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一、问题引入，揭示课题
1.提出问题。
出示钉子板上围成的下列多边形（也可以用点子图代替钉子板，在点子图上画出下列图形）。
说明：这里的每个格子表示1cm2，大家数数图形边上的钉子数，看看面积各是多少平方厘米。
让学生数出钉子数和面积，全班交流，感受钉子数增加面积也增加。
提问：你发现钉子数增加时，面积怎样变化的？这里多边形的面积变化与什么有关？
2.引入课题。
谈话：通过钉子数和面积，大家感受面积大小与围多边形用的钉子数有关。那钉子板上多边形的面积与哪里的钉子数有关，有怎样的关系呢？我们这节课就来研究这个问题，看看到底有怎样的关系。（板书课题）
二、分层探索，发现规律
（一）引导尝试，初步感知。
1.出示下图，引导学生观察。
引导：请大家观察下面的多边形，按下面要求数一数，在教材第108页的表格里填一填。
(1)数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；
(2)数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；
(3)想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。
2.学生交流，板书完成下面表格。
3.观察数据，比较发现。
引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？同桌先说一说。
交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？（板书：多边形的面积=多边形上的钉子数÷2）
说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？
教师确认、说明字母表示的关系式，并板书：
S=n÷2
4.观察比较，反思质疑。
5.出示：
引导：是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？请在第二行中选择一个多边形数一数，看看是不是也有这样的关系。
交流：你数的第二行哪一个，结果怎样？（结合交流对应板书面积和钉子数：6 10 5.5 9 6.5 9 7 8）
追问：现在多边形的面积和边上钉子数还有上面发现的规律吗？
提问：这是为什么呢？回过去再看第一行的多边形，它们还有什么共同的地方吗？找找看。
第二行和它们有什么不同？
小结：第一行符合规律的多边形内部的钉子数都为1，第二行多边形内部的钉子数都不是1。这说明多边形的面积不仅和多边形的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数有关。刚才我们只是研究了内部钉子数为1的情况。
说明：如果用a表示多边形内部的钉子数，那当a=1时，S=n÷2。（在上面得出的关系式前补充板书：a=1）
（二）继续研究，拓展认识。
1.提出问题，引发思考。
引导：如果多边形内部都有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？现在请大家进一步观察，数一数、比一比，看看有没有规律。
2.小组合作，探究规律。
引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。
出示活动要求：
（1）每人围一个或画一个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；
（2）每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第109页的表格里；
（3）观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？
学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。
3.交流引导，发现规律。
出示表格，指名学生交流结果，在表格里呈现。
引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2有点什么关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。
提问：通过数据比较，你有什么发现？
小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1。（板书：a=2 S=n÷2+1）
追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。
指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。
（三）引导猜想，概括规律。
1.引发学生猜想。
提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。
交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n÷2+2 ？）怎样想的？
2.画图举例，验证猜想。
让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。
交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）
确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2 。（擦除上面板书中的“？”）
追问：现在我们又有什么发现？
3.拓展延伸，揭示规律。
引导学生观察关系式：a=1 S=n÷2
a=2 S=n÷2+1
a=3 S=n÷2+2
引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？
那你能任选一个a等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，并板书关系式。
提问：你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？
指出：如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。（板书：S=n÷2+a-1）
验证：当a=0或a=1的时候，也符合这样的规律吗？我们找几个图形来看一看。呈现几个相应的图形数一数，发现：
当a=0时，可以看作S=n÷2+0-1，符合规律；
当a=1时，可以看作S=n÷2+1-1，同样符合规律。
追问：通过对钉子板上多边形的研究，我们发现了什么规律？请大家说出这个规律。
4.适当介绍，拓展视野。
说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵嗣鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。
三、回顾过程，交流体会。
提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？
追问：还有什么疑问吗？
小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。 |
