 快速预览：“分形” 1. 2. 3. 主要开发者: Thomas Schlick 译者：豆芽兵 自相似结构和分形（Self-similar Structures and Fractals） 2012 年 8 月 14 日：分形是非常非常迷人的。曼德勃罗（Mandelbrot ）集绝对是分形中最著名的一种。但还有很多其它的类型的分形，它们有一个共同点是：都具有自相似结构（self-similar）。自相似就是说，你可以无限放大图形，却会看到类似的结构和模式。这如现像的原因是：当前看到的图形都来自于之前一步计算结果。计算会一直进行下去，但你可以定义一个最大迭代（iteration）值。迭代次数越多，看到的细节就越多。   这就是一个3D Julia集，由四元数构造出来  上图是lissajous图形（以后会有教程专门介绍，如何跟RF粒子联系到一起）。上面分形图形就是使用这种方式生成的。  这是2D的Julia集，动画显示了在断放大后，结构还是差不多的，自相似性  这是海岸线，从高空往下看越来越拉近，但总体结构是差不多的。这是大自然中的分形。 附录：关于分形（fractal）更多的知识什么是分形：维基百科对分形定义：（http://en./wiki/Fractal） 分形通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”[1]，即具有自相似的性质。 通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没 什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体 中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几 何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上 述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似 的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。 几种著名的分形集：
 这两张图是典型的Mandelbrot集图 2.   3.  这类的分形有精确自相似性质（分通常依据自相似性质分为三种：精确自相似，半自相似，统计自相似。）不断挖去中心一个图形 下图这种立体的方box也是这种算法，非常精确的自相似性 Maya 2013一个重要的更新就是加入了一个分形的结点。结点名字就是叫Mandelbrot（有2D，和3D纹理） 二、分形艺术和它在国内的现状 对于分形的可视化直接导致了分形艺术的产生，这里说的分形艺术仅指分形图形图像方面，不包括分形音乐等形式。分形艺术是数学理论和艺术的完美结 合，它带给我们无穷无尽的想象空间。初次看到分形艺术的时候大都会有耳目一新的感觉，因为分形艺术的精致是传统艺术所无法达到的。分形的自相似性让分形艺 术成为一种超级艺术形式，它可以被无限放大而保持精致的细节。我们创作分形艺术作品的时候，通常会在复平面空间中来回的探索，以求找到一个最佳的观察点。 这就如同摄影需要进行精心的构图一样。 国内的分形艺术和国外比起来显得很新颖，目前还没有大规模的普及应用开来。一方面是因为分形艺术的技术门槛很高，另一方面是因为国内的传统艺术流派的阻碍。CGPAD.COM的使命之一就是让中国人都了解分形艺术，使用分形艺术。 三、分形艺术是创作出来的 也许你会觉得分形艺术全部是数学公式的产物，那么你可能误会了这种新兴的艺术形式。任何艺术都是需要人的脑力劳动的，分形艺术也不例外。分形艺 术家在创作分形艺术作品的时候，需要多方面的修养才能创造出好的作品来。首先是艺术修养，如果没有对色彩的准确把握和对形体的空间认识是不可能进行分形艺 术设计的。另外是数学修养，只有具备相当的数学修养才能轻松自如的控制分形创作软件来设计理想中的分形艺术作品。现在常用的高级分形艺术创作软件降低了数 学的要求，但并不是说数学在分形艺术创作中就没有一点作用。创作者同样需要对分形艺术的数学原理有所了解才能对软件运用自如，否则就只能靠运气来创作。所 以，分形艺术作品不只是数学公式自动生成的，它是融合了人类智慧的艺术形态。 四、分形艺术的应用 分形艺术存在多方面的应用，其中，制作装饰画是一种完美的应用模式。我们能用分形艺术制作出超出人类想象的装饰艺术作品，它们为现代社会的各个 场合注入新的活力。另外，分形艺术还可以用于印染行业，比如头巾和服装等的设计上。分形艺术还非常适合用于设计卡片、台历、挂历、笔筒、文具盒等文化用 品。相信在CGPAD的努力下，会有越来越多的场合使用分形艺术。 在数学的发展过程中，科学家们发现了大量处处连续处处不可微的曲线，也就是说不能定义成微分方程解集。这些曲线可以为自然界的描述提供更完整更直观 的模型。Benoit Mandelbrot发明了“分形”（fractal）一词来描述这些曲线，于是分形科学诞生了。随着计算机技术的发展，分形可视化导致了后来的分形艺术 （Fractal Art）的出现。有人认为，分形图像以其高度复杂性和精细结构使其具有很大的艺术价值。也有人认为分形艺术是可以再现的计算机生成图像，不具有传统艺术形 态所带来的独特性以及搜藏价值。但事实证明，分形艺术正在快速的被大众所认识和承认。通常，流行的分形艺术形态主要有如下几类：
其中，复数分形是最为流行也是最早得到发展的一个分形艺术表现形态。从建模方式（或者渲染方法上）通常包括Mandelbrot集及其变体和 Julia集及其变体。Newton和Nova分形其实可以归到这两类里面，因为迭代过程是相似的，只不过迭代方程有点特殊而已。这也是FerryMan Fractal一直以来的划分方法，实际证明是比较科学的。 另外就是IFS (Iterated Function System)，在Scott Daves发明的Flame渲染方法的支撑下大力的发展起来了。另外，XenoDream也是基于IFS的，只不过它是在三维空间中进行的。Scott Daves的Flame算法的重要贡献是引入了Variant以及Log density处理。后来的Apophysis 3D Hack将Flame继续提升到一个全新的高度。 L-System是基于规则改写的分形建模方法，特别适合于模拟生长模型，因为规则的改写本身就和生长有类似的地方。目前LinSys3d和 ContextFreeArt是使用L系统进行分形艺术创作的主要软件，前者使用OpenGL编写而后者使用QT库实现的。特别是后者，实现了一个漂亮的 上下文无关文法解析器，可以用它内嵌的脚本语言进行相当丰富而灵活的规则建模。 再就是普遍意义上的矢量图形，我觉得他们可以说是分形艺术的延伸。分形艺术中的复数分形，在迭代次数为0次的情况下，实际生就相当于一个矢量图像渲 染器。不过这种矢量和传统意义上的矢量有所不同，它具有无限细分后增加细分细节的可能。而且，通常情况下线条将具有一定的宽度，而传统的矢量通常可以有宽 度（Solid）也可以是没有宽度的（Hairline）。 分形艺术和数学的关系很密切，也许在其它地方或多或少会了解到一些这方面的内容。但玩分形艺术并不一定需要很多数学基础，因为现在的分形艺术 创作软件大都屏蔽了数学的底层技术。再者，分形艺术就其产生原理来分类，可以有好几个类别，不只是复数分形和IFS分形，还有很多种类的生成方法，而且将来也可能会有更新的生成方法出现。所以，不要以为分形艺术就是什么了，其实分形艺术和CG艺术是同等层次的东西。我们甚至可以把任何CG作品看成分形艺术。 分形研究的参考网站 分形几何: PS：根据我这两个月来所看的资料：发现分形是非常值得深入的。特别是对我们CG工作者。我们可以只把它考虑成一种艺术。虽然它是建立在复杂的数学理论之上的。可以说所有的Cg技术都能与之有千丝万缕联系。一张分形图片。从最初构造（需要数学公式，计算机编程），然后显示出来（计算机图形学），建模，材质，灯光，渲染，后期合成。跟我们制作Cg的流程完全是重合的。 分形的思想，跟现在很流行的混沌，统计等等一些最新学科有紧密关系。用它来探索，梳理出自己的知识树，是一个非常好的途径。最让我着迷的就是，它让我领略到理论中的“四维世界”，这是我一直想看又看不到的。 三维的Julia集（是用四元数构造的，也就是第四维） 下面是一组分形图片欣赏（google,Bing什么一搜索 Fractal 就有非常多的结果）： 繁花盛开 不用说，这是Mandelbrot放大后的一部分，与原始有很多相似的地方。并且它还包含了Julia集。 上面两种著名的分形，看着好扎人啊，很有想像力。其实它是一种“伪三维”图形，它只是二维的一种平移变换。直正的三维分形应该是四元数构造出来的。 荷花样的分形 大自然中的分形植物。这是纯天然的。大自然果然是最最美妙的艺术家。 看着有种时空穿梭的感觉 迷幻朦胧 这种半透的感觉是本人最喜欢的分形。 |
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