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工科数学，学什么à 工科数学顾名思义是工科专业学习的数学，主要包括微积分、线性代数、概率论与数理统计（部分专业不学数理统计）、复变函数与积分变换（机电类专业开设）。 不过就各个学校提供的数学课程而言，正常的教学并不能保证你学习的是微积分、是线性代数、是概率论与数理统计、或者复变函数与积分变换。 原因很简单：首先你并不能保证你每次都考到很高的分数。正常教学并不是保证要把课程全部上完。它要求的是课时，而非保证你掌握那些内容。 另外，大学的数学教学大纲不是全国统一的，教育部只颁发一个“基本要求”，具体实施的大纲是由各个学校自己制订的，各个学校在教学内容与教学要求方面会存在差异的。以高等数学为例说明。高等数学是供非数学专业的理工类专业学习微积分编写的教材，只有少数理科类非数学专业（例如物理、以软件为主的计算机专业）不学习高等数学，而是与数学专业一样学习数学分析。 数学分析与高等数学虽然都是讲授微积分内容，但是在教学内容与教学要求上是有很大差别的。大学的数学教师一般都是数学专业毕业的，俗称科班出身，往往不大看得起高等数学，因为高等数学在逻辑的严密性方面是存在明显缺陷的，于是常常可以听到他们发出对高等数学轻蔑的言词，不必见怪。 因此，从整体上而言，关于工科数学，学习的内容，不外乎：数值分析、微积分、线性代数、概率统计、图论、复变函数与积分。在GNSS、GPS定位、大地测量、遥感等领域里，学习了高等代数、离散数学、线性代数、概率统计、组合数学、矩阵分析，就能满足基本要求了。(待优秀的同学来补充~~~) 学习方法：针对硕士生、博士生而言，大部分人在攻读博士学位前，都已经取得了学士学位，基本上都已经初步学了高等数学、线性代数、概率统计等课程。一般学校，以武汉大学为例，为工科研究生开设了矩阵论、数值分析等两门课程。另外开设一些针对某些具体专业的课程，以土木建筑为例说明，武汉大学土木建筑系的研究生，还可以选修：非连续介质的数值方法、岩土工程中的数值方法、人工神经网络方法在土木工程中的应用、信号处理、公路边坡稳定性分析原理及数值方法等课程。 基本上，你需要的数学课程都已经初步学过，不需要的(你现在没有看到直接价值的数学课)也初步学过。应该说，对于工科学科研究而言，所需的数学基础都在一定程度上得到了巩固。但现实是，相同专业的学生，做同样一件事，其最后的结果可能会相差很大。可见，数学基础在解决问题过程中，并不play a critical role in solving problems. 它是一个门槛，你低于它，就没法解决问题，如果你能跨过它，那么行动的效果更取决于其他智慧，比如说耐心仔细、沟通交流。 最后，在现实世界，数学只是一门工具，并不能直接给你带来什么，因此光是这些数学课，还是不够的。解决实际问题，还需要许多其他能力，需要学习的东西还很多，比如数学模型方法、数学物理方程、大学物理等课程。虽然这些课程，看起来与数学关系不大，但在实际中，解决实际问题时，一般需要对问题进行抽象，然后构建模型，再是寻找具体的数学方法。因此，这些课程也十分有必要的。 分析了这么多之后，对数学的学习可以考虑三个方面： 选择什么样的学习内容？ 前面已经分析了，大部分所需的数学课程都基本学习过或者草率地学习过。因此，关于如果拿起原来的数学教材来学习，肯定是很没有持久动力的。首先没有大量且连续的时间段可供你去学习；其次，数学教材的自学是无聊的。学习内容的选择，选取与专业问题相结合的方式是最好的。比如说，工程力学、大学物理不都是结合相应的数学计算方式外，加入大量的物理现象背后的原理，物理材料的实际性能。前面提到的以土木建筑系研究生课程，如非连续介质的数值方法、岩土工程中的数值方法、人工神经网络方法在土木工程中的应用、信号处理、公路边坡稳定性分析原理及数值方法等课程，都是数值计算方式在建筑工程设计计算中的应用。 因此，工科数学的学习内容，选择领域原理相关的数学内容。 至于通识数学部分，如高等数学、线性代数、概率统计、复变函数、数值分析、矩阵论、离散数学、图论等，则应关注其应用原理—假设、输入、输出。 别忘了哟，Delaunay剖分就是生物学家在研究生物迁移过程中发现的一种图形划分结构！ 如何学习什么？ 大家都很清楚一个事实，那就是，学数学，不是背公式，而是掌握公式背后的原理。就是说，你知道这个公式存在的前提，解决的是什么样的问题。公式总是会有假设条件，总会有输入和输出的。假设的条件必定成立吗，输入是什么，是你现在拥有或者可以得到的数据么，输出又是什么，是你所需要的结果形式吗？ 下面以高等数学里面的微分中值定理为例说明。高等数学里面的微分中值定理，一般会介绍三种中值定理: Rolle Intermediate Value Theorem 如果函数 f(x) 满足:在闭区间 [a,b] 上连续； 在开区间 (a,b) 内可导； 在区间端点处的函数值相等，即 f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b)，使得f′(x)=0。这个定理称为罗尔定理。 Lagrange mean value theorem 如果函数f(x)满足:在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b)，使等式 成立。此定理称为拉格朗日中值定理。 Cauchy mean value theorem 如果函数 f(x) 及 g(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续； 在开区间 (a,b) 内可导， 在对任意 成立。此定理称为柯西中值定理。 这是这三个定理的数学表达。这三个中值定理分别用一句话来表达，就是： (1) 罗尔定理: 在多项式方程f(x)=0的两个相邻的实根之间，f′(x)=0至少有一个实根。这里解决的是方程有解的问题。1691年，罗尔在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直X轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。 (2) 拉格朗日中值定理：可微函数y=f(x)的平均变化率，必定等于变化区间的某个中间点处的瞬时变化率。拉格朗日定理是微分学中最重要的中值定理。1754年，18岁的拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，并寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员；1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。之后，他并发表了拉格朗日中值定理，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。 (3) 柯西中值定理：两个可微函数f(x)、g(x)在封闭区间的变化比率，必定等于封闭区间的某个中间点处的瞬时变化率之比。对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy)，他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年)，以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理。从而发现了最后一个微分中值定理。 对比了三个中值定理的数学表达形式，即假设条件，公式的输入和输出，才能从整体上深刻理解中值定理。 如何应用？ 在现实的学习和工作中，好像没有遇到具体到数学教材的数学公式所能直接解决的问题。如果说用到，那就是在参加数学建模竞赛过程中，有一部分问题可以直接抽象为数学问题。但这样的机会还是很少的。这里从两个故事来“体会”一下。 十几年前，大概刚刚建立自然数、整数、有理数的概念的时候，有一回随父亲母亲乘坐火车向西面方向出去旅游。做了很久很久的火车，也看倦了窗外的风景，我有些累了。父亲问我，一会儿就要到旅馆了。如果旅馆有无数间房间，每一间房间都住了一家人。你说说，我们还能住进去吗？这里可有无数间房间呢？ 对于这样的问题，大家现在都已经有了答案了吧？ 如今，我们都省略了许多严格的数学证明，不把这样的问题当作严肃的数学问题来思考了，而只是当作脑筋急转弯了。因为，这样的理论，还没有十分普遍的应用，不为大众所熟悉。 第二个是：2008年的数学建模竞赛试题之一：汶川地震后堰塞湖水位预测，堰塞湖破坝后洪水淹没的地区面积预测。建立唐家山堰塞湖以水位高程为自变量的蓄水量的数学模型及预报堰塞湖水位每日上升的高度等实际问题。具体参看： http://blog.sina.com.cn/s/blog_5071eb880100gjui.html; http://math./data/upload/ttShsOPrtKi12NXw1tDMxrzSyb0=_dfrHhT.doc. 数学只是一项工具，不能给你直接带来财富。还需要不断地磨练并应用这门工具去改造自然和世界，而从中你也就获得了你的价值。 【附录】以下是对上文的跟帖 工科数学容易被忽略但又最有用的是近似理论或逼近数学，Approximation。因为工程设计都是近似的，看近似精度，找最佳点（通常是伪最佳点），而且要在种种因素中找到平衡点，trade off。 工科数学，要考虑到解决工科专业问题过程中的数学需要。近似理论当然很重要，但也要许多基础课程吧。 大学阶段应是打下良好数学基础的黄金时期。由于众所周知的原因，我国大多数刚升入大学的中学毕业生，他们的数学修养其实并不高，即便有些学生高考考了不错的分数。因为养成了畸形的数学学习习惯，所以他们自发地沿用中学模式学习大学数学，学得一塌糊涂。最可笑之处便是，要求老师少说“没用的定理”（包括博主讲的中值定理），多讲“有用的公式”（尤其是一堂课讲个十七八道例题），学期结束后还甩出一句：“学这么多数学有‘鸟’用”。简单地说吧，他们理解的数学就是：公式—习题—公式—习题…，数学的灵魂完全丧失殆尽，难怪学不好。其实我并不是要说学生的问题，既然他们已经脱离高中的苦海，何必再把他们丢入到深渊之中，我想强调的是作为大学老师为什么不关注这一现象，以身作则正确引导学生学习数学知识与方法，让学生真正体会到数学的价值。不仅大学阶段是打下良好数学基础的黄金时期，而且只有大学阶段才是真正炼就人的数学思维的最佳时期。 另外讲一件事，关于高等数学的学习进程方面的，我觉得有借鉴意义。很多欧美国家（甚至还有台湾），大学本科阶段的工科专业的微积分课程，分为两个阶段，即“普通微积分”和“高等微积分”。普通微积分和我们国家的高等数学差不多，也是一年的必修课程，只是难度略低于我国，主要讲解最基本的微积分原理，重点放在它的应用。高等微积分是选修课，讲解的全是关于数学分析的核心内容，既是普通微积分的继续又是微积分理论的深入。这样安排有一定的好处，不仅可以满足学生对学多少数学有所选择，而且能保证学生至少具备一定的数学基础，又满足教学上的阶段序进原则。据我所知，在台湾每届学过普通微积分的学生中至少有60%的人继续修读高等微积分，他们当中很多人并不是因为要读研究所而学它，只为了消除在学普通微积分时留下的疑问，以达到对整个数学分析体系有比较完整的理解，所以他们的数学分析素养并不比我们大陆数学系的同学低。 |
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