数学———公倍数问题

题型：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数。此类题型是以最小公倍作周期，即所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍。一、余同加余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，

此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同加余”。

例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

二、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，

此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。三、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，

此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。四、逐步满足法：用一个数除以几个不同的数，得到的余数不同，和不同，差也不同，这类问题只能用逐步满足法。

例一个数除以7余3，除以3余2，这道题余数不同，和不同，差也不同，只能用逐步满足法，也就是逐一满足条件，首先找出符合题目中所有条件的最小数字，根据除以7余3可将该数表达为7n+3的形式，当n=2时符合第二个条件，所以满足条件的最小数为17，则该数的表达式为这个最小数加上除数的公倍数，即17+21n。

例题解析

1、某数被3除余2，被5除余4，被7除余6，这个数最小是多少？

解：3-2=5-4=7-6=1

即是求3、5、7的最小公倍数少1的数。3、5、7的最小公倍数是105，则这个数最小是：

105-1=104。

（注：适合条件的数的最终表达式是105n-1）

2、一个自然数除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？

解：4-2=2，5-3=2，5-3=2

4、5、6的最小公倍数是60，则这个数最小是：60-2=58。

（注：适合条件的数的最终表达式为：60n-2）

3、一个自然数被5除余2，被7除余4，被9除余4，这个数最小是多少？

解：5-2=3，7-4=3，则这个数是5和7的最小公倍数减3，即：35n-3（n=1，2，3……），当n=2时，35n-3=67，满足被9除余4,则这个最小数是67。

（注：适合条件的数的最终表达式为：67加5、7、9的公倍数，即315n+67）

4、 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小的数。

解：除以3余2，除以7余2，这个数是3和7的最小公倍数加2,即21n+2(n=1,2,3,.......)当n=1时，21n+2=23,满足除以5余3。则适合这些条件的最小的数是23。

（注：适合条件的数的最终表达式为：23加3、5、7的公倍数，即105n+23）

5、一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。

解：除以3余2，除以5余2，这个数是3和5的最小公倍数加2,即：15n+2(n=1,2,3,.......)当n=2时，15n+3=32满足除以7余4，则适合这些条件的最小的数是32。

（注：适合条件的数的最终表达式为：32加3、5、7的公倍数，即105n+32）

6、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。

解：5–3=2,6–4=2,则这个数是5和6的最小公倍数减2,即：30n–2(n=1,2,3,.......),当n=5时,

30n–2=148,满足条件。则适合这些条件的最小的数是148。

（注：适合条件的数的最终表达式为：148加5、6、7的公倍数，即210n+148）

7、一个数除以3余1，除以5余2，除以7余4，除以13余6，这个数最小是多少？

解：由题意知，满足除以5余2，除以7余4的数为35n-3(n=1、2、3……）当n=2，35n-3=67，满足除以3余1，则满足除以5余2，除以7余4，除以3余1的数是67加上3、5、7的公倍数，即:

105n+67,当n=4时，105n+67=487,满足所有条件。

8、 我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。求兵数。

解：根据题意，人数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，根据除以6余5和除以11余10知，人数可表示为：66n-1。当n=4时，66n-1=263，满足除以7余4。则满足除以6余5，除以7余4，除以11余10的数为6、7、11的公倍数加263。即：462n+263。

当n=4时，462n+263=2111，满足全部题意。

9、所谓韩信点兵是指传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是：让士兵先列成三列纵队(每行三人)，再列成五列纵队(每行五人)，最后列成七列纵队 (每行七人)。他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后1行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗

解：根据已知条件可知人数除以3余2，除以5余2，除以7余4，根据前两个条件可知人数可首先表示成15n+2，当n=2时，满足除以7余4，所以满足所有条件的最小数为32，人数的最终表达式为32加3、5、7的公倍数，即32+105n。又已知总人数在300到400之间，所以当n=3时，总数为32+105×3=347。