数学———抽屉原理

基础思想：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 

核心思想：最不利原则。 

解法：确定问题的要求(取N个)，运用最不利的原则，每种事物最多取(N-1个)，某种事物不满足问 题要求或者数量不够(N-1个)，则全取，把所有数量相加以后，再加1，即可。 

标识：有若干种事物，从中至少抽出几个，才能保证在抽出的事物符合问题的要求。这类问题 的识别往往不是靠“至少”去识别，而是有“保证”或隐藏“保证”含义这样的关键字。

例1、一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证①至少有6张牌的花色相同；②至少四种花色的牌都有；③至少有3张牌是红桃。

 分析与解答： 一副扑克牌有四种花色方块、黑桃、梅花和红桃，每种花色各13张，另外还有两张王牌。

 ①为了“保证”6张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌和四种花色的牌各5张，共计4×5+2=22（张），这时再摸一张，则至少有6张牌的花色相同。即至少摸出23张牌，才能保证其中有6张牌的花色相同。

②因为每种花色有13张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出了2张王牌和三种花色的所有牌共计13×3＋2=41（张），这时，只需再摸一张即一共42张牌，就保证四种花色的牌都有了。即至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。

 ③最坏的情形是先摸出了2张王牌、方块、黑桃、梅花三种花色所有牌和2张红桃共计13×3＋2+2=43张，这时再摸一张，就保证有3张牌是红桃了。即至少摸出44张牌，才能保证其中至少有3张红桃牌。

例2、一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的?
分析与解答：一共只有4种花色，最坏的情况是4种花色各3张，此时只要再1张，无论是什么花色，都可以保障有4张牌是同一种花色，所以3*4+1=13（张）

例3、一副扑克牌有四种花色，每种花色各13张，另外还有两张王牌。至少抽多少张，才能够保证有2张牌花色相同？

分析与解答：最坏的的情况，2个无关花色的大王小王抽出来，四种花色各抽出一张，接下来，不管你再怎么抽，只要随便抽任何一张，都能够保证有2张牌的花色是相同的。 则至少抽2(无关项)+4(每个花色各一)+1=7（张 ）
例4、一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

分析与解答：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。故为16张。

例5、在一个口袋里有10个黑球，6个白球，4个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？

分析与解答：最不利的情况是：前面取球的时候都没有白球。也就是将问题转化成为“至多取多少个球仍能满足其中没有白球”。很显然，前面至多可以取10个黑球+4个红球=14个球。然后第15个球就必然能取到白球。

例6、有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒？

分析与解答：本题出现了“保证……至少……”，为典型的抽屉问题。根据“最不利原则”找出最坏的情况。

本题最坏的情况是每种颜色各摸一粒，即红、黄、蓝、白珠子各摸1粒，即取出4粒球后，再取出一粒珠子，必有两粒颜色相同。因此，至少取出5粒才能保证摸出的珠子中有两粒的颜色相同。

例7、一个袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，现在从袋中任意摸球出来，如果要使摸出的球中，至少有15个球的颜色相同，问至少要摸出几个球才能保证满足上述要求？

分析与解答：最不利条件：前面取的球都没有达到15个球颜色相同的状况。也就是：黄球，白球，黑球全部都取完了（这些同颜色的都在15个球以下，全部取完也不会有15个球颜色相同），一共是12+10+10=32个球，然后红球，绿球，蓝球各取14个。14*3=42个。依然没有15个球颜色相同。然后再取任意一个球，就能达到至少有15个球的颜色相同了，因此一共有32+42+1=75个球。

例8、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

分析与解答：最坏情况是红色球、黄色和蓝色球各取一个，即3个，此时再取一个即可保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出4个球。

例9、新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸2个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿之分，结果发现总有2个人取的球颜色相同。由此可知，参加取球的至少有多少人？

分析与解答：最不利情况是：前面大家取的球颜色各不相同。也就是大家每人摸球，摸到的情况都不一样。那么，摸出2个球的相同的情况有：

（红，红）、（黄，黄）、（白，白）、（蓝，蓝）、（绿，绿）、（红，黄）、（红，白）、（红，蓝）、（红，绿）、（黄，白）、（黄，蓝）、（黄，绿）、（白，蓝）、（白,绿)、（蓝，绿）15种情况。因此，前面15个人各摸了一种情况。第16个人摸的时候，必然会和前面的15个中的一个情况是一样的。所以参加取球的至少有16人。

例10、黑色布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的袜子各三只，如果闭上眼睛从布袋中拿这些袜子，为保证拿到两双（每双颜色要相同）袜子，至少要拿多少只? （2009北京社招）

A. 5                                                     B. 6           
C. 7                                                      D. 8
分析与解答：本题出现了“保证……至少……”，为典型的抽屉问题。根据“最不利原则”找出最坏的情况。

本题最坏的情况是：首先将其中一种颜色摸完，另外两种颜色各摸1只，即已摸出5只袜子。在这种情形下，只要再摸1只袜子必然达到题目所要求的两双袜子。

例11、现在有64个乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子最多可以放6个乒乓球（最少也要放1个乒乓球），至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同。

　　A 4         B 38          C 33            D 10

分析与解答：最不利状况：前面1-6个乒乓球盒子里的乒乓球个数互不相同。分别是1，2，3，4，5，6个乒乓球（最少1个，最多6个），一共装了21个球，第7-12个盒子的情况也一样。也分别为1~6个球。第13-18个盒子也一样。

这样装完以后，一共装了63个球，此时有3个盒子装的乒乓球数量是一样多的。而第64个乒乓球算上以后，则应该有4个盒子装的乒乓球数量一样多。选A

问题引申：

【真题回顾】有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人 力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人 专业相同?( ) 

A. 71   B.119 

C. 258 D.277 

【答案】C 

【解析】先确定目标“有70名找到工作的人专业相同”。但是我们发现有的专业能满足70个;有的不 能满足70个。 

运用最不利原则，先取无关项，根本不能满足的，全部取完，就50个，能满足的取70个，则需要取69×3=207个，一 共需要207+50+1=258个，故答案为C。 

【真题回顾】调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查问卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？（   ）（2011北京）

A.101                                                         B.175
C.188                                                         D.200

【解析】本题出现了“至少……保证……”，为典型的抽屉问题。根据“最不利原则”找出最坏的情况。

手机号码后两位共有10×10=100种不同组合，而且没有填写手机号码的问卷总共有435×20%=87份。所以本题最坏的情况是把87份没有填写手机号码的问卷全抽出来，然后把100种不同组合全抽出来，此时已经是最坏的情况，再抽一个肯定能保证找到两个手机号码后两位相同的被调查者。所以至少需要抽100+87+1=188份。

【巩固训练】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。 

【答案】13 

【解析】分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：{20，8}，{19，7}，{18，6}，{17，5}，{16，4}，{15，3}，{14，2}，{13，1}。这其实就是我们说的抽屉。另外还有4个不能配对的数{9}，{10}，{11}，{12}，共制成12个抽屉(每个括号看成一个抽屉)，。只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到(取12个数：从12个抽屉中各取一个数(例如取1，2，3，…，12)，那么这12个数中任意两个数的差必不等于12)。

【巩固训练】从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7?
       A.7　　　　B.10　　　　　C.9　　　　D.8
【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：{12，5｝{11，4｝{10，3｝{9，2｝{8，1｝。另外，还有2个不能配对的数是{6｝{7｝。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为{12，5｝{11，4｝{10，3｝{9，2｝{8，1｝{6｝{7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。