神奇的双位数乘法

haosunzhe 2014-12-08

展开全文

网上曾流传过一个“印度乘法口诀”，不知你是否留意过。

和我们中国的乘法表不同，这个乘法表延伸到19以内，即所谓“19*19”乘法表。尽管其难度比“九九乘法表”更高，但配合特别的方法，却是更容易心算出正确的答案。

网传的印度乘法表，其乘法表除了大家熟知的九以内的乘法之外，更增加了从十到十九的相乘结果。由于双位数的乘法比个位数的要复杂得多，印度人想出一个有效的心算方法。其方法是：首先将被乘数与乘数的个位数相加，然后将之乘十；再把被乘数的个位数与乘数的个位数相乘，最后把两组数加起来便得出答案。

例如：13*12=？（这里，13是被乘数，12是乘数）

第一步：

把被乘数（13）跟乘数的个位数（2）加起来，即有13+2=15；

第二步：

把第一步的答案乘以10，即有15*10=150；

第三步：把被乘数的个位数（3）乘以乘数的个位数（2），即有2*3=6；

第四步：第二步+第三步，即有150+6=156；

总算法：（13+2）*10 +（2*3）=156。

这种算法不难用代数的方法作出如下的解释：

我们将被乘数和乘数的个位数字（3和2）分别用A和B来表示，所以13*12可以表示为（10+A）*（10+B）。按照二项式乘法规则，我们将其展开可以得到：（10+A）*（10+B）=100+10*（A+B）+A*B=10*（10+A+B）+A*B；可以看出前面一项是被乘数加上乘数的个位数乘10，第二项就是被乘数的个位数与乘数的个位数的乘积。所以，这种心算方法是正确和可行的。

上面例1的个位数字的数值比较小，求和与求积都仍是个位数。如果数值较大，这个方法依然可用，但需要进位。这里，我们再举一个例子：16*18=？

第一步:

把（16）跟（8）加起来，即16+8=24；

第二步：

把第一步的答案乘以10，即24*10=240；

第三步：把（6）乘以（8），即6*8=48；

第四步：第二步+第三步， 240+48=288；

总算法：（16+8）*10 +（6*8）=288。

对于这种“十几乘十几”的算法，有人还给出一个口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。

其含义是：乘法的结果是一个三位数，百位上的数值是由“头乘头”给定（对于本情况，该位上的数值总是“1”），十位上的数值由“尾加尾”给定（上面例1中，该位上的数值是5；上面例2中，该位上的数值是14，这里的十位数字要进位，这样百位上的数值就变为2），个位上的数值由“尾乘尾”给定（上面例1中，该位上的数值是6；上面例2中，该位上的数值是48，这里的十位数字要进位，这样十位上的数值就变为8），于是，我们很快就可以得出：

13*12=156

16*18=288

除了上面介绍的外，还有一些特殊情况的两位数乘法。

两个“头相同，尾互补（尾相加等于10）”的二位数乘法

这种乘法的口诀是：一个头加１，然后“头乘头，尾乘尾”。

例3：23×27=？

解：2+1=3

2×3=6

3×7=21

23×27=621

这里要说明的是：个位数相乘所得的积，不够两位数时，要用0占位。具体做法，可参见下面的例4：

例4：31×39=？