(1)60花甲、足球碳与黄金分割[转]

截角二十面体是由12个正五边形和20个正六边形组成的半正多面体，共具有32个面。如果将其正六边形的边延长，将这些交点连起来，就得到一个正二十面体。足球的模样亦即截角二十面体。它的形状跟足球和富勒烯C60一样。其对偶多面体为五角棱锥面十二面体。若以其中心为原点，其顶点的坐标为(0,±1,±3φ), (±1,±3φ,0), (±3φ,0,±1), (±2,±(1+2φ),±φ), (±(1+2φ),±φ,±2), (±φ,±2,±(1+2φ)), (±1,±(2+φ),±2φ), (±(2+φ),±2φ,±1), (±2φ,±1,±(2+φ))(注：此类顶点坐标以及φ的系数恰好为0，1，2，3，这非常具有术数学含义,基本坐标乃是0，1，2，3，φ的组合，可能应五行，而其中不考虑正负号共有0，1，3φ，2，1+2φ，φ，2+φ，2φ八个基本数值，或者这个八个基本数值应八卦，而60*3=180个顶点坐标按八卦分野)，其中φ = (1+√5)/2，黄金分割数；此时棱长为2，它有90条棱和60个顶点。

自1985年克罗托和斯莫利等人发现C₆₀分子以后，为了解释这种圆形分子的稳定性，他们以富勒的短程线圆顶结构原理为基础，设想它是由60个碳原子组成的一个球形32面体，其中包含20个六边形和12个五边形，与现代足球表面的拼皮花样完全相似。1989年，霍夫曼和克拉茨奇默等的红外光谱测定结果与根据C₆₀分子结构所作的理论计算完全相符，初步证实了理论预测。不久，美国国际商业机器中心的阿尔梅顿研究小组的唐纳德·贝舍恩（D．S．Bethene）等人，对C₆₀进行了一系列测试。由于巴基球在室温下会高速旋转，他们将样品冷却至液氦温度使之减速，然后用隧道效应扫描仪拍摄了C₆₀的照片，成为巴基球的第一张直观证据。随后他们又用拉曼光谱和红外光谱分析其结构，也证明了克罗托和斯莫利的结构设想。卡佩拉蒂（R．L．Cappelletti）等人的非弹性中子散射实验以及高分辨率电子能量损失谱，也有力地支持了C₆₀的足球模型之说。 1991年4月，美国加州大学的化学家乔尔·霍金斯（J．Hawkins）等发表了第一批C₆₀分子结构的X射线粉末衍射照片，最终完全确定了巴基球的结构。由于巴基球分子以每秒100万次的速度高速自旋，不能用普通方法拍摄(对应电磁波波长约为300米，临界区大小约为47.77米)。他们便在巴基球上加了一个以锇原子为基础的取代基，该取代基形似两只兔子耳朵，使C₆₀晶体中的分子不能自由旋转，才最终拍摄了C₆₀结构的X光衍射照片，从而彻底消除了对巴基球及其结构的各种怀疑。从此巴基球才以其精巧绝伦的对称美，理直气壮地呈现在人类的面前。

C₆₀分子点群为Ih，因而具有五重对称性。核磁共振谱证明，分子中的60个碳原子完全等价，其成键特征要比金刚石和石墨复杂得多。由于球面弯曲效应和五圆环的存在，引起碳原子轨道杂化方式的改变。π电子轨道不再是像石墨结构中那样的纯p轨道，而是含有一定的s轨道的成分。C₆₀分子中的杂化轨道介于石墨的sp²和金刚石的sp³杂化之间，每个碳原子以sp^2.28杂化轨道与周围的碳原子形成3个δ键，再以s^0.09p杂化形成一个π键。δ键沿球面方向，而π电子云则垂直分布在球的内外表面，形成了三维球状芳香型分子。C₆₀分子中的化学键可分为单键和双键：20个六边形中共有30个双键，其键长为0.139纳米，称为短键；所有的五边形环包含60个单键，其键长为0.146纳米，亦称长键。这样，在C₆₀分子中的每个碳原子均与邻近原子形成4个均等的共价键，达到稳定结构。C₆₀直径仅为0.71nm。C₆₀的这种结构特点，决定了它丰富的物理化学内涵以及可能具有的广泛而神奇的用途。

与金刚石和石墨不同，富勒烯晶体是分子晶体，分子内的化学键已达饱和，不需要其他原子来满足表面化学键的要求。因此可以预计，它应比石墨具有更高的稳定性。C₆₀分子中共有360个电子，因此它又是一个复杂的多体结构（注：60*6=360，六层玲珑结构恰应六爻，其中或可对应360穴眼）。由于C₆₀是一个封闭的球形电子壳层和具有五重对称性，在某些方面显示出“大原子”的性质。日本的斋藤等首先采用局域密度近似（CDA）下的密度泛函理论，计算了C₆₀分子及其固体的电子结构。它在富勒烯新家族中形成了五边形互不联结的最小分子，60个碳原子全部等价，这样使弯曲的键应力均匀地分布到所有碳原子上。一些电子可以脱离原位变成离域电子。这种单双键交替的结构特征比芳香族化合物还要明显，因而应表现出芳香族化合物的许多共性。C₆₀的魅力不仅仅在于它漂亮无比的对称美，而且实验业已证明，它是已知最具有化学多样性的分子之一，因而更为化学家所倾倒和迷恋。

其实，我们将正二十面体截去 12个顶点剩下的多面体就是C_60。那么怎么截呢？我们过二十面体的30条棱的三等分点去截12个顶点，由于1个顶点连出了5条棱，截面显然是个正五边形；原来的正三角形面在截取3个顶点后就变成正六边形了，原来的20个正三角形面就变成C₆₀中的20个正六边形面了

1857年，哈密尔顿在给他的朋友的一封信中，首先谈到关于十二面体的一个数学游戏（如图10.31所示），能不能在图中找到一条环，使它含有这个图的结点一次且仅一次？他把结点看作是一座城市，连接两个结点的边看成是交通线，于是它的问题是能不能找到旅行路线，沿着交通线经过每一个城市恰好一次，再回到原来的出发地？他把这个问题称为周游世界问题。

    这个游戏扩展到一般的图上就是：给定一个图，是否能找到一个环，它通过图G的每个结点一次且仅一次?

    哈密尔顿的十二面体图上存在一条哈密尔顿环，按照结点编号的顺序：1-2-3…20-1。与欧拉图不同，确定一个图是否为哈密尔顿图是很困难的，目前还不存在有效的算法。但许多哈密尔顿图的充分条件都被证明,这里介绍其中的两个，其证明过程具有较好的示范意义，而且在研究哈密尔顿图的性质中得到了广泛的应用。

    注：每个面可以看成类似细胞膜的双层膜结构，则有内外两层面，各32面，共成64数，恰应64卦。而60个顶点，应60花甲。32个面中，有10个正六边形面可以作为骨架，分布于一赤道面上。考虑到原先的正20面体是三个两两垂直的黄金矩形，则其中心连线均过球心对应三两两垂直黄金矩形的对角线。 连接12个正五边形中心即构成正二十面体，而连接20个正六边形中心即构成正12面体。因此，足球碳结构实际上是正二十面体和正12面体的混合体。中正五边形沿中轴平行相对交错，构成正十边形，类似DNA纵投影。

 

在碳的所有单质中，蕴含深刻的术数学数码，比如石墨构成平面正六边形网状结构，应六爻，六气；金刚石构成正四面体结构，应四象；足球碳60个碳原子应60花甲以及12，20，5，6之数。因此碳作为生命物质基本骨架，其无论在线状结构，还是平面和立体结构，都当与术数学根源有着极为密切的关联。