关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索

关于立体几何解答题一题多解与多题一解的探索

──从2011年高考数学谈起

贵州省遵义市习水县第一中学　袁嗣林

摘　要:纵观近年高考数学试题，可以看出，立体几何解答题是历年高考的必考题型。分值一般12分，难度属容易或中档题。学生得分率较高，但失分率也高。本文就2011年高考数学真题为例，对立体几何解答题作一些归类。关于立体几何解答题可以归类为一题多解与多题一解，即一类题有多种解法，多种题型可以用一种解法完成。

 

关键词：一题多解；多题一解；立体几何

 

一、一题多解

 

例1　（安徽理17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形。

 

（Ⅰ）证明直线∥；

 

（II）求棱锥F—OBED的体积。

 

 

分析：本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.通常解法是传统法和向量法。

 

 

（I）解法一（传统法）：  证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

 

    ∥，OG=OD=2，

 

    同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有

 

    又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.

 

在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.

 

    解法二（向量法）：过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.

 

    由条件知

 

    则有

 

    所以即得BC∥EF.

 

（II）略

 

评注：向量法和传统法有时可以转换着使用，主要工具是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两辆相互垂直的三条直线，进而建立直角坐标系。

 

例2　（湖北理18）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．

 

 

（Ⅰ）当=1时，求证：⊥；

 

（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值．

 

本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）

 

解法1：过E作于N，连结EF。

 

   （I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，

 

    底面ABC侧面A1C。

 

    又度面侧面A，C=AC，且底面ABC，

 

    所以侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，

 

在中，=1，

 

则由，得NF//AC1，

 

又故。

 

由三垂线定理知

 

（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME。

 

由（I）知侧面A1C，根据三垂线定理得

 

所以是二面角C—AF—E的平面角，即，

 

设

 

在中，

 

在

 

故

 

又

 

故当时，达到最小值；

 

，此时F与C₁重合。

 

解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

 

 

于是

 

则

 

故

 

（II）设，

 

平面AEF的一个法向量为，

 

则由（I）得F（0，4，）

 

，于是由可得

 

 

取

 

 

    又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为，

 

    于是由为锐角可得，

 

    所以，

 

    由，得，即

 

故当，即点F与点C1重合时，取得最小值

 

从上述两个例子可以看出，立体几何某一类解答题解法有多种，通常需要平时多总结，并比较何种方法更简捷才能在考试时得心应手。一般而言，向量法解决问题时，容易着手，但写坐标时必须细心谨慎。而传统解法要求我们要学会作辅助线以及对线面垂直、面面垂直、线线垂直、三垂线定理等要非常有研究。不论如何，高考立体几何一般都可以传统法和向量法两种方式来解决。

 

二、多题一解

 

高考很大一部分题都可以用向量法或转化后用向量法来解决。

 

１.直接用向量法

 

对于三条直线已经两两相互垂直的立体几何大题，我们可以直接用向量法进行解决。

 

例3　（湖南理19）

 

 

如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．

 

（Ⅰ）证明：平面平面;

 

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

 

分析; OB、OC、OP所在直线相互垂直，可以直接建系

 

解：（向量法）（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则

 

，

 

设是平面POD的一个法向量，

 

则由，得

 

所以

 

设是平面PAC的一个法向量，

 

 

则由，

 

得

 

所以

 

得。

 

因为

 

所以从而平面平面PAC。

 

（II）略

 

２.需要转化后才能建系

 

如果没有两两相互垂直的三直线，我们可以想办法找出后再解决相关题目。主要是利用三线垂定理及逆定理和面面垂直、线面垂直、线线垂直找出两两相互垂直的三条直线，然后才建立直角坐标系。

 

例4　（广东理18）如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，

 

 

且∠DAB=60，,PB=2,

 

E,F分别是BC,PC的中点．

 

（1） 证明：AD 平面DEF;

 

（2） 求二面角P-AD-B的余弦值．

 

分析：本题需要利用线面垂直进行转换，才好建系。

 

解：（1）取AD中点为G，因为

 

又为等边三角形，因此，，

 

从而平面PBG。

 

延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，

 

所以PO 平面ABCD。

 

以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。

 

设

 

 

   

 

   

 

    由于

 

     得

 

    平面DEF。

 

   （2）

 

   

 

    取平面ABD的法向量

 

    设平面PAD的法向量

 

    由

 

    取

 

   

 

例5　全国大纲理19）

 

 

如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．

 

（Ⅰ）证明：;

 

（Ⅱ）求与平面所成角的大小

 

分析：本题直接建系不能把S的坐标写出，故需一定的转换。

 

解：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

 

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

 

又设

 

   （I），，

 

 

由得

 

 

故x=1。

 

由

 

又由

 

即

 

于是，

 

 

故

 

所以平面SAB。

 

（II）设平面SBC的法向量，

 

则

 

又

 

故

 

取p=2得。

 

 

故AB与平面SBC所成的角为

 

从上面可以看出，立体几何多数题型都可转化为用一种方法求解。

 

综上所述，在学习立体几何时，我们应该学会一题多解，把思维发散。同时要学会多题一解把无数的题归类，走出题海的怪圈。只有这样，我们的学习才会轻松快乐。

 

参考文献：

 

①2011年高考数学试题立体几何分类汇编

 

②刘福亮 《向量法在立体几何解题中的妙用》--《数学学习与研究》2009年13期

 

③张继海.《高考立体几何试题传统证法的转化思路》试题与研究·高考数学 2009年第1期

2011-11-01  人教网