巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷）

杨洪林

1.（题18）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；

（2）当 k = 2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k ＞ 0，求证：PA⊥PB.

【参考答案】

（1）…….

（2）…….

（3）解法一 将直线PA的方程y = kx代入，解得x = ±.记μ =，

则P（μ, μk）, A（-μ, - μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为 = ，其方程为.

代入椭圆方程得（2 + k²）x² -2μk²x–μ²（3k² + 2）= 0, 解得x =或  x  = - μ .

因此B（, ），于是直线PB的斜率k₁ === -.

因此k₁ k = - 1，所以PA ^ PB.

解法二 设P（x₁, y₁）,B（x₂, y₂）,则x₁＞0, x₂＞0, x₁≠x₂，A（- x₁,- y₁）,C（x₁,0）.

设直线PB、AB的斜率分别为k₁、k₂，因为C在AB上，所以k₂  =  =  = .

从而k₁k + 1 = 2k₁k₂  + 1 = 2··+ 1 = + 1

= =  = 0. 因此k₁k = - 1，所以PA ^ PB.

·巧思·

① 利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ^PB”就转化为“证明OA ^OD”。

② 将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。

③ 利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k_AB = k_BC），必可得到k_OA·k_OD = -1（条件都已用到）。

·妙解·

设AB的中点D（a,b），A（a + m,b + n），B（a - m,b - n），则C（- a - m,0），OD∥PB.

且（a + m）² +  2（b + n）² = 4 =（a - m）² + 2（b - n）² am + 2bn = 0.

k_PA =  = 2 k_AC = 2 k_AB =  = -  = - = -PA^PB.

【评注】

①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。

② 将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为凡”。

③（1）中，根据“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”，便有：OQ=MQ（Q为MN的中点）k= - k_MN ==；（2）中，根据直线斜率的几何意义以及平行线等分线段定理，便有：k = 2PC = 2OC = 2OE（AB交ON于E）d = 2OF（OF^AB于F）= CE =（均比参考答案简洁，具体省略）。

2.（题19）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若≥0在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.

（1）设a＞0，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设a＜0且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a -b|的最大值.

【参考答案】

= 3x² + a, = 2x + b.

 （1）……b≥2……

（2）令= 0，解得x = ±.

若b＞0,由a＜0,得0∈（a, b）.又因为f ′（0）g ′（0）    = ab＜0,

所以函数和在（a,b）上不是单调性一致的.因此b≤0.

现设b≤0. 当x∈（-∞，0）时，＜0；当x∈（-∞，-）时，＞0.

因此，当x∈（-∞，-）时，＜0.故由题设得a≥-,且b≥-.

从而 -≤a＜0,于是 -≤b≤0.因此∣a - b∣≤，且当a = -，b = 0时等号成立.

又当a = -，b = 0时，= 6x（x² -）, 从而当x∈（-，0）时，＞0，

故函数和在（-，0）上单调性一致.因此|a -b|的最大值为.

·巧思·

① 由导函数和的连续性知：若在以a、b为端点的开区间上，≥0，则必定也有

f  ′  （a）g ′ （a）≥0, f ′（b）g′（b）≥0.问题便转化为对“f ′（a）g′（a）≥0, f  ′（b）g′  （b）≥0”的探讨。

② 由b≤0便知g′（a）＜0，g′（b）≤0，亦知f ′（a）≤0，f ′（b）≤0，从而问题得以方便、快捷地解决。

·妙解·

f ′ （x）g′    （x）≥0f ′（a）g′（a）=（ 3a² + a）（2a + b）≥0, f ′（b）g′（b）=（3b² + a）（2b + b）≥0.

f ′ （0）g′    （0）= ab及题设知b≤03a² + a≤0,3b² + a≤0 -≤a＜0, -≤b≤0∣a - b∣≤

a = -＜x＜0 = b时，f ′（x）g′ （x）  =（3x² -）·2x＞0∣a - b∣_max =.

【评注】

① 题意是求满足“在以a、b为端点的开区间上，≥0”的条件，没有要求找出使得“≥0”的所有区间，因此也就不必“多此一举”地求出方程= 0的根以及的全部单调区间。

② 解决问题要尽可能地简单、简洁、简便，就要尽可能地减少“多余劳动”、“重复劳动”、“无效劳动”。

3.（题20）设M为部分正整数组成的集合，数列｛a_n｝的首项a₁ = 1，前n项和为S_n，已知对任意整数k属于M，当n＞k时，都成立.

（1）设M  =｛1｝，，求的值；

（2）设M =｛3，4｝，求数列｛a_n｝的通项公式.

【参考答案】

（1）……a₅的值为8.

（2）由题设知，当k∈  M =｛3,4｝且n＞k时，S_n+k + S_{n -k}  = 2S_n + 2S_k且S_n+1+k + S_{n +1-k} = 2S_n+1 + 2S_k,，

两式相减得a_n+1+k + a_{n +1 -k} = 2a_n+1，即a_n+1+k - a_n+1 = a_n+1 - a_{n +1 -k} .所以当n≥8时，

a_{n - 6}, a_{n - 3}, a_n, a _{n+ 3}, a_{n+ 6}成等差数列，且a_{n - 6}, a_{n - 2}, a_{n + 2}, a_{n + 6}也成等差数列.

从而当n≥8时，2a_n = a_{n + 3}+ a_{n -3} = a_{n + 6} + a_{n - 6}（*），且a_{n + 6} + a_{n - 6} = a_{n + 2} + a_{n -2} .

所以当n≥8时，2a_n = a_{n + 2} + a_{n -2} ，即a_{n + 2} - a_n = a_n - a_{n -2} .

于是当n≥9时，a_{n -3}, a_{n - 1}, a_{n + 1}, a_{n + 3}成等差数列，从而a_{n + 3} + a_{n -3} = a_{n + 1} + a_{n - 1} .

故由（*）知2a_n = a_{n+ 1} + a_{n -1}，即a_{n+ 1} - a_n = a_n - a_{n -1}.当n≥9时，设d = a_n- a_{n -1}.

当2≤m≤8时，m + 6≥8,从而由（*）式知2a_{m + 6} = a_m+ a_{m + 12},

故2 a_{m + 7} = a_{m + 1}+ a_{m + 13}.从而2（a_{m + 7} - a_{m + 6}）= a_{m + 1} -a_m +（a_{m + 13} - a_{m + 12}），

于是a_{m + 1} - a_m = 2d–d  = d.因此，a_{n + 1} –a_n = 2d对任意n≥2都成立.

又由S_{n + k} + S_{n - k} -2S_n = 2S_k（k∈｛3,4｝）可知（S_{n + k} - S_n）-（S_n- S_{n -k}）= 2S_k ，

故9d = 2 S₃且16d = 2S₄.解得a₄ =d,从而a₂ =d，a₁ =d.因此，数列｛a_n｝为等差数列.

由a₁ = 1知d = 2，所以数列｛a_n｝的通项公式为a_n = 2n -1.

·巧思·

① 将数列｛a_n｝看成三个等差数列｛a_{3n -1}｝、｛a_3n｝、｛a_{3n + 1}｝合成的数列（增加一项a₁），利用“数列｛b_n｝为等差数列”“前n项之和T_n可表示为an² + bn”，可以避免求出公差d的“漫长”过程。

② 定义S₀ = 0，则a_n = S_n - S_{n -1}对任意n∈    N^*都适用，从而又避免了对n = 1和n≥2的分类讨论。

·妙解·

S_{n + 3} + S_{n -3} = 2(S_n+ S₃), S_{n + 4}+ S_{n -2} = 2(S_{n + 1}+ S₃)a_{n + 4} + a_{n -2} = 2a_{n + 1}(n≥4)

数列｛a_{3n -1}｝、｛a_3n｝、｛a_{3n + 1}｝(n≥1)都是等差数列

S_n- a₁为三个等差数列前若干项之和的和S_n = an² + bn + c（a、b、c为常数）；

S₁ = a₁,  S_{n + 3} + S_{n - 3} =2(S_n+ S₃),  S_{n + 4} + S_{n - 4}=2(S_n+ S₄) a + b + c = 1, 3b + c = 0, 4b + c = 0

a = 1,  b = c = 0S_n = n² a_n = S_n - S_{n - 1}（S₀ = 0）= n² -（n -1）² = 2n -1.

【评注】

①“数列为等差数列”的一个充分必要条件是“数列的前n项之和可以表示为an² + bn（a、b为常数）”，这个结论教师不仅应当传授给学生，而且还要经常地练习、运用，形成牢固的“印象”和熟练的“技术”。

② 将一个整体看成几个部分之和，将一个大问题分解为几个小问题，是研究数学、思考数学的一种方法。

4.（题23）设整数n≥4，P（a, b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b∈    ｛1，2，3，…，n｝ ，a＞b.

（1）记A_n为满足a - b = 3的点P的个数，求A_n；

（2）记B_n为满足是整数的点P的个数，求B_n .

【参考答案】

（1）……A_n = n - 3.

（2）设k为正整数，记f_n（k）为满足题设条件

以及a - b = 3 k的点P的个数，只要讨论f_n（k）≥1的情形。

由1≤b = a -3 k≤n -3 k知 f_n（k）= n -3 k，且k≤.

设n - 1 = 3 m + r，其中m∈    N﹡, r∈    ｛0,1,2｝, k≤m.

所以B_n == = mn -=.

将m = 代入上式，化简得B_n = - .

所以B_n =

·巧思·

① 将全体正整数按照对模3同余分类，构成三个集合：A =｛1，4,…，3 m + 1,…｝,B =｛2，5,…,3 m + 2,…｝,

  C =（3，6,…,3 m + 3,…）（m∈    N﹡）,则满足条件的a、b必属于同一个集合。

② 计算a、b同属于集合A、B、C时点P的个数，只要利用从k个元素中选出2个元素的组合数公式就可以了，因而也只要分别考虑n = 3 m + 1，n = 3 m + 2和n = 3 m + 3时的情形。

·妙解·

由集合｛1,4,…,3m + 1｝，｛2,5,…,3m + 2｝，｛1,3,6,…,3m + 3｝（m∈    N﹡）知：

若n = 3 m + 1，则B_n =+ 2 =  = ；

若n = 3 m + 2，则B_n = 2+  = = ；

若n = 3 m + 3，则B_n = 3==.

【评注】

① 将1，2,…, n进行分类并将三个集合展示，问题就很直观、很明了，分析就很具体、很方便。

② 计算B_n转化为计算三个集合中元素的个数，命题就很简单、很简明，计算就很容易、很轻松。

③“参考答案”是为以后的教师教学和考生解题做“示范”的，因此要力求通俗易懂、简洁明快。

【小结】

① 数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当——力求简明、简便、简洁、简单，力求创优创新、尽善尽美。亦即：应当努力——探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简单的表述。

② 如果某个问题的解答过程较复杂、步骤较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？“很好”吗？“极好”吗？还能够“改变”吗？“改造”吗？“改进”吗？亦即：教师传给学生的知识，不仅应当确保是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。

③ 如同长跑比赛不仅比耐力、而且比速度一样，数学高考不仅测验“会不会”，而且测验“好不好”、“快不快”：看你能否在很短时间内顺利地完成答卷。因此，探求“巧思妙解”就不仅仅是理论上的需要，而且还更是实际实在的需要、迫切急切的需要。

④“数学是思维的科学”（单墫）。思绪明朗、思路开阔、思想活跃、思维科学了，问题就能迎刃而解；反之则犹豫不决、迷惑不解。因此，数学教育者先教育思维的拓展，数学学习者先学习思维的拓展，就当然是“十分必要、极其重要、非常紧要”的。

 

注：作者系退休机关干部、中学数学教师