运用数学模型解决实际问题

九年义务教育数学教学大纲明确规定：“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练”“形成用数学的意识。”我们经常看到有些学生遇到一个实际问题，无处下手束手无策时，当我们把这个问题化为数学模型，用数学语言加以表达后，他马上就会解了。可见，建立适当数学模型，是利用数学解决实际问题的前提。解决实际问题，特别是综合性较强的实际问题的过程，实际上就是建立数学模型的过程。在教学中解决实际问题时，要注意引导学生观察、分析、抽象、概括为数学模型，培养学生的建模能力。
      一、化实际问题为数学模型，要注意的问题
       1．要排除语言障碍。读题是解题的基础，通过读题能识别、理解、解释数学问题的语言表达，并能用自己的语言表述，然后准确的翻译为数学语言。　　　　　　
       2．要深入分析实际问题中的空间形式和各种数量关系，善于将这些空间形式和数量关系用数学语言表示出来。
       3．要掌握一些基本类型的数学应用题。如列方程解应用题，列函数式解应用题，最值问题的一些应用题，几何问题的应用题，三角问题的应用题以及其他方面的典型应用题，以增强建模能力。
       二、解决实际问题中常见的数学模型
      实际问题是复杂多变的，但是初中数学解决实际问题常见的模型还是有规律可以归纳总结的。初中数学常见的数学模型主要包括方程模型，函数模型，不等式模型，设计模型，几何模型等，下面举例说明：
       1．建立几何模型：
      诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。
      例：在气象站台$A$的正西方向$240km$的$B$处有一台风中心，该台风中心以每小时$20km$的速度沿北偏东$60^{°}$的$BD$方向移动，在距离台风中心$130km$内的地方都要受到其影响。
     （1）台风中心在移动过程中，与气象台$A$的最短距离是多少？

     （2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？
     解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图。
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型。
（3）求解：利用三角函数有序地解出三角形，求得数学模型的解。
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
        2．建立方程模型：
方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程。
       例：在宽为$20$米，长为$32$米的的矩形地面上，修筑同样宽的两条路互相垂直，余下部分种草坪，
要使草坪面积$540$平方米，道路的宽应为多少米？
      分析：如图：作整体思考，设路的宽度为$xm$,则问题转化为求方程$(20-x)(32-x)=540$的解，
解得$x=2$或$x=50$（不合题意舍去）
       3．建立直角坐标系与函数模型：
       当变量的变化具有近似函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，
转化为函数图象问题讨论。
       例：一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为$2.5$米时，达到最大高度$3.5$米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为$3.05$米。
      (1)建立直角坐标系，求抛物线的解析式；
      (2)该运动员身高$1.8$米，在这次跳投中，球在头顶上方$0.25$米处出手，

问：球出手时他跳离地面的高度是多少？
简解：$1^{°}$由于抛物线的顶点是$(0,3.5)$，故可设其解析式为$y=a{x}^2+3.5$。
 又由于抛物线过$(1.5,3.05)$，于是求得$a=-0.2$。
∴抛物线的解析式为$y=-0.2x^2+3.5$。
   $2^{°}$当$x=-2.5$时，$y=2.25$。∴球出手时，他距地面高度是$2.25-1.8-0.25=0.20$(米)。
评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤：
      (1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；
      (2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；
      (3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。

①当已知三个点的坐标时，可用一般式$y=a{x}^2+bx+c$求其解析式；

②当已知顶点坐标为$(h,k)$和另外一点的坐标时，可用顶点式$y=a(x-h{)}^2+k$求其解析式；

③当已知抛物线与$x$轴的两个交点坐标分别为$(x_1,0),(x_2,0)$时，可用交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$求其解析式。
      (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。 
         4．建立不等式模型：
        在我们的现实生活中，不等关系非常普遍。因此，利用不等式（组）解决问题是常见的方法。一般来说，当问题中出现“不超过”、“最多”、“至少”等关键词的实际应用题时，可考虑建立不等式（组）的数学模型解之。
       例：学生若干住若干宿舍，如果每间住$4$人，则还余$19$人；如果每间住$6$人，则有一间宿舍不空也不满，求有多少间宿舍和多少名学生？
     分析：设有$x$间宿舍，依题意，学生应有$4x+19$人，当每间住$6$人时，假设全住满，则有$6x$人，但是没有住满；当一个宿舍完全空出来时，只能住$6(x-1)$人，肯定住不下，因此有了下列不等式：，又因为人数为整数，所以可解出。
        三、用数学模型解决实际问题可以达到以下目的
        1．用数学模型解决实际问题便与理论联系实际
数学教学中，往往忽视运用数学知识解决实际问题的所谓“掐头去尾烧中断”的教学方法，使得中学数学脱离现实生活。因此，解题中要注意引导学生联系日常生活，把日常生活中的一些实际问题用数学来解决。要重视从实际问题中建立数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题这个全过程。通过数学模型方法解题，可以把数学与实际问题沟通起来，互相渗透，互相转化，是数学更生地扎根于实际。
        2．用数学模型解决实际问题，能提高学生学习兴趣。
不少学生感到数学枯燥无味，所以要数数学学习过程中充满乐趣。数学模型是从实际提炼出来，而后又用之解决问题，可激发学生极大的兴趣；学会了主动学习，学会了去索取自己所要学的知识，对数学有了新的认识，学习数学的兴趣更高了，更自觉了
        3．用数学模型解决实际问题，有助于培养学生创造思维。
       在高分下令人忧虑的是，中学生应用意识薄弱，动手能力差，虽善于解题，但创造能力差，而运用数学模型解题恰能起到改善作用。数学模型具有激趣、求异、探究的特点，使学生思维处于活跃状态，多角度、多层次的观察、认识、思考问题，使学生充分发挥自己的想象力和主观能动性。独立思考，大胆探索，标新立异，积极提出自己的新观点、新思路、新方法，从地位特点上说带有探索性，在方法形式上富有创造性，有助于培养学生的创新思维和创造性能力。
       运用数学模型解决实际问题，不仅体现了数学的应用价值，而且有助于学生灵活掌握数学知识和技能，它对于实施素质教育有着巨大的推动作用。