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我闲着没事的时候，偶尔会想到这个有点蛋疼的问题。 前年的某个学期，我做过一次线性代数1的TA，这个学期又做了线性代数2的TA，改作业的时候常常感到胸闷异常以至于想吐血。 我觉得对于大一大二的同学来说，学数学有两大悲剧：一大悲剧是学到头只会套公式，还经常套错公式；另一大悲剧是不会写证明，甚至不明白要证的是什么。（如果是做数学的研究，搞清楚要证什么是最难的一步；但对于一个普通的课后习题，搞明白要证什么还是比较容易的）如果你也改线性代数的作业，你就会知道世间有多少悲剧存在。 之前我也做过微积分1-2-3的TA，同学们普遍的感觉是一元微积分容易搞定，多元微积分非常的不知所云，曲面积分高斯公式要多糊涂有多糊涂。道理其实蛮简单的，多元微积分就是一元微积分 + 线性代数。所以我觉得问题还是出在线性代数上边。 如果你看过一些数学史，比如 Morris Kline (不是哥廷根的Felix Klein) 的古今数学思想的第二册和第三册，就会知道线性代数的定型比微积分晚了不少。微积分源起于17世纪后半期，到了19世纪已经有了坚实的基础，出现了很多成熟的教材。线性代数的定型则是20世纪的事情，如果我没记得错的话，Paul Halmos 于40年代写的 Finite dimensional vector spaces 是第一本标准的线性代数教科书。一个很有趣的事情是，历史上是先有行列式的概念，而后才有的矩阵的概念。（我想这是不奇怪的，比如多重积分的变量替换公式就会出现一个行列式的因子） 线性代数只用到了加减乘除，微积分则用到了极限的概念，为什么线性代数反而比微积分难学呢？我觉得答案在于线性代数需要学习的人有更高的数学成熟度。极限的想法在2千多年前就有了，阿基米德算过抛物线与直线围成的面积，刘徽也用割圆法算过pi的近似值，因此我们有足够的 motivation。以前曲边梯形的面积不会算，现在终于会算了，学习的积极性可想而知。线性代数第一次触及到数学的结构这个问题，我们没有足够的 motivation，对于即将出现的各种精巧的代数结构（比如特征子空间，Jordan标准型）准备不足，造成了理解与接受上的困难。我们都有这样的经验：一个人如果讲话莫名其妙，我们会懒得听他啰嗦；同样，如果跳出来一个莫名其妙的定义，我们的大脑会马上拒绝思考。 如何获得 motivation 呢，我觉得有两种途径，一是了解它的历史，二是了解它的应用，可惜我们现在在这两方面做得都很不足。没有人给我们讲线性代数的历史，要知道它的应用则要等到多年之后，也许教材的前言可以写的更好一些。 网上有一个名为《线性代数在工程设计方法论中的重要性》的文档，是国外某个教授对他开的一门课的课程说明，我觉得写的很好，值得一读。 (英文原文) http://www./meetings/la03/proceedings/narayanan.pdf (中文翻译) http://211.71.86.13/web/jp/08sb/xxds/files/zw%E8%AF%91%E6%96%875.pdf 我想我们需要一门更有启发性的线代课程，也需要同学投入更多的时间与精力。
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