一道数学选择题的启示

一道数学选择题的启示

湖南省岳阳县第一中学数学组　张华武

10月7日我校高三年级进行了一次模拟考试，高一年级进行了入学考试。非常碰巧的是在这两次考试中都出现了一道同样的选择题。首先我们了解到出试卷的老师不是同一个人，不在同一个部门工作，提前没有任何商量，各自独立出卷。其次据统计高三年级文科班共660人，共225人做错；高一年级1553人，共1107人做错。我校是湖南省的重点中学，近几年每年高考本科升学率都在70%以上，整体的学生成绩比较优秀。那么这两次考试中，该题目为什么出错率这么高的呢？这样的一道题能给我们什么样的启示呢？

 

试题如下：

 

已知函数，若，，则（    ）

 

A.                   B.          

 

 C.                  D. 与的大小不能确定

 

在教学过程中我们发现学生有以下三种方法解题：

 

方法一：特殊值法

 

设，则，再设，由，则，通过计算可以得到，，则可以选择答案为：B，但是该种方法没有说明C与D的错误，存在解题的不完善性。但该题是以选择题形式出现的，使用这个方法也不失为一个很好的方法。

 

方法二：做差比较法

 

 

=-（）

 

=

 

=

 

=

 

，，

 

本方法使用作差比较的方法，符合高一年级学生学习函数的单调性采用的方法，在知识迁移性德基础上来解题，非常严谨，绝大部分作对的学生都是使用该种方法。

 

方法三：利用二次函数的数形结合法

 

可以变形为，函数的对称轴为，由于，，所以，，的中点位于对称轴的右侧，所以离对称轴近，离对称轴远。又因为函数的开口向上，所以有。

 

本方法学生提出的疑问是，该方法想不到。特别是对这个条件的重复使用，让很多学生找不到方向。

 

我们了解了一些做错的学生，其中反映出来的问题有以下几个方面：

 

第一，部分学生认为该选择是试卷的最后一道选择题，并且含有参数，根据经验，本题难度系数比较大，在题目意思不能完全弄明白的前提下，就放弃了。

 

第二，部分学生选择了正确的做差比较的方法，但是计算过程中，对符号的判断不准确，发生错误，特别是高一的学生，对不等式的使用不够熟练，错误率更高。

 

第三，错误最多的学生是这样认为的，由初中阶段所学韦达定理有，而题目的条件中，所以有，，与题目条件矛盾。至此该题无法继续做下去了。

 

一元二次函数是中学数学中最常见的和最常使用的基本函数，对一元二次方程的中根与系数的关系可知，韦达定理使用的前提条件是，很多学生在使用过程中忽略了这一问题，没有很好的将函数与方程进行区分。同样利用做差法又是我们在函数的单调性证明过程中，最常用的方法，这个方法的变形过程，判号过程又存在运算的难度，导致了本题的错误率偏高。

 

基本数学概念，基本的数学方法，是我们中学数学教学中的重中之重。通过该题，我们不难看出，现在的初中数学和高中数学中关于这两个基本是存在不足的，我们在高中的教学，特别是高一年级的教学中，各位老师一定要重视学生基本数学概念的教学。

2011-11-08  人教网