断提高。所有这些都得益于大家的共同智慧和创造，得益于各会员单位在准备过程中不断加强和完善过程性、研究性，将本项活动宗旨具体化。在这几天的展示与观摩活动期间，做到了锦上添花，把各地的研究成果充分展示出来，通过现场互动交流，进一步发挥了这些成果的引领、示范作用。
教师专业化发展是一个没有止境的过程，要求广大教师把教学研究作为自己的生活常态甚至是一种生活方式，这是为人师表需要的一种态度，也是教师应具备的一种职业精神。做教研要有“默而识之，学而不厌，诲人不倦”的态度和精神：教研不是为了表演、作秀，要静下心来，心无旁骛，要默默然领会在心，也就是要“默而识之”；教研还要有“学而不厌”的精神，因为它不能让你升官发财，更多的是“枯燥乏味”，甚至费九牛二虎之力而难入其门，很多老师也因此而放弃，但这正是进步的开端，因此做教研要有“面壁十年”的准备；当教师必须有“诲人不倦”的态度，当今的教育，受功利化社会环境的污染，已经忘记了自己“教书育人”的根本职责，家长、社会、行政部门以“教育GDP”（升学率）论英雄，这种社会氛围十分令人生厌。数学教学也不能置身事外，教师为了分数而不得不让学生进行大运动量机械重复训练，而数学的育人本分（培养思维能力、发展理性精神）则被抛到九霄云外，这种没有思想、没有灵魂的教育已经“造就”了大批只会解题不会读书的学生。在这样的环境下，一个真正的数学教师，必须怀有一种菩萨心肠，无私地热爱学生；还要有普度众生的学识、精神、耐心、耐力，不厌其烦地把自己掌握的数学知识和领悟到的思想、精神传递给学生。惟有坚持“诲人不倦”的精神，我们才能在尽教书育人职责的同时，实现自己的人生价值，找到人生乐趣。
愿广大数学教师真心诚意地热爱教研，专心致志地研究教学，在教学过程中，随时随地思考，随时随地发现，随时随地实践，随时随地体验，随时随地领悟，随时随地反省。这是教研的真谛，也是教好书、做好人的真谛。
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