数学———排列组合（二）

昵称20010796 2015-01-12

展开全文

一、分组、分配问题的解法

6本书均分三组，分三步；

①第一组分2本，有种分法；

②第二组分2本，有种分法；

③第三组分2本，有种分法。

故所求分法有种。

点评：6本书分成三组，这三组是无序的，而上述解答中要求三组有次序，故分法会产生重复，如将6本书a、b、c、d、e、f分成ab、cd、ef三组是一种分法，而解答中考虑它们之间的次序有种分法，具体如下表：

而这6种分法，实际上是一种分法。

正解：所求分法应为。

归纳1：对于n个不同元素，平均分成m组（n能被m整除），则不同分法有。

归纳2：对于n个不同元素，分成m组，各组元素分别为，其中……。

归纳3：几个不同元素平均分给m个不同对象，则不同分法有。

归纳4：n个不同元素，分给m个不同对象，每个对象所分得元素数均不同，且所分元素数明确，分别为，则不同分法有。

归纳5：n个不同元素分给m个对象，一个对象分个元素，一个对象分个元素，……，一个对象分个元素，具体对象所分元素数目不明确，且，则不同分法有。

例：有6本不同的书，求在下列条件下各有多少种不同的分法：

（1）平均分成3组；(平均分组，无分配对象）

（2）按一组1本、二组2本、三组3本分成3组；（非平均分组，无分配对象）

（3）分成4组，有两组每组各1本，另两组每组各2本；（部分平均分组，无分配对象）

（4）分成4组，一组3本，其余各组各1本；（部分平均分组，无分配对象）

（5）均分给甲、乙、丙3人；（各组元素数目确定，分配对象数目确定）

（6）分给甲、乙、丙3人，甲1本，乙2本，丙3本；（各组元素数目确定，分配对象数目确定）

（7）按一人1本，一人2本，一人3本，分给甲、乙、丙三人；（各组元素数目确定，分配对象数目不确定）

（8）分给四人，两人各1本，其余两人各2本。（部分均分给若干对象）

分析：（1）类型一：分组问题

所求分法应为。

（2）解：6本书分成3组，由于各组元素数不同，相当于各组有序，故可据各组分步，分法有

（3）、（4）是部分平均分组

（3）解：分二步：①先从6本书中取出2本均分成2组，1组1本，分法有种；②将剩余4本均分成2组，分法有，故分法有。

（4）解：分法有：

“类型二”，是先分组后分配问题，解法有两种：

法一：分两步先分组，后分配（其中分组是“类型一”的要求）。

法二：直接根据分配对象分步。

（5）解：（解法一）分两步：①先分组，将6本书均分3组，分法有种；

②再分配，将这三组分组甲、乙、丙3人，有种分法。

（解法二）由于有分配对象甲、乙、丙，且分配对象、分配数目确定，故可直接根据分配对象甲、乙、丙分步，不同分法有。

（6）解：分配对象元素数目确定，直接根据分配对象分步，分法有

=60（种）。

（7）解：由于三人所分的数目不定，故分两步：①将书先分成三组，一组1本，一组2本，一组3本；②将三组书分给三人，故不同分法有。

（8）解：分法有。

例：将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中；

①恰有一个空盒的放法共有多少种？

②恰有2个空盒的放法共有多少?

解：（1）恰有一个空盒，说明有一个盒中有2个球。先从4个小球中选出2个球捆绑成一个元素，既有3个球，4个盒子，有种分法，再将三个球分别放入4个盒中，有种，则恰有一个空盒的放法共有=144种。

（2）恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球。先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有种分法，再放到2个盒子内，有种放法，共有种方法；②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有种选法，共有种方法。由分类计数原理知共有种不同的放

二、环排问题

例、6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法？

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！

练习：

1.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

（1）分成1本、2本、3本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；

（3）分成每组都是2本的三组；

（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.

解析:（1）分三步：先选一本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；对于余下的三本全选有C种选法，由分步计数原理知有CCC=60种选法.

（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有CCCA=360种选法.

（3）先分三步，则应是CCC种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则CCC种分法中还有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）共有A种情况，而且这A种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有=15种.

（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有

·A= CCC=90种.

2. 3名医生，6名护士分配到3所学校为学生体检，每校1名医生，2名护士，有多少种不同分法？

解析：据分配对象（即三个学校）分步，分法有。

3. 6名干部到二年级4个班做学生的思想工作，每班至少1人，有多少种不同分法？

解：由已知，分两类：①6名干部分给1个班3名，其余3个班各1名，分法有种；②6名干部分给2个班各2名，2个班各1名，分法有，则共有种不同分法。

3、有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

(1)一堆一本，一堆两本，一堆3本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；

(3)一人得一本，一人得两本，一人得三本；(4)平均分给甲、乙、丙三人；(5)平均分成三堆

解析:

(1) ； (2) ；

(3) ； (4) ；